Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d’objets appelés éléments, sans ordre ni répétition.
Que signifie la relation d’appartenance entre un objet et un ensemble ?
Elle indique si l’objet est ou n’est pas un élément de l’ensemble.
Comment s’écrit qu’un objet x appartient à un ensemble E ?
On écrit .
Comment s’écrit qu’un objet x n’appartient pas à un ensemble E ?
On écrit .
Que signifie l’écriture ?
Elle définit l’ensemble dont les éléments sont exactement a, b et c.
Qu'impose la notation F ⊆ E pour deux ensembles F et E ?
Tout élément de F appartient aussi à E.
Quand deux ensembles A et B sont-ils égaux ?
Lorsqu'ils possèdent exactement les mêmes éléments.
Comment démontre-t-on l'égalité de deux ensembles A et B ?
En établissant A ⊆ B et B ⊆ A.
Qu'est-ce que l'ensemble vide ∅ ?
L'ensemble qui ne contient aucun élément.
Que signifie x ∉ ∅ pour tout x ?
Aucun élément n'appartient à l'ensemble vide.
Quelle est la différence entre définition en extension et en compréhension ?
La définition en extension énumère les éléments, la compréhension sélectionne par propriété.
Comment s'écrit une définition en compréhension par propriété ?
Que contient une définition en compréhension par image ?
Toutes les valeurs pour dans .
Quels sont les ensembles usuels notés N, Z, D, Q et R ?
N est pour les entiers naturels, Z pour les entiers relatifs, D pour les décimaux, Q pour les rationnels, R pour les réels.
Que sont les nombres irrationnels ?
Les irrationnels sont les réels qui ne sont pas rationnels.
Qu'est-ce qu'un intervalle fermé [a ; b] ?
C'est l'ensemble des réels x tels qu'a ≤ x ≤ b.
Qu'est-ce qu'un intervalle ouvert ]a ; b[ ?
C'est l'ensemble des réels x tels qu'a < x < b.
Qu'est-ce que l'intersection A ∩ B ?
L'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
Qu'est-ce que l'union A ∪ B ?
L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B sans répétition.
Qu'est-ce que le complémentaire de A dans un univers E ?
L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Comment se note le complémentaire de A ?
Par Ā = {x ∈ E | x ∉ A}.
Quand deux ensembles A et B sont-ils disjoints ?
Lorsqu'ils n'ont aucun élément en commun.
Quelle est la condition pour qu'A et B soient disjoints ?
A ∩ B = ∅.
Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini E ?
Le nombre de ses éléments.
Comment se note le cardinal d'un ensemble fini E ?
Card(E).
Quelle est la valeur de Card(∅) ?
Zéro.
Quand un ensemble E est-il dénombrable ?
Lorsqu'il existe une bijection entre ℕ et E.
Comment s'appelle le cardinal d'un ensemble dénombrable ?
L'infini dénombrable.
Comment se note l'infini dénombrable ?
ℵ₀.
Quel est le cardinal de l'ensemble vide ∅ ?
Zéro.
Pourquoi le singleton {∅} a-t-il un cardinal égal à 1 ?
Parce qu'il contient l'ensemble vide comme élément.
Qu'est-ce que l'ensemble des parties de E ?
C'est l'ensemble dont les éléments sont toutes les parties de E.
Que signifie A ∈ ℘(E) pour une partie A de E ?
Cela équivaut à dire qu'A est une partie de E.
Quelle formule donne le cardinal de ℘(E) si E est fini ?
.
Combien d'éléments contient ℘(E) pour E = {1,2,3} ?
℘(E) contient 8 éléments.
Qu'est-ce qu'une partition d'un ensemble E ?
Une famille de parties non vides, disjointes deux à deux, dont la réunion est E.
Combien de partitions possède l'ensemble E = {1,2,3} ?
Cinq partitions.
Quels types de partitions compte l'ensemble E = {1,2,3} ?
Une à un bloc, trois à deux blocs, une à trois blocs.
Quelle est la majoration du nombre de partitions d'un ensemble E de cardinal n ?
Le nombre de partitions est majoré par .
Qu'est-ce que le produit cartésien E × F ?
L'ensemble des couples (x,y) avec x ∈ E et y ∈ F.
Que représente le produit cartésien n-aire E₁ × ... × Eₙ pour n ≥ 2 ?
L'ensemble des n-uples (x₁,...,xₙ) avec chaque xᵢ ∈ Eᵢ.
Comment l'opérateur ensemble des parties transforme-t-il un ensemble E ?
Il transforme E en un ensemble dont les éléments sont des ensembles.
Que produit le produit cartésien à partir de plusieurs ensembles ?
Un ensemble de couples ou de n-uples.
Comment modélise-t-on une ligne dans une base de données relationnelle à n colonnes ?
Par un n-uplet (x₁,...,xₙ) avec chaque xᵢ dans l'ensemble Eᵢ des valeurs possibles.
Teste tes connaissances avec un QCM de 21 questions sur Théorie des ensembles.
1. Dans un univers E, comment se définit le complémentaire de A ?
2. Quelle caractéristique distingue un ensemble d’une liste ?
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