Fiche de révision : Théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et appartenance
2. Inclusion et égalité
3. Représentations des ensembles
4. Ensembles usuels et intervalles
5. Opérations ensemblistes
6. Cardinalité des ensembles
7. Ensemble des parties
8. Partitions d’un ensemble
9. Produits cartésiens

📖 1. Ensembles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés ses éléments, considérés sans ordre et sans répétition.
• Appartenance : La relation d’appartenance indique qu’un objet x est ou n’est pas un élément d’un ensemble E, ce qui s’écrit respectivement x ∈ E ou x ∉ E.

📝 Points essentiels

• L’écriture E = {a, b, c} définit par extension l’ensemble dont les éléments sont exactement a, b et c.

📖 2. Inclusion et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Ensemble F dont tout élément appartient aussi à E.
• Égalité des ensembles : Deux ensembles qui possèdent exactement les mêmes éléments, ce qui se démontre en établissant A ⊆ B et B ⊆ A.
• Ensemble vide : Unique ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅ ; pour tout x, x ∉ ∅.

💡 Astuce mémo

∈ compare un élément à un ensemble, tandis que ⊆ compare deux ensembles.

📖 3. Représentations des ensembles

📝 Points essentiels

📌 La définition en extension énumère explicitement les éléments d’un ensemble entre accolades, tandis que la définition en compréhension sélectionne les éléments vérifiant une propriété.

📐 Formule — Une définition en compréhension par propriété s’écrit $A = \{x \in E \mid p(x)\}$, où x appartient à l’ensemble de référence E et vérifie p(x).

📐 Formule — Une définition en compréhension par image s’écrit $A = \{f(x) \mid x \in E\}$ et contient toutes les valeurs obtenues lorsque x parcourt E.

💡 Astuce mémo

La propriété sélectionne dans E ; l’image transforme les éléments de E.

📖 4. Ensembles usuels et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles usuels : Les ensembles usuels sont N pour les entiers naturels, Z pour les entiers relatifs, D pour les nombres décimaux, Q pour les rationnels et R pour les réels ; les irrationnels sont les réels qui ne sont pas rationnels.
• Intervalle fermé : Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.
• Intervalle ouvert : Ensemble des réels x tels que a < x < b.

📖 5. Opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Union : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, sans répétition des éléments communs.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans un univers E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A, noté Ā = {x ∈ E | x ∉ A}.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles A et B sont disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun, c’est-à-dire lorsque A ∩ B = ∅.

📖 6. Cardinalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal fini : Nombre de ses éléments, noté Card(E), avec Card(∅) = 0.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble E est dénombrable lorsqu’il existe une bijection entre N et E ; son cardinal est alors l’infini dénombrable, noté ℵ₀.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble vide ∅ a un cardinal nul, tandis que le singleton {∅} a un cardinal égal à 1 car il contient l’ensemble vide comme élément.

💡 Astuce mémo

Plus on construit de parties, plus le cardinal augmente selon la puissance de 2.

📖 7. Ensemble des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : L’ensemble des parties de E, noté ℘(E), est l’ensemble dont les éléments sont toutes les parties de E ; A ⊆ E équivaut à A ∈ ℘(E).

★ À maîtriser

📐 Formule — Si E est fini, le cardinal de son ensemble des parties vérifie $\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{\operatorname{Card}(E)}$.

Compléments

• Pour E = {1,2,3}, l’ensemble ℘(E) contient ∅, les trois singletons, les trois paires et E lui-même, soit 8 parties.

💡 Astuce mémo

Un ensemble E devient une boîte contenant toutes ses parties.

📖 8. Partitions d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est E.

📝 Points essentiels

• L’ensemble E = {1,2,3} possède 5 partitions : une à un bloc, trois à deux blocs et une à trois blocs.

• Pour un ensemble E non vide de cardinal n, le nombre de ses partitions est majoré par n^n.

💡 Astuce mémo

Blocs non vides, disjoints, puis réunion égale à E.

📖 9. Produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Produit cartésien n-aire : Pour n ≥ 2, le produit E₁ × E₂ × ... × Eₙ est l’ensemble des n-uples (x₁,...,xₙ) tels que chaque xᵢ appartient à Eᵢ.

📝 Points essentiels

• L’opérateur ensemble des parties transforme E en un ensemble dont les éléments sont des ensembles, tandis que le produit cartésien transforme plusieurs ensembles en un ensemble de couples ou de n-uples.

• Dans une base de données relationnelle à n colonnes, une ligne est modélisée par un n-uplet (x₁,...,xₙ), où chaque valeur xᵢ appartient à l’ensemble Eᵢ des valeurs possibles de la colonne i.

💡 Astuce mémo

Chaque élément est un couple ou un n-uplet formé par une valeur de chaque ensemble.

📊 Tableaux de synthèse

Appartenance et inclusion