Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération des suites
2. Suites arithmétiques
3. Sommes arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Sommes géométriques

📖 1. Définition et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ ou sur un ensemble d’entiers naturels à partir d’un rang fixé, qui associe à chaque entier n un réel noté U_n.
• Définition explicite : Lorsqu’il existe une fonction f telle que, pour tout n à partir du rang initial n₀, U_n=f(n).
• Définition par récurrence : Lorsque son premier terme U_n₀ est donné et qu’une fonction f vérifie, pour tout n≥n₀, U_{n+1}=f(U_n).

📝 Points essentiels

📌 U_{n+1} désigne le terme qui suit U_n, tandis que U_n+1 désigne le terme U_n augmenté de 1.

• La représentation graphique d’une suite consiste à placer dans un repère les points de coordonnées (n ; U_n).

💡 Astuce mémo

Explicite : le rang donne le terme ; récurrence : le terme précédent le donne.

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite pour laquelle il existe un réel r tel que, pour tout n, U_{n+1}=U_n+r ; r est appelé sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r, $U_n=U_0+nr$.

Compléments

📐 Formule - Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : $U_{n+1}-U_n=r$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r et pour des indices n et p, $U_n=U_p+(n-p)r$.

• Les points représentant une suite arithmétique de raison r sont alignés sur une droite de coefficient directeur r et d’ordonnée à l’origine U_0.

💡 Astuce mémo

Des points posés sur une droite de pente r.

📖 3. Sommes arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des entiers de 1 à n vaut $\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, la somme des termes de U_0 à U_n vaut $U_0+U_1+\cdots+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2}$.

Compléments

• La somme des 100 premiers nombres entiers est 5050.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite pour laquelle il existe un réel non nul q tel que, pour tout n, U_{n+1}=q×U_n ; q est appelé sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q, $U_n=U_0\times q^n$.

Compléments

📐 Formule - Si aucun terme de la suite ne s’annule, une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs est constant : $\frac{U_{n+1}}{U_n}=q$.

📖 5. Sommes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour q différent de 1, la somme des puissances de 1 à q^n vaut $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q différente de 0 et de 1, $U_0+U_1+\cdots+U_n=U_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• La somme 1+2+2²+⋯+2¹⁰ vaut 2047.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques