QCM : Topologie générale et espaces métriques (11 questions)

Question 1

1. Une application continue entre espaces métriques envoie un ensemble dont l’adhérence contient le point considéré. Quelle relation doit alors vérifier l’image de cette adhérence ?

Elle contient l’adhérence de l’image de l’ensemble.

Elle est incluse dans l’adhérence de l’image de l’ensemble.

Elle contient l’image de l’adhérence de l’ensemble.

Elle est incluse dans l’image de l’ensemble.

Explication

La continuité implique, pour tout ensemble A, que $f(\overline{A})$ est incluse dans $\overline{f(A)}$ . L’inclusion inversée confond les deux ensembles, l’image non fermée omet l’adhérence, et l’adhérence de A porte sur le mauvais ensemble.

Answer

Elle est incluse dans l’adhérence de l’image de l’ensemble.

Question 2

2. Dans un espace métrique, une suite de points de A converge vers x. Que peut-on conclure au sujet de x ?

x adhère à A

x appartient nécessairement à A

x n’adhère pas à A

x est nécessairement isolé dans A

Explication

Un point adhère à A si et seulement s’il existe une suite de points de A qui converge vers lui. Cette condition n’impose pas que x appartienne à A, ni que la suite soit constante ou que ses termes s’éloignent de x.

Answer

x adhère à A

Question 3

3. Une fonction positive candidate à définir une distance sur un ensemble sépare les points et est symétrique, mais, pour certains points, elle vérifie d(x,z) > d(x,y) + d(y,z). Quelle condition de distance n’est-elle pas satisfaite ?

La séparation des points

La positivité des valeurs

La symétrie de la distance

L’inégalité triangulaire

Explication

Une distance doit satisfaire l’inégalité triangulaire d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), en plus de la séparation et de la symétrie. La séparation concerne la condition d(x,y)=0, tandis que la symétrie échange les arguments; la positivité seule ne suffit pas.

Answer

L’inégalité triangulaire

Question 4

4. Dans un espace métrique, un point x est à distance exactement r du centre a. À quel ensemble appartient-il ?

À la boule fermée de centre a et de rayon r

À la boule ouverte de centre a et de rayon r/2

À aucune boule de centre a et de rayon r

À la boule ouverte de centre a et de rayon r

Explication

La boule fermée comprend les points dont la distance au centre est inférieure ou égale à r, tandis que la boule ouverte exige une distance strictement inférieure à r. Exclure le point des deux boules oublie que la boule fermée autorise l’égalité; un rayon r/2 ne correspond pas à la distance donnée.

Answer

À la boule fermée de centre a et de rayon r

Question 5

5. Quelles propriétés caractérisent une topologie sur un ensemble E ?

Elle contient ∅ et E, et est stable par réunions quelconques et intersections finies.

Elle contient ∅ et E, et est stable par intersections quelconques et réunions finies.

Elle contient tous les singletons et est stable par réunions finies et intersections quelconques.

Elle contient E, et est stable par réunions quelconques et intersections quelconques.

Explication

Une topologie est une collection d’ouverts contenant l’ensemble vide et l’espace entier, stable par réunions quelconques et intersections finies. La stabilité par intersections quelconques et réunions finies caractérise plutôt les fermés.

Answer

Elle contient ∅ et E, et est stable par réunions quelconques et intersections finies.

Question 6

6. Quel critère caractérise une partie dense A d’un espace topologique E ?

A est un ouvert dont le complémentaire est fermé.

Tout ouvert non vide de E rencontre A.

Tout point de A possède un voisinage inclus dans A.

Toute suite de E possède une limite dans A.

Explication

Une partie est dense si et seulement si tout ouvert non vide de l’espace la rencontre. La présence d’une limite dans A pour toute suite concerne plutôt une propriété de complétude, et ne caractérise pas la densité.

Answer

Tout ouvert non vide de E rencontre A.

Question 7

7. Quel est le rôle de la topologie produit sur $E_1\times E_2$ dans le test de continuité d’une application à valeurs dans ce produit ?

Elle permet de vérifier la continuité en examinant seulement la première projection coordonnée.

Elle permet de vérifier la continuité en examinant séparément les deux projections coordonnées.

Elle permet de vérifier la continuité en contrôlant que l’image réciproque de tout fermé est fermée.

Elle permet de vérifier la continuité en exigeant que l’application soit injective sur chaque coordonnée.

Explication

La topologie produit est définie de sorte qu’une application vers $E_1\times E_2$ est continue si et seulement si ses deux applications coordonnées le sont. La continuité de la première projection seule ne garantit pas celle de la seconde.

Answer

Elle permet de vérifier la continuité en examinant séparément les deux projections coordonnées.

Question 8

8. Quelle différence distingue une suite de Cauchy d’une suite convergente dans un espace métrique complet ?

Une suite convergente a ses termes qui se rapprochent mutuellement, mais une suite de Cauchy n’est pas nécessairement convergente.

Une suite de Cauchy est bornée, tandis qu’une suite convergente n’est pas nécessairement bornée.

Une suite de Cauchy converge vers un point extérieur, tandis qu’une suite convergente a sa limite dans l’espace.

Une suite de Cauchy a ses termes qui se rapprochent mutuellement, et toute suite de Cauchy converge dans cet espace.

Explication

Le critère de Cauchy décrit le rapprochement mutuel des termes, et la complétude garantit que leur limite appartient à l’espace. Dans un espace complet, contrairement à ce que suggère un distracteur, une suite de Cauchy ne peut pas avoir sa limite à l’extérieur de l’espace.

Answer

Une suite de Cauchy a ses termes qui se rapprochent mutuellement, et toute suite de Cauchy converge dans cet espace.

Question 9

9. Quel effet la complétude et la contraction d’une application ont-elles sur l’existence de ses points fixes ?

Elles garantissent un point fixe, mais plusieurs peuvent exister pour une même application contractante.

Elles garantissent un point fixe unique dès que l’application est continue, même sans contraction.

Elles garantissent un point fixe unique pour toute application lipschitzienne, quel que soit son coefficient.

Elles garantissent un point fixe unique pour toute application contractante de l’espace dans lui-même.

Explication

Dans un espace métrique complet, toute application contractante admet un unique point fixe. Une application continue sans condition de contraction, contrairement à ce que suggère un distracteur, ne bénéficie pas de cette garantie.

Answer

Elles garantissent un point fixe unique pour toute application contractante de l’espace dans lui-même.

Question 10

10. Pour vérifier qu’une fonction réelle continue définie sur une partie de $\mathbb{R}^n$ atteint un maximum et un minimum, quelle propriété doit-on établir pour son domaine ?

Qu’il est compact, donc fermé et borné dans

\mathbb{R}^n

Qu’il est ouvert et borné dans

\mathbb{R}^n

Qu’il est complet et non borné dans

\mathbb{R}^n

Qu’il est fermé et connexe dans

\mathbb{R}^n

Explication

Sur une partie compacte, toute fonction réelle continue atteint ses bornes, et dans $\mathbb{R}^n$ la compacité équivaut au fait d’être fermé et borné. Être ouvert et borné ne suffit pas, car une fonction continue peut ne pas atteindre ses bornes sur un domaine ouvert.

Answer

Qu’il est compact, donc fermé et borné dans $$\mathbb{R}^n$$

Question 11

11. Quelle propriété distingue la connexité par arcs de la connexité simple ?

Toute partie ouverte et fermée de l’espace est vide ou égale à l’espace.

Toute partie convexe de l’espace est nécessairement compacte.

Toute fonction continue réelle sur l’espace prend toutes les valeurs intermédiaires.

Toute paire de points peut être reliée par un chemin continu dans l’espace.

Explication

La connexité par arcs exige qu’un chemin continu relie chaque paire de points. La connexité simple se définit plutôt par l’absence de parties ouvertes et fermées non triviales, sans garantir l’existence de tels chemins.

Answer

Toute paire de points peut être reliée par un chemin continu dans l’espace.

QCM : Topologie générale et espaces métriques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une application continue entre espaces métriques envoie un ensemble dont l’adhérence contient le point considéré. Quelle relation doit alors vérifier l’image de cette adhérence ?

2. Dans un espace métrique, une suite de points de A converge vers x. Que peut-on conclure au sujet de x ?

3. Une fonction positive candidate à définir une distance sur un ensemble sépare les points et est symétrique, mais, pour certains points, elle vérifie d(x,z) > d(x,y) + d(y,z). Quelle condition de distance n’est-elle pas satisfaite ?

4. Dans un espace métrique, un point x est à distance exactement r du centre a. À quel ensemble appartient-il ?

5. Quelles propriétés caractérisent une topologie sur un ensemble E ?

6. Quel critère caractérise une partie dense A d’un espace topologique E ?

7. Quel est le rôle de la topologie produit sur $E_1\times E_2$ dans le test de continuité d’une application à valeurs dans ce produit ?

8. Quelle différence distingue une suite de Cauchy d’une suite convergente dans un espace métrique complet ?

9. Quel effet la complétude et la contraction d’une application ont-elles sur l’existence de ses points fixes ?

10. Pour vérifier qu’une fonction réelle continue définie sur une partie de $\mathbb{R}^n$ atteint un maximum et un minimum, quelle propriété doit-on établir pour son domaine ?

11. Quelle propriété distingue la connexité par arcs de la connexité simple ?

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Questions et réponses du QCM

1. Une application continue entre espaces métriques envoie un ensemble dont l’adhérence contient le point considéré. Quelle relation doit alors vérifier l’image de cette adhérence ?

2. Dans un espace métrique, une suite de points de A converge vers x. Que peut-on conclure au sujet de x ?

3. Une fonction positive candidate à définir une distance sur un ensemble sépare les points et est symétrique, mais, pour certains points, elle vérifie d(x,z) > d(x,y) + d(y,z). Quelle condition de distance n’est-elle pas satisfaite ?

4. Dans un espace métrique, un point x est à distance exactement r du centre a. À quel ensemble appartient-il ?

5. Quelles propriétés caractérisent une topologie sur un ensemble E ?

6. Quel critère caractérise une partie dense A d’un espace topologique E ?

7. Quel est le rôle de la topologie produit sur E1×E2E_1\times E_2E1​×E2​ dans le test de continuité d’une application à valeurs dans ce produit ?

8. Quelle différence distingue une suite de Cauchy d’une suite convergente dans un espace métrique complet ?

9. Quel effet la complétude et la contraction d’une application ont-elles sur l’existence de ses points fixes ?

10. Pour vérifier qu’une fonction réelle continue définie sur une partie de Rn\mathbb{R}^nRn atteint un maximum et un minimum, quelle propriété doit-on établir pour son domaine ?

11. Quelle propriété distingue la connexité par arcs de la connexité simple ?

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10. Pour vérifier qu’une fonction réelle continue définie sur une partie de $\mathbb{R}^n$ atteint un maximum et un minimum, quelle propriété doit-on établir pour son domaine ?