Fiche de révision : Travail et puissance mécaniques

📋 Plan du Cours

1. Travail d’une force constante
2. Travail de la tension du fil
3. Travail du poids
4. Travail de la tension du ressort
5. Travail d’une force en rotation
6. Puissance mécanique

📖 1. Travail d’une force constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Force constante : Force dont les caractéristiques ne changent pas au cours du temps.
• Déplacement rectiligne : Un déplacement est rectiligne lorsque le mobile se déplace sur une droite.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une force constante lors d’un déplacement rectiligne de A à B, le travail vérifie $W(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=F\times AB\times\cos(\vec F,\overrightarrow{AB})$, en joules lorsque la force est exprimée en newtons et le déplacement en mètres.

📌 Le travail est moteur s’il est positif, ce qui correspond à un angle aigu entre la force et le déplacement, avec $0<\theta<\frac{\pi}{2}$.

📌 Le travail est résistant s’il est négatif, ce qui correspond à $\cos(\vec F,\overrightarrow{AB})<0$ et à $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$.

Compléments

• Lorsque l’angle entre la force et le déplacement vaut $\frac{\pi}{2}$, le travail est nul.

💡 Astuce mémo

Force dans le sens du déplacement : travail moteur ; force opposée : travail résistant.

📖 2. Travail de la tension du fil

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un déplacement courbe décomposé en déplacements élémentaires, le travail de la tension constante du fil est $W(\vec T)=\sum W(\vec T)=\sum \vec T\cdot\delta\vec l$.

Compléments

📐 Formule - Pour un déplacement élémentaire supposé rectiligne, le travail élémentaire de la tension est $\delta W(\vec T)=\vec T\cdot\delta\vec l=T\times\delta l\times\cos(\vec T,\delta\vec l)$.

💡 Astuce mémo

Trajectoire courbe → petits déplacements rectilignes → somme des travaux élémentaires.

📖 3. Travail du poids

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail du poids de A à B s’obtient en sommant les travaux élémentaires : $W(\vec P)=\sum_{i=1}^{n}\delta W(\vec P)=P\sum_{i=1}^{n}h_i=P\times h_{AB}$.

📌 Si le solide monte d’une hauteur h, le travail du poids est $W(\vec P)=-P\times h$.

📌 Si le solide descend d’une hauteur h, le travail du poids est $W(\vec P)=P h$.

Compléments

📐 Formule - Le travail élémentaire du poids lors d’un déplacement élémentaire est $\delta W(\vec P)=\vec P\cdot\delta\vec l=P\times\delta l\times\cos(\vec P,\delta\vec l)=P h_i$.

📐 Formule - Dans l’exemple du solide glissant sur une piste, la hauteur associée au segment AB vaut $h=AB\sin\alpha$.

💡 Astuce mémo

Montée : travail du poids négatif ; descente : travail du poids positif.

📖 4. Travail de la tension du ressort

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail de la force de l’opérateur pour une déformation de 0 à x vaut $W_{0\to x}(\vec F)=\frac{1}{2}kx^2$.

📐 Formule - Comme $\vec F=-\vec T$, le travail de la force de l’opérateur est l’opposé de celui de la tension du ressort : $W(\vec F)=-W(\vec T)$.

📐 Formule - Le travail de la tension du ressort lorsque la déformation varie de x₁ à x₂ vaut $W_{x_1\to x_2}(\vec T)=\frac{1}{2}k(x_1^2-x_2^2)$.

Compléments

📐 Formule - Le travail de la force exercée par l’opérateur sur le solide pendant une déformation élémentaire vaut $W(\vec F)=\vec F\cdot\delta\vec x=kx\,\delta x$.

📌 À l’équilibre, la force de l’opérateur et la tension du ressort sont opposées : $\vec F+\vec T=\vec 0$, donc $\vec F=-\vec T$.

• Sur le graphique de la force en fonction de la déformation, le travail élémentaire correspond à l’aire d’un trapèze et le travail de 0 à x à l’aire du triangle OAB.

💡 Astuce mémo

Force de déformation F : travail positif ; tension T opposée : travail négatif.

📖 5. Travail d’une force en rotation

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail élémentaire d’une force en rotation s’écrit $\delta W(\vec F)=M(\vec F)\times\delta\theta$.

📐 Formule - Pour un moment M(\vec F) constant, le travail de la force lors d’une rotation d’angle θ vaut $W(\vec F)=M(\vec F)\times\theta$.

Compléments

📐 Formule - Pour un déplacement élémentaire sur une trajectoire circulaire de rayon R, le travail élémentaire de la force vaut $\delta W(\vec F)=\vec F\cdot\delta\vec\ell=F\times R\times\delta\theta\times\cos(\vec F,\delta\vec\ell),$ où $R\,\delta\theta=\delta\ell$ est la longueur de l’arc élémentaire parcouru.

📖 6. Puissance mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance instantanée : Puissance moyenne évaluée sur un intervalle de temps très faible.
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire est définie par $\omega=\frac{\delta\theta}{\delta t}$ et s’exprime en radians par seconde.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La puissance moyenne d’une force est le rapport de son travail à la durée correspondante : $P_m=\frac{W(\vec F)}{\Delta t}$, en watts lorsque le travail est en joules et la durée en secondes.

📐 Formule - La puissance instantanée d’une force vaut $P(\vec F)=\frac{\delta W(\vec F)}{\delta t}=\frac{\vec F\cdot\delta\vec\ell}{\delta t}=\vec F\cdot\vec V=F\times V\times\cos(\vec F,\vec V)$, où $\vec V=\frac{\delta\vec\ell}{\delta t}$ est la vitesse instantanée.

📐 Formule - En rotation, la puissance instantanée s’écrit $P(\vec F)=\frac{\delta W(\vec F)}{\delta t}=\frac{M(\vec F)\cdot\delta\theta}{\delta t}$.