Quelles propriétés la distance d’un espace métrique doit-elle vérifier ?
La séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.
Dans un espace métrique, quelle caractérisation séquentielle définit l’adhérence de A ?
Tout point adhérent à A est limite d’une suite de points de A.
Quelle propriété caractérise les normes sur un espace vectoriel de dimension finie ?
Toutes les normes y sont équivalentes.
Quelle distance un espace vectoriel normé induit-il ?
Que signifie qu’une partie A est dense dans E selon son adhérence ?
Son adhérence est E.
Comment caractériser la densité de A dans E par les ouverts ?
Tout ouvert non vide de E rencontre A.
Comment caractériser la continuité d’une application vers pour la topologie produit ?
Elle est continue si et seulement si ses deux projections coordonnées le sont.
Quelle condition caractérise les ouverts de la topologie induite sur ?
Ils sont de la forme , où est ouvert dans .
Quelles opérations préservent les fermés d’un espace topologique ?
Les intersections quelconques et les réunions finies.
Que caractérise la frontière d’un ensemble A dans un espace topologique ?
Les points dont tout voisinage rencontre A et son complémentaire.
Teste tes connaissances avec un QCM de 11 questions sur Topologie générale et espaces métriques.
1. Une application continue entre espaces métriques envoie un ensemble dont l’adhérence contient le point considéré. Quelle relation doit alors vérifier l’image de cette adhérence ?
2. Dans un espace métrique, une suite de points de A converge vers x. Que peut-on conclure au sujet de x ?
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