Fiche de révision : Topologie générale et espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Distances et espaces métriques
2. Adhérence et continuité métrique
3. Topologies et propriétés générales
4. Densité et homéomorphismes
5. Topologies produit et induite
6. Complétude et applications contractantes
7. Compacité et parties de Rⁿ
8. Compacité et propriétés dans Rn
9. Connexité et connexité par arcs
10. Composantes connexes et applications
11. Espaces de Banach et de Hilbert
12. Projection orthogonale et orthogonalité
13. Stone-Weierstrass et séries de Fourier
14. Complétude et compacité métriques
15. Connexité et connexité locale
16. Opérateurs et bases hilbertiennes
17. Compacité, voisinages et propriété de Baire
18. Suites et adhérence des parties

📖 1. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace métrique : Ensemble E muni d’une distance d : E × E → ℝ⁺ qui vérifie la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.
• Norme : Une norme sur un espace vectoriel réel ou complexe est une application à valeurs dans ℝ⁺, nulle uniquement en 0, homogène selon ‖λx‖=|λ|‖x‖ et sous-additive selon ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.
• Boule ouverte : La boule ouverte de centre a et de rayon r>0 est l’ensemble des x tels que d(x,a)<r.
• Ouvert : Partie qui est voisinage de chacun de ses points.
• Fermé : Un fermé est le complémentaire d’un ouvert.
• Distance associée : Tout espace vectoriel normé (E, ‖·‖) est métrique pour la distance d(x,y)=‖x−y‖, et toute partie A d’un espace métrique hérite de la distance restreinte à A × A.
• Boule fermée : La boule fermée de centre a et de rayon r≥0 est l’ensemble des x tels que d(x,a)≤r.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour x, y, z dans un espace métrique, $|d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y)$.

• Sur ℝⁿ, les normes usuelles sont ‖x‖₂=√(|x₁|²+⋯+|xₙ|²), ‖x‖₁=|x₁|+⋯+|xₙ| et ‖x‖∞=max(|x₁|,…,|xₙ|).

• Toute boule ouverte d’un espace métrique est ouverte et toute boule fermée est fermée.

📖 2. Adhérence et continuité métrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Adhérence : L’adhérence de A est l’ensemble de ses points adhérents et constitue le plus petit fermé contenant A.
• Continuité : Une application entre espaces métriques est continue en x si toute suite convergeant vers x a une image qui converge vers l’image de x; elle est continue si elle l’est en tout point.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace métrique, x adhère à A si et seulement s’il existe une suite de points de A qui converge vers x.

• Pour une application entre espaces métriques, la continuité équivaut à chacune des propriétés suivantes : f(\overline A)⊆\overline{f(A)} pour tout A, l’image réciproque de tout fermé est fermée et l’image réciproque de tout ouvert est ouverte.

• Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Compléments

📌 Une partie A d’un espace métrique est fermée si et seulement si A est égale à son adhérence.

📌 Deux normes sont équivalentes si des constantes α,β>0 vérifient α‖x‖≤‖x‖′≤β‖x‖ pour tout x; elles induisent alors la même convergence et la même topologie.

📖 3. Topologies et propriétés générales

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie : Une topologie sur E est une collection d’ouverts contenant ∅ et E, stable par réunions quelconques et par intersections finies.
• Intérieur : L’intérieur de A est le plus grand ouvert de E inclus dans A.
• Topologie discrète : La topologie discrète sur E est l’ensemble de toutes les parties de E; ses ouverts et ses fermés sont toutes les parties.
• Frontière : La frontière de A est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre à la fois A et son complémentaire.

📝 Points essentiels

• Les fermés d’un espace topologique contiennent ∅ et E et sont stables par intersections quelconques et par réunions finies.

📌 Les espaces vectoriels normés, les espaces métriques et les espaces topologiques forment des cadres de généralité croissante; certains espaces métriques ne proviennent pas d’une norme et certains espaces topologiques ne proviennent pas d’une distance.

📌 Un espace est discret si et seulement si tous ses singletons sont ouverts, c’est-à-dire si tous ses points sont isolés.

📖 4. Densité et homéomorphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie dense : Une partie A est dense dans E si son adhérence est E.
• Application continue : Une application entre espaces topologiques est continue si l’image réciproque de tout ouvert de l’espace d’arrivée est ouverte dans l’espace de départ.
• Homéomorphisme : Un homéomorphisme est une bijection continue dont l’application réciproque est également continue.
• Espace séparé : Un espace topologique est séparé si deux points distincts possèdent des voisinages ouverts disjoints.

★ À maîtriser

📌 A est dense dans E si et seulement si tout ouvert non vide de E rencontre A.

Compléments

• Les rationnels ℚ sont denses dans ℝ.

📌 Toute partie contenant une partie dense est dense, et la seule partie à la fois dense et fermée est l’espace entier.

• L’identité et la composée de deux applications continues sont continues.

📌 Dans un espace d’arrivée séparé, l’ensemble où deux applications continues coïncident est fermé; si elles coïncident sur une partie dense, elles coïncident partout.

• Pour deux fonctions continues réelles f et g, l’ensemble {f<g} est ouvert et l’ensemble {f≤g} est fermé.

• Tous les intervalles ouverts de ℝ sont homéomorphes entre eux, et dans ℝⁿ toutes les boules ouvertes sont homéomorphes entre elles, de même que toutes les boules fermées.

📖 5. Topologies produit et induite

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie produit : La topologie produit sur E₁×E₂ est la topologie pour laquelle une application vers E₁×E₂ est continue si et seulement si ses deux projections coordonnées sont continues.
• Topologie induite : La topologie induite sur A⊂E a pour ouverts les intersections A∩U, où U est ouvert dans E.

📝 Points essentiels

• Un ouvert de E₁×E₂ contient autour de chacun de ses points un produit d’ouverts U₁×U₂ inclus dans cet ouvert.

• La topologie canonique de ℝⁿ est la topologie produit; une application vers ℝⁿ est continue si et seulement si toutes ses coordonnées sont continues.

📌 Les ouverts de A pour la topologie induite ne sont pas nécessairement ouverts dans E; la topologie induite est incluse dans celle de E si et seulement si A est ouverte dans E.

• Un point x de A est isolé dans A s’il existe un ouvert U de E tel que U∩A={x}; ℤ est discret pour la topologie induite de ℝ.

📖 6. Complétude et applications contractantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite (xₙ) d’un espace métrique est de Cauchy si, pour tout ε>0, il existe N tel que d(xₙ,xₘ)<ε dès que n,m>N.
• Espace complet : Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy de ses points converge dans cet espace.
• Application lipschitzienne : Une application ϕ entre espaces métriques est k-lipschitzienne si d(ϕ(x),ϕ(y))≤k d(x,y) pour tous x,y; elle est contractante si k<1.
• Norme sup : Pour une fonction réelle f sur E, la norme sup est définie par $\|f\|_\infty=\sup_{x\in E}|f(x)|$; f est bornée si cette quantité est finie.
• Continuité uniforme : Une fonction f:A→E′ est uniformément continue si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que d(x,y)<η implique d′(f(x),f(y))<ε pour tous x,y∈A.

★ À maîtriser

• Toute suite convergente dans un espace métrique est de Cauchy, mais la réciproque est fausse en général.

📌 Un sous-espace métrique d’un espace complet est complet si et seulement s’il est fermé dans l’espace ambiant.

📌 Toute fonction uniformément continue d’une partie dense A d’un espace métrique vers un espace métrique complet admet un prolongement continu unique à tout l’espace.

• Toute application contractante sur un espace métrique complet possède un unique point fixe.

Compléments

• ℚ muni de sa distance usuelle n’est pas complet, tandis que ℝ muni de sa distance usuelle est complet et constitue le complété de ℚ.

• Un intervalle fermé [a,b] est complet comme sous-espace de ℝ, tandis qu’un intervalle ouvert ]a,b[ ne l’est pas.

• Le produit de deux espaces métriques complets muni d’une distance induite par une norme sur ℝ² est complet.

• L’espace des fonctions réelles sur E muni de la norme sup est complet; ses sous-espaces de fonctions bornées, continues et continues bornées sont fermés et donc complets pour la convergence uniforme.

📖 7. Compacité et parties de Rⁿ

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace compact : Un espace topologique est compact s’il est séparé et si tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.
• Partie compacte : Une partie A d’un espace topologique est compacte lorsque, pour tout recouvrement de A par des ouverts de l’espace ambiant, un nombre fini de ces ouverts recouvre A.
• Point d’accumulation : Un point est un point d’accumulation d’une suite si tout voisinage de ce point contient une infinité de termes de la suite.

📝 Points essentiels

📌 Toute partie fermée d’un espace compact est compacte, et toute partie compacte d’un espace séparé est fermée.

📌 L’image d’une partie compacte par une application continue vers un espace séparé est compacte; en particulier, une bijection continue d’un espace compact vers un espace séparé est un homéomorphisme.

• Toute suite d’un espace compact admet au moins un point d’accumulation.

• Un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné, c’est-à-dire recouvert, pour tout ε>0, par un nombre fini de boules de rayon ε.

📖 8. Compacité et propriétés dans Rn

★ À maîtriser

• Dans un espace métrique complet et totalement borné, tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement fini, donc l’espace est compact.

📌 Les parties compactes de Rⁿ sont exactement les parties fermées et bornées.

📌 Toute fonction réelle continue définie sur une partie compacte atteint ses bornes.

Compléments

• Dans Rⁿ, une partie est bornée si et seulement si son diamètre est fini, ou si elle est incluse dans une boule de rayon fini.

• Une réunion finie de parties bornées est bornée, et les normes sur Rⁿ sont équivalentes.

• Toute partie compacte de R contient son infimum et son supremum.

💡 Astuce mémo

Complétude + bornitude totale → compacité

📖 9. Connexité et connexité par arcs

🔑 Notions clés & Définitions

• Connexité par arcs : Un espace topologique est connexe par arcs si chaque paire de points peut être reliée par un chemin continu γ : [0,1] → E ayant ces points pour extrémités.
• Connexité : Un espace topologique est connexe si ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemble vide et l’espace entier.

★ À maîtriser

📌 Tout espace connexe par arcs est connexe, mais la réciproque n’est pas vraie en général.

• Les intervalles de R sont connexes, et une partie de R est connexe si et seulement si elle est un intervalle, borné ou non, avec ses extrémités éventuellement incluses ou infinies.

📌 Si E est connexe et f : E → R est continue, alors f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b), pour tous a,b ∈ E.

Compléments

• Dans un espace vectoriel normé, tout espace et toute partie convexe sont connexes par arcs ; en particulier, les boules ouvertes et fermées le sont.

💡 Astuce mémo

Par arcs implique connexe, mais la réciproque n’est pas générale

📖 10. Composantes connexes et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Composante connexe : La composante connexe de E contenant a est la plus grande partie connexe de E qui contient a.

★ À maîtriser

• Tout espace topologique est la réunion disjointe de ses composantes connexes, qui sont fermées et, si elles sont en nombre fini, également ouvertes.

📌 L’image continue d’une partie connexe est connexe ; en particulier, une application continue d’un espace connexe vers un espace discret est constante.

Compléments

• Les composantes connexes de Q muni de la distance usuelle sont les singletons ; Q est alors totalement discontinu.

• GLₙ(R) possède deux composantes connexes, constituées respectivement des matrices de déterminant positif et des matrices de déterminant négatif.

📌 R et Rⁿ ne sont pas homéomorphes pour n > 2, et S¹ et Sⁿ ne sont pas homéomorphes pour n > 2, car la suppression de points y produit des nombres de composantes connexes différents.

📖 11. Espaces de Banach et de Hilbert

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace de Banach : Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la métrique définie par sa norme.
• Espace de Hilbert : Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme provient d’un produit scalaire réel ou hermitien complexe.
• Produit hermitien : Un produit hermitien est une forme sesquilinéaire sur un espace complexe, antilinéaire dans le premier argument et linéaire dans le second, positive et non dégénérée.

★ À maîtriser

• Toutes les normes de Rⁿ sont équivalentes.

📌 Une application linéaire entre espaces normés est continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à la finitude de son supremum sur la boule unité.

Compléments

📐 Formule - La norme provenant d’un produit scalaire vérifie $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.

📖 12. Projection orthogonale et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Base hilbertienne : Une base hilbertienne est une famille orthonormale totale, c’est-à-dire une famille orthonormale dont les multiples et sommes finies engendrent un sous-espace dense.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace de Hilbert, pour tout sous-espace fermé F et tout x, il existe un unique x_F ∈ F tel que x − x_F soit orthogonal à F.

📌 La projection orthogonale x_F est l’unique élément de F qui minimise la distance à x : d(x,x_F) = inf_{y∈F} d(x,y).

📐 Formule - Pour tout sous-espace vectoriel F d’un espace de Hilbert, $\overline{F}=(F^{\perp})^{\perp}$.

📌 Un sous-espace vectoriel F d’un espace de Hilbert est dense si et seulement si son orthogonal ne contient que le vecteur nul.

• Dans une base hilbertienne (e_i), tout vecteur x s’écrit comme la somme de la famille sommable ⟨x,e_i⟩e_i.

📐 Formule - L’identité de Parseval s’écrit $\|x\|^2=\sum_{i\in I}|\langle x,e_i\rangle|^2$.

Compléments

• Dans un espace de Hilbert, l’orthogonal A⊥ de toute partie A est fermé.

📐 Formule - Pour x et y développés dans une base hilbertienne, leur produit scalaire vérifie $\langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_i\rangle\langle y,e_i\rangle$.

📖 13. Stone-Weierstrass et séries de Fourier

★ À maîtriser

📌 Le théorème de Stone-Weierstrass affirme qu’une sous-C-algèbre A de C₀(E;C), avec E compact, est dense pour la convergence uniforme si elle ne s’annule pas simultanément en aucun point, sépare les points et est stable par conjugaison.

• Dans L²([0,2π];C), les fonctions t ↦ e^{ikt}, pour k ∈ Z, forment une base hilbertienne.

📐 Formule - Le coefficient de Fourier complexe d’indice k est $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt$.

📌 Pour toute fonction L²-intégrable, la série de Fourier converge vers elle au sens L² et, par le théorème de Carleson, ponctuellement presque partout ; pour une fonction continue 2π-périodique, elle ne converge pas nécessairement uniformément vers elle.

📌 Pour une fonction 2π-périodique continue par morceaux, la série de Fourier converge uniformément sur tout intervalle fermé où la fonction est continue et, en chaque point de discontinuité x, vaut la moyenne des limites latérales : $\widetilde f(x)=\frac{f(x+)+f(x-)}{2}$.

Compléments

• La fonction 2π-périodique f(t)=t/(2π) sur [0,2π[ a pour série de Fourier $\widetilde f(t)=\frac12-\sum_{k>0}\frac{\sin(kt)}{k\pi}$.

📐 Formule - La série de Leibniz obtenue dans l’exemple de Fourier vérifie $\frac{\pi}{4}=\sum_{l\geq 0}\frac{(-1)^l}{2l+1}$.

📐 Formule - L’identité de Parseval appliquée à cet exemple donne $\sum_{k>0}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

📖 14. Complétude et compacité métriques

★ À maîtriser

• Toute bijection croissante ou décroissante de ℝ dans ℝ est un homéomorphisme.

📌 Dans un espace métrique compact, toute suite possède un point d’accumulation, et cette propriété caractérise la compacité métrique.

• Une application continue définie sur un espace métrique compact est uniformément continue.

Compléments

📌 Les boules ouvertes d’un espace vectoriel normé sont homéomorphes entre elles, et les boules-unités associées à deux normes de ℝⁿ sont homéomorphes.

📌 La distance δ(x,y)=|arctan(x)−arctan(y)| sur ℝ définit la topologie usuelle, mais l’espace métrique ainsi obtenu n’est pas complet.

• Dans un espace métrique compact, deux fermés disjoints sont contenus dans deux ouverts disjoints.

• Un espace à la fois discret et compact est fini.

💡 Astuce mémo

Compact implique complet en métrique ; complet seul n’implique pas compact.

📖 15. Connexité et connexité locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace localement connexe : Un espace topologique est localement connexe si tout point de tout ouvert possède un voisinage ouvert connexe contenu dans cet ouvert.

★ À maîtriser

• Dans un espace topologique, si A est connexe et A ⊆ B ⊆ l’adhérence de A, alors B est connexe.

• Dans un espace localement connexe, les composantes connexes sont ouvertes.

• Tout ouvert connexe de ℝⁿ est connexe par arcs.

• Une application continue bornée de ℝ dans ℝ possède un point fixe.

Compléments

• Si A et B sont connexes et si un point de l’un adhère à l’autre, alors A ∪ B est connexe.

• Dans un espace compact localement connexe, il n’existe qu’un nombre fini de composantes connexes.

• Une partie ouverte connexe de ℝⁿ est fortement connexe, c’est-à-dire que deux de ses points peuvent être reliés par une réunion finie de segments contenue dans la partie.

• Une application continue f:X→Y est un homéomorphisme si et seulement si elle est surjective, toutes ses fibres sont connexes et elle est un homéomorphisme local en chaque point.

• L’application t↦e^{it} de ℝ dans le cercle unité est un homéomorphisme local, mais n’est pas un homéomorphisme.

💡 Astuce mémo

Connexité locale → composantes connexes ouvertes.

📖 16. Opérateurs et bases hilbertiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Adjoint : Pour un opérateur linéaire continu u sur un espace de Hilbert, l’adjoint u* est l’unique opérateur vérifiant ⟨u*(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩ pour tous x et y.

★ À maîtriser

• L’adjoint d’un opérateur linéaire continu sur un espace de Hilbert est linéaire et continu, et sa norme est égale à celle de l’opérateur : ‖u*‖=‖u‖.

• Le procédé d’orthogonalisation appliqué à un système total de vecteurs linéairement indépendants d’un espace de Hilbert construit une base hilbertienne.

Compléments

• Pour un ensemble fini de points (xᵢ,yᵢ) du plan, la projection orthogonale du vecteur des ordonnées sur l’espace des vecteurs de la forme (a+bxᵢ) définit la droite des moindres carrés.

📐 Formule - L’aire du triangle de sommets a, b et c est $\frac{1}{2}\left|\det(b-a,c-a)\right|$.

📖 17. Compacité, voisinages et propriété de Baire

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de Baire : Un espace topologique vérifie la propriété de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses y est dense.
• Partie dense : Une partie A d’un espace topologique est dense si son adhérence est l’espace entier, ce qui équivaut à ce que tout ouvert non vide rencontre A.
• Partie mince : Une partie A d’un espace topologique est mince si son intérieur est vide, ce qui équivaut à ce qu’elle ne contienne aucun ouvert non vide.
• Ultramétrique : Une distance d est ultramétrique si elle vérifie d(x,z)≤max(d(x,y),d(y,z)) pour tous x,y,z.

★ À maîtriser

• Toute suite décroissante de compacts non vides de ℝᵐ a une intersection non vide.

• L’espace ℝᵐ vérifie la propriété de Baire.

Compléments

• Dans un espace topologique compact, toute suite croissante d’ouverts dont la réunion est l’espace est égale à l’espace dès l’un de ses termes.

• Dans un espace compact, une suite décroissante de fermés dont l’intersection est vide possède un terme vide.

• Une partie est dense si et seulement si son complémentaire est mince.

• Une intersection de compacts d’un espace topologique séparé est compacte, et une réunion finie de compacts y est compacte.

• Dans un espace ultramétrique, les boules ouvertes sont à la fois ouvertes et fermées, et les composantes connexes sont des singletons.

💡 Astuce mémo

Compacts emboîtés non vides → intersection non vide.

📖 18. Suites et adhérence des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un point x adhère à une partie A d’un espace métrique si tout voisinage de x rencontre A, ce qui équivaut à d(x,A)=0.

★ À maîtriser

• Une suite convergente dans un espace métrique n’a qu’un seul point d’accumulation, sa limite.

• L’intérieur d’une partie A est le plus grand ouvert contenu dans A.

Compléments

• Tout point d’accumulation d’une suite est la limite d’une de ses suites extraites.

• Une suite de Cauchy dans un espace métrique possède au plus un point d’accumulation et, si elle en possède un, elle converge vers ce point.

• La fonction distance à une partie non vide A vérifie d(x,A)≤d(x,y)+d(y,A) pour tous x et y.

• L’intérieur de l’intersection de deux parties est l’intersection de leurs intérieurs.

• Aucun ouvert de ℝⁿ ne possède de point isolé.

• Si une partie de ℝⁿ ne possède aucun point isolé, son adhérence n’en possède aucun non plus.