Fiche de révision : Trigonométrie et triangles rectangles

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du triangle rectangle
2. Utilisation des nombres trigonométriques
3. Résolution d’un triangle rectangle
4. Cercle trigonométrique et valeurs
5. Relation fondamentale trigonométrique
6. Tangente sur le cercle trigonométrique
7. Cotangente sur le cercle trigonométrique
8. Valeurs possibles des fonctions trigonométriques
9. Calculatrice et angles associés
10. Identités et simplifications trigonométriques
11. Relations trigonométriques dans un triangle
12. Théorèmes métriques du triangle
13. Résolution des triangles quelconques
14. Cas particuliers de résolution
15. Triangles et figures géométriques
16. Mesures indirectes et déplacements

📖 1. Vocabulaire du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Le côté BC, opposé à l’angle droit, dans le triangle ABC rectangle en A.

• Cosinus : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l’hypoténuse.
• Sinus : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse.
• Tangente : Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle du côté adjacent.

📝 Points essentiels

• Dans le triangle ABC rectangle en A, les côtés AB et AC forment l’angle droit.

📐 Formule - Pour un angle aigu α d’un triangle rectangle, $\cos\alpha=\frac{\text{côté adjacent à }\alpha}{\text{hypoténuse}}$.

• Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est toujours strictement inférieur à 1.

📐 Formule - Les relations entre tangente, sinus, cosinus et cotangente sont $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ et $\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

📖 2. Utilisation des nombres trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour calculer le sinus, le cosinus ou la tangente d’un angle donné à la calculatrice, il faut vérifier que celle-ci est en mode degré, saisir la fonction trigonométrique et l’angle, puis valider.

• Les fonctions réciproques utilisées pour retrouver un angle sont :

  • le cosinus : cos⁻¹ ou Acs
  • la tangente : tan⁻¹ ou Atn
  • le sinus : sin⁻¹ ou Asn

Compléments

• Si $\cos\alpha=\frac{17}{20}$, alors $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{17}{20}\right)\approx31{,}79^\circ$.

• Si $\tan\beta=\frac{7}{10}$, alors $\beta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{10}\right)\approx34{,}99^\circ$.

• Si $\sin\gamma=\frac{2}{5}$, alors $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)\approx23{,}58^\circ$.

📖 3. Résolution d’un triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’un triangle rectangle : Déterminer les longueurs de ses côtés et les amplitudes de ses angles.

★ À maîtriser

• La somme des amplitudes des angles d’un triangle rectangle est égale à 180°.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, si c est la longueur de l’hypoténuse et a et b celles des deux autres côtés, $c^2=a^2+b^2$.

Compléments

• Dans un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm et dont un angle aigu mesure 65°, l’autre angle aigu mesure 25°.

• Dans un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm et dont un angle aigu mesure 65°, le côté adjacent à cet angle mesure environ 2,11 cm.

• Un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 12 et 16 a une hypoténuse de 20.

📖 4. Cercle trigonométrique et valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Dans un plan muni d’un repère orthonormé, le cercle de centre (0 ; 0), de rayon 1 et orienté dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

• Cosinus sur le cercle : L’abscisse du point représentant cet angle, obtenue par projection orthogonale sur l’axe horizontal Ox.
• Sinus sur le cercle : L’ordonnée du point représentant cet angle, obtenue par projection orthogonale sur l’axe vertical Oy.

★ À maîtriser

• Le point A qui représente l’angle α sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$.

• Les valeurs particulières de sinus et de cosinus sont : sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2, sin(90°)=1, sin(180°)=0, sin(270°)=−1, cos(0°)=1, cos(30°)=√3/2, cos(45°)=√2/2, cos(60°)=1/2, cos(90°)=0, cos(180°)=−1 et cos(270°)=0.

Compléments

• Les quatre quadrants du cercle trigonométrique sont :
  • QI
  • QII
  • QIII
  • QIV

📐 Formule - Pour tout angle α, $-1\leq\sin\alpha\leq1$ et $-1\leq\cos\alpha\leq1$.

• Les valeurs des nombres trigonométriques aux angles 0°, 90°, 180° et 270° sont : sin(0°)=0, cos(0°)=1, tan(0°)=0, cot(0°) n’existe pas ; sin(90°)=1, cos(90°)=0, tan(90°) n’existe pas, cot(90°)=0 ; sin(180°)=0, cos(180°)=−1, tan(180°)=0, cot(180°) n’existe pas ; sin(270°)=−1, cos(270°)=0, tan(270°) n’existe pas, cot(270°)=0.

• Pour déterminer les valeurs de sinus et de cosinus des angles 30°, 45° et 60°, le cours utilise des triangles particuliers et le théorème de Pythagore.

📖 5. Relation fondamentale trigonométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout angle α, y compris les angles obtus, $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$.

Compléments

• La notation $\sin^2(\alpha)$ remplace désormais l’écriture $(\sin(\alpha))^2$, et cette convention vaut aussi pour les autres nombres trigonométriques.

📖 6. Tangente sur le cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe des tangentes : Droite tangente au cercle trigonométrique en C(1 ; 0), d’équation x = 1.

• Tangente d’un angle : Ordonnée du point d’intersection de l’axe des tangentes et de la droite OA, où A représente α sur le cercle trigonométrique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\cos(\alpha)\ne 0$, la tangente vérifie $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $\alpha\ne90^\circ$ et $\alpha\ne270^\circ$, la formule fondamentale donne $1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

• La tangente peut prendre toute valeur réelle, de sorte que $-\infty\leq\tan(\alpha)\leq+\infty$.

• Aux angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° et 270°, les tangentes valent respectivement 0, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 1, $\sqrt{3}$, ∄, 0 et ∄.

• Si $\sin(\alpha)=\frac45$ et si α appartient au quadrant II, alors $\cos(\alpha)=-\frac35$ et $\tan(\alpha)=-\frac43$.

💡 Astuce mémo

La droite OA traverse l’axe vertical x = 1 : son intersection donne la tangente.

📖 7. Cotangente sur le cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe des cotangentes : Droite tangente au cercle trigonométrique en E(0 ; 1), d’équation y = 1.
• Cotangente d’un angle : Abscisse du point d’intersection de l’axe des cotangentes et de la droite OA, où A représente α sur le cercle trigonométrique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\sin(\alpha)\ne0$, la cotangente vérifie $\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{1}{\tan(\alpha)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $\alpha\ne0^\circ$ et $\alpha\ne180^\circ$, la formule fondamentale donne $1+\cot^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

• La cotangente peut prendre toute valeur réelle, de sorte que $-\infty\leq\cot(\alpha)\leq+\infty$.

• Aux angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° et 270°, les cotangentes valent respectivement ∄, $\sqrt{3}$, 1, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 0, ∄ et 0.

💡 Astuce mémo

La droite OA traverse l’axe horizontal y = 1 : son intersection donne la cotangente.

📖 8. Valeurs possibles des fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

📌 Un sinus ou un cosinus ne peut pas dépasser 1 ni être inférieur à −1, tandis que la tangente peut prendre toute valeur réelle.

Compléments

• Il est impossible de construire un angle dont le sinus vaut 1,4, car cette valeur est hors de l’intervalle [−1, 1].

• Un angle dont le cosinus vaut −0,2 est possible, car cette valeur appartient à l’intervalle [−1, 1].

💡 Astuce mémo

Sinus et cosinus restent entre −1 et 1 ; la tangente peut dépasser ces bornes.

📖 9. Calculatrice et angles associés

★ À maîtriser

• Pour déterminer des angles à partir d’une valeur trigonométrique, on utilise la fonction réciproque de la calculatrice puis on tient compte du quadrant et de l’intervalle imposé.

Compléments

• Le sinus de 112° vaut environ 0,927 au millième près.

• L’angle compris entre 0° et 180° dont le cosinus vaut 0,2015 est environ 78,4° au dixième près.

• Les angles compris entre 0° et 180° dont le sinus vaut 0,54785 sont environ 33,22° dans le premier quadrant et 146,78° dans le deuxième quadrant.

📖 10. Identités et simplifications trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation fondamentale est $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.

📐 Formule - Pour tout angle où les expressions sont définies, $1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$.

• Pour vérifier une égalité ou simplifier une expression trigonométrique, on remplace la tangente par $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, puis on utilise la relation fondamentale et les restrictions de définition.

Compléments

📐 Formule - Pour tout angle où les expressions sont définies, $1+\cot^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.

• Pour tout x où le quotient est défini, $\frac{1-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=1$.

• Pour tout x où les expressions sont définies, $(1-\sin^2(x))(1+\tan^2(x))=1$, et non 2.

• Pour tout x où le quotient est défini, $\frac{\sin^3(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{\sin(x)}=1$.

📖 11. Relations trigonométriques dans un triangle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans tout triangle, la somme des angles intérieurs vaut $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

📐 Formule - Dans tout triangle, le théorème des sinus donne $\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}$.

📐 Formule - L’aire d’un triangle est la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l’angle qu’ils comprennent : $S=\frac12 ab\sin(\gamma)=\frac12 ac\sin(\beta)=\frac12 bc\sin(\alpha)$.

📌 Le théorème des cosinus, aussi appelé théorème de Pythagore généralisé ou théorème d’Al-Kashi, relie les trois côtés d’un triangle à un angle : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$, $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)$ et $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)$.

📖 12. Théorèmes métriques du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Héron : Le théorème de Héron calcule l’aire d’un triangle à partir de ses côtés : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, où $p=\frac{a+b+c}{2}$ est le demi-périmètre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle quelconque, le théorème des cosinus donne $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)$.

Compléments

• Pour démontrer la formule de $b^2$, on projette le triangle sur la hauteur issue de C : $CH=a\sin(\beta)$ et $AH=c-a\cos(\beta)$, puis le théorème de Pythagore dans ACH donne $b^2=(c-a\cos(\beta))^2+(a\sin(\beta))^2$, qui se simplifie avec $\cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)=1$.

• La formule de Héron est attribuée à Héron d’Alexandrie, qui la reprend dans son traité Metrica, mais elle avait déjà été trouvée par Archimède.

📖 13. Résolution des triangles quelconques

📝 Points essentiels

• Les quatre configurations de données sont :
  • ACA : un côté et deux angles
  • CAC : deux côtés et l’angle compris
  • CCA : deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux
  • CCC : les trois côtés

• Pour résoudre un triangle, on calcule d’abord l’angle manquant avec $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ si deux angles sont connus; on utilise ensuite la loi des sinus si les trois angles sont connus ou si l’angle cherché est aigu, et la loi des cosinus dans les autres situations.

📌 Avec la loi des sinus, un angle calculé par arcsinus peut avoir deux valeurs possibles, $\alpha$ et $180^\circ-\alpha$; si l’angle doit être aigu, on retient la valeur aiguë, tandis que si son caractère aigu n’est pas certain, la loi des cosinus est préférable.

💡 Astuce mémo

Deux angles → sinus si l’angle cherché est aigu → cosinus dans les autres cas.

📖 14. Cas particuliers de résolution

★ À maîtriser

📌 Un triangle dont les côtés mesurent 27,84, 20,43 et 5,63 est impossible, car le plus grand côté dépasse la somme des deux autres, contrairement à l’inégalité triangulaire.

Compléments

• Pour trois côtés de longueurs 30, 25 et 34, le théorème des cosinus donne $\beta=75{,}76^\circ$ et $\alpha=58{,}79^\circ$, puis la somme des angles donne $\gamma=45{,}45^\circ$.

📖 15. Triangles et figures géométriques

★ À maîtriser

• Pour déterminer les côtés d’un parallélogramme à partir de ses diagonales et de l’angle qu’elles forment, on calcule les demi-diagonales, puis les côtés des triangles formés par les diagonales avec le théorème des cosinus.

📐 Formule - L’aire d’un triangle connaissant deux côtés et leur angle compris se calcule par $A=\frac{1}{2}ab\sin(C)$.

Compléments

• Dans un parallélogramme dont les diagonales mesurent 42 m et 51 m et forment un angle de 62°, les côtés mesurent 24,26 m et 39,93 m, et les angles mesurent 102,4° et 77,6°.

• Dans un parallélépipède rectangle d’arêtes 1, 4 et 3, le triangle construit sur les sommets B, D et G a pour côtés $\sqrt{17}$, 5 et $\sqrt{10}$, et l’angle β mesure 85,6°.

📐 Formule - La formule d’Héron donne l’aire d’un triangle par $A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, où $p$ est le demi-périmètre.

• Un polygone formé de deux triangles d’aires 3,42 cm² et 5,01 cm² a une aire totale de 8,43 cm².

📖 16. Mesures indirectes et déplacements

📝 Points essentiels

• Pour un observateur dont l’œil est à 1,80 m du sol et situé à 10,21 m du pied d’un arbre, un angle de visée de 72° correspond à une hauteur d’arbre de 21 m.

• Un avion qui dévie d’une trajectoire en formant des angles de 21° et 35°, avec un point d’interception situé à 70 km du départ, parcourt 8,69 km de plus que sur la trajectoire directe; l’aire du triangle de déviation est de 607,45 km².

• Un groupe observant une tour de 324 m sous des angles d’élévation de 32,8° puis 52° à cinq minutes d’intervalle parcourt 249,61 m et se déplace à environ 3 km/h.

• Deux observatrices distantes de 1250 m voient un parachutiste situé entre elles sous des angles d’élévation de 73° et 84°; sa hauteur est de 3042,59 m.

• Deux bateaux séparés de 50 km se dirigent vers un même point avec des angles de 85° et 65°; l’angle au point de rencontre est de 30° et les distances initiales jusqu’à ce point sont de 90,63 km et 99,62 km.

• Après que les deux bateaux ont parcouru respectivement 30 km et 50 km, ils sont séparés de 30,45 km; les angles de leur triangle de position sont 54,56°, 95,44° et 30°.

📊 Tableaux de synthèse

Tangente et cotangente