QCM : Trigonométrie et triangles rectangles (30 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle rectangle dont les côtés mesurent 5, 12 et 13, quelles affirmations sur les nombres trigonométriques des angles aigus sont exactes ?

Le cosinus de l’angle opposé au côté de longueur 12 vaut 1213\frac{12}{13}.
Pour l’angle opposé au côté de longueur 5, le sinus vaut 513\frac{5}{13}.
Le cosinus de chaque angle aigu est strictement inférieur à 1 dans ce triangle.
Le sinus de l’angle opposé au côté de longueur 5 vaut 1213\frac{12}{13}.
Le sinus d’un angle aigu se calcule en divisant son côté opposé par l’hypoténuse.

Pour l’angle opposé au côté de longueur 5, le sinus vaut $$\frac{5}{13}$$. · Le cosinus de chaque angle aigu est strictement inférieur à 1 dans ce triangle. · Le sinus d’un angle aigu se calcule en divisant son côté opposé par l’hypoténuse.

Explication

Le sinus est le rapport côté opposé sur hypoténuse, et les cosinus des angles aigus sont inférieurs à 1. Ici, l’hypoténuse mesure 13 : le sinus de l’angle opposé au côté de 5 vaut 513\frac{5}{13}; le cosinus de l’angle opposé au côté de 12 vaut 513\frac{5}{13}, et non 1213\frac{12}{13}.

2. Une calculatrice en mode degré est utilisée pour déterminer un angle aigu dont le cosinus vaut 1720\frac{17}{20}. Quelles propositions sont exactes ?

L’angle recherché est approximativement égal à 31,79∘31{,}79^\circ.
À partir de cos⁡α=1720\cos\alpha=\frac{17}{20}, on obtient l’angle avec la fonction réciproque sin⁻¹.
Le mode degré doit être vérifié avant le calcul trigonométrique d’un angle exprimé en degrés.
Pour calculer le cosinus d’un angle donné, on saisit la fonction cosinus et l’angle, puis on valide.
Pour retrouver l’angle à partir de son cosinus, on utilise la fonction réciproque cos⁻¹ ou Acs.

L’angle recherché est approximativement égal à $$31{,}79^\circ$$. · Le mode degré doit être vérifié avant le calcul trigonométrique d’un angle exprimé en degrés. · Pour calculer le cosinus d’un angle donné, on saisit la fonction cosinus et l’angle, puis on valide. · Pour retrouver l’angle à partir de son cosinus, on utilise la fonction réciproque cos⁻¹ ou Acs.

Explication

Le calcul trigonométrique d’un angle donné nécessite le mode degré, la saisie de la fonction et de l’angle, puis la validation. Pour retrouver l’angle à partir du cosinus, on utilise cos⁻¹ (ou Acs); ici, α=cos⁡−1(1720)≈31,79∘\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{17}{20}\right)\approx31{,}79^\circ, et non la fonction réciproque du sinus.

3. Pour déterminer un angle à partir d’un nombre trigonométrique, quelles propositions sont exactes ?

Si tan⁡β=710\tan\beta=\frac{7}{10}, alors β≈35,99∘\beta\approx35{,}99^\circ.
Si tan⁡β=710\tan\beta=\frac{7}{10}, alors β≈34,99∘\beta\approx34{,}99^\circ.
Si sin⁡γ=25\sin\gamma=\frac{2}{5}, alors γ≈21,80∘\gamma\approx21{,}80^\circ.
Si tan⁡β=710\tan\beta=\frac{7}{10}, alors β≈23,58∘\beta\approx23{,}58^\circ.
Si sin⁡γ=25\sin\gamma=\frac{2}{5}, alors γ≈24,58∘\gamma\approx24{,}58^\circ.

Si $$\tan\beta=\frac{7}{10}$$, alors $$\beta\approx34{,}99^\circ$$.

Explication

La tangente réciproque de 710\frac{7}{10} donne environ 34,99∘34{,}99^\circ, tandis que le sinus réciproque de 25\frac{2}{5} donne environ 23,58∘23{,}58^\circ. Les autres amplitudes proposées ne correspondent pas à ces calculs.

4. Résoudre un triangle rectangle consiste à déterminer :

Les longueurs de ses côtés ainsi que les amplitudes de ses angles.
Les longueurs de ses côtés ainsi que les aires de ses trois angles.
Les amplitudes de ses angles ainsi que les périmètres de ses côtés.
La somme des amplitudes de ses angles, égale à 360∘360^\circ.
La somme des amplitudes de ses angles, égale à 90∘90^\circ.

Les longueurs de ses côtés ainsi que les amplitudes de ses angles.

Explication

Résoudre le triangle revient à trouver les longueurs des côtés et les amplitudes des angles. La somme des angles d’un triangle rectangle est 180∘180^\circ, et non 90∘90^\circ ou 360∘360^\circ ; les aires d’angles et les périmètres de côtés ne sont pas les grandeurs visées.

5. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 55 cm et un angle aigu de 65∘65^\circ. Quelles propositions sont exactes ?

Le côté adjacent à l’angle de 65∘65^\circ mesure environ 2,112{,}11 cm.
Avec des côtés de l’angle droit de 1212 cm et 1616 cm, l’hypoténuse mesure 2828 cm.
Le côté adjacent à l’angle de 65∘65^\circ mesure environ 4,234{,}23 cm.
Avec des côtés de l’angle droit de 1212 cm et 1616 cm, l’hypoténuse mesure 2020 cm.
Le côté adjacent à l’angle de 65∘65^\circ mesure environ 3,113{,}11 cm.

Le côté adjacent à l’angle de $$65^\circ$$ mesure environ $$2{,}11$$ cm. · Avec des côtés de l’angle droit de $$12$$ cm et $$16$$ cm, l’hypoténuse mesure $$20$$ cm.

Explication

Le côté adjacent vaut 5cos⁡(65∘)≈2,115\cos(65^\circ)\approx2{,}11 cm. Pour les côtés perpendiculaires de 1212 cm et 1616 cm, Pythagore donne une hypoténuse de 122+162=20\sqrt{12^2+16^2}=20 cm ; les autres mesures proposées ne conviennent pas.

6. Un point représente un angle sur un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Le point associé à α\alpha a pour coordonnées (sin⁡α;cos⁡α)(\sin\alpha;\cos\alpha).
Le point associé à α\alpha a pour coordonnées (cos⁡α;sin⁡α)(\cos\alpha;\sin\alpha).
Le cercle a pour centre (0;0)(0;0), pour rayon 22 et une orientation antihoraire.
Le cercle a pour centre (0;0)(0;0), pour rayon 11 et une orientation antihoraire.
Le cercle trigonométrique est partagé en quatre quadrants nommés QI, QII, QIII et QIV.

Le point associé à $$\alpha$$ a pour coordonnées $$(\cos\alpha;\sin\alpha)$$. · Le cercle a pour centre $$(0;0)$$, pour rayon $$1$$ et une orientation antihoraire. · Le cercle trigonométrique est partagé en quatre quadrants nommés QI, QII, QIII et QIV.

Explication

Le cercle trigonométrique est centré à l’origine, de rayon 11 et orienté dans le sens antihoraire. Les coordonnées du point sont (cos⁡α;sin⁡α)(\cos\alpha;\sin\alpha), et le cercle comporte quatre quadrants ; inverser sinus et cosinus ou doubler le rayon est incorrect.

7. Concernant les coordonnées associées à un angle sur le cercle trigonométrique :

La projection sur l’axe vertical permet d’obtenir le cosinus de l’angle considéré.
L’ordonnée du point représentant l’angle fournit la valeur de son cosinus.
La projection orthogonale sur l’axe horizontal fournit la valeur du sinus.
Le sinus correspond à l’ordonnée du point représentant l’angle sur le cercle.
Le cosinus correspond à l’abscisse du point représentant l’angle sur le cercle.

Le sinus correspond à l’ordonnée du point représentant l’angle sur le cercle. · Le cosinus correspond à l’abscisse du point représentant l’angle sur le cercle.

Explication

Le cosinus est l’abscisse obtenue par projection sur l’axe horizontal, tandis que le sinus est l’ordonnée obtenue par projection sur l’axe vertical. Les projections sur les axes et les fonctions sont inversées dans les autres affirmations.

8. Pour l’angle de 60∘60^\circ, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le sinus de 60∘60^\circ vaut 32\frac{\sqrt{3}}{2}.
Le sinus de 60∘60^\circ vaut 12\frac{1}{2}.
Le sinus de 60∘60^\circ vaut 3\sqrt{3}.
Le cosinus de 60∘60^\circ appartient à l’intervalle [−1,1][-1,1].
Le cosinus de 60∘60^\circ vaut 12\frac{1}{2}.

Le sinus de $$60^\circ$$ vaut $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. · Le cosinus de $$60^\circ$$ appartient à l’intervalle $$[-1,1]$$. · Le cosinus de $$60^\circ$$ vaut $$\frac{1}{2}$$.

Explication

Les valeurs particulières donnent sin⁡(60∘)=32\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} et cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}. Le cosinus respecte les bornes [−1,1][-1,1] ; les deux valeurs proposées pour le sinus sont erronées.

9. Un élève complète le tableau des nombres trigonométriques aux angles remarquables. Quelles réponses sont exactes ?

À 90∘90^\circ, le sinus vaut 11 et la tangente n’existe pas.
À 180∘180^\circ, le cosinus vaut −1-1 et la tangente vaut 00.
Pour calculer sinus et cosinus à 45∘45^\circ, on peut utiliser Pythagore.
À 180∘180^\circ, la cotangente vaut 00.
À 270∘270^\circ, le sinus vaut 11 et la cotangente vaut 00.

À $$90^\circ$$, le sinus vaut $$1$$ et la tangente n’existe pas. · À $$180^\circ$$, le cosinus vaut $$-1$$ et la tangente vaut $$0$$. · Pour calculer sinus et cosinus à $$45^\circ$$, on peut utiliser Pythagore.

Explication

À 90∘90^\circ, sin⁡=1\sin=1 et la tangente n’existe pas ; à 180∘180^\circ, cos⁡=−1\cos=-1 et tan⁡=0\tan=0. Les valeurs particulières de 30∘30^\circ, 45∘45^\circ et 60∘60^\circ se déterminent avec des triangles particuliers et Pythagore. À 270∘270^\circ, le sinus vaut −1-1 ; à 0∘0^\circ, la tangente vaut 00 et la cotangente n’existe pas. La cotangente n’existe pas non plus à 180∘180^\circ.

10. Pour un angle obtus α\alpha, quelle(s) proposition(s) concernant la relation fondamentale trigonométrique est/sont exacte(s) ?

Si sin⁡2(α)=0,75\sin^2(\alpha)=0{,}75, alors cos⁡2(α)=0,25\cos^2(\alpha)=0{,}25.
Si cos⁡2(α)=0,36\cos^2(\alpha)=0{,}36, alors sin⁡2(α)=0,64\sin^2(\alpha)=0{,}64.
La relation devient cos⁡2(α)−sin⁡2(α)=1\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)=1 pour cet angle.
La relation vaut cos⁡(α)+sin⁡(α)=1\cos(\alpha)+\sin(\alpha)=1 pour cet angle.
La relation cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=1\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1 reste valable pour cet angle.

Si $$\sin^2(\alpha)=0{,}75$$, alors $$\cos^2(\alpha)=0{,}25$$. · Si $$\cos^2(\alpha)=0{,}36$$, alors $$\sin^2(\alpha)=0{,}64$$. · La relation $$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$$ reste valable pour cet angle.

Explication

La somme des carrés du cosinus et du sinus vaut 11, y compris pour un angle obtus. Ainsi, les carrés manquants sont respectivement 1−0,36=0,641-0{,}36=0{,}64 et 1−0,75=0,251-0{,}75=0{,}25 ; ni la différence des carrés ni la somme simple des fonctions ne constitue la relation fondamentale.

11. À propos de la notation des carrés des nombres trigonométriques, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

L’écriture sin⁡2(α)\sin^2(\alpha) désigne le sinus de α2\alpha^2.
La convention de notation s’applique également au carré du cosinus.
L’écriture tan⁡2(α)\tan^2(\alpha) suit la même convention de notation.
La notation sin⁡2(α)\sin^2(\alpha) remplace l’écriture (sin⁡(α))2(\sin(\alpha))^2.
La notation cos⁡2(α)\cos^2(\alpha) signifie cos⁡(α2)\cos(\alpha^2).

La convention de notation s’applique également au carré du cosinus. · L’écriture $$\tan^2(\alpha)$$ suit la même convention de notation. · La notation $$\sin^2(\alpha)$$ remplace l’écriture $$(\sin(\alpha))^2$$.

Explication

La notation sin⁡2(α)\sin^2(\alpha) signifie [sin⁡(α)]2[\sin(\alpha)]^2, et non le sinus de l’angle au carré. La même convention s’applique aux autres nombres trigonométriques, dont le cosinus et la tangente.

12. Concernant la tangente sur le cercle trigonométrique :

L’axe des tangentes est la droite tangente au cercle en (0;1)(0 ; 1), d’équation x=1x=1.
La tangente de l’angle est l’ordonnée de l’intersection de OAOA avec l’axe des tangentes.
L’axe des tangentes passe par le point de coordonnées (0;1)(0 ; 1) et a pour équation y=1y=1.
Lorsque le cosinus est non nul, la tangente est le quotient du cosinus par le sinus.
Pour tout angle, la tangente est égale au quotient du cosinus par le sinus.

La tangente de l’angle est l’ordonnée de l’intersection de $$OA$$ avec l’axe des tangentes.

Explication

L’axe des tangentes est tangent au cercle en (1;0)(1 ; 0) et son équation est x=1x=1, non y=1y=1. La tangente se lit comme l’ordonnée de l’intersection avec OAOA; la formule correcte est tan⁡(α)=sin⁡(α)cos⁡(α)\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, sous condition que le cosinus soit non nul.

13. Pour un angle α=60∘\alpha=60^\circ, quelle(s) proposition(s) concernant les propriétés de la tangente est(sont) exacte(s) ?

Pour cet angle, la relation donne 1+tan⁡2(60∘)=1sin⁡2(60∘)1+\tan^2(60^\circ)=\frac{1}{\sin^2(60^\circ)}.
La tangente peut prendre toute valeur réelle, y compris une valeur négative.
La relation 1+tan⁡2(60∘)=1cos⁡(60∘)1+\tan^2(60^\circ)=\frac{1}{\cos(60^\circ)} s’applique à cet angle.
Une valeur telle que −2-2 peut être prise par la tangente d’un angle.
Comme 60∘60^\circ n’est ni 90∘90^\circ ni 270∘270^\circ, 1+tan⁡2(60∘)=1cos⁡2(60∘)1+\tan^2(60^\circ)=\frac{1}{\cos^2(60^\circ)}.

La tangente peut prendre toute valeur réelle, y compris une valeur négative. · Une valeur telle que $$-2$$ peut être prise par la tangente d’un angle. · Comme $$60^\circ$$ n’est ni $$90^\circ$$ ni $$270^\circ$$, $$1+\tan^2(60^\circ)=\frac{1}{\cos^2(60^\circ)}$$.

Explication

La relation fondamentale de la tangente s’applique ici puisque 60∘60^\circ n’est ni 90∘90^\circ ni 270∘270^\circ; son dénominateur est le carré du cosinus. La tangente peut prendre toute valeur réelle, donc −2-2 est possible; remplacer le cosinus par le sinus ou omettre son carré déforme la formule.

14. On sait que sin⁡(α)=45\sin(\alpha)=\frac45 et que α\alpha est dans le quadrant II. Cochez les propositions exactes :

À 270∘270^\circ, la tangente vaut 00.
Pour α\alpha, la tangente vaut −43-\frac43.
À 30∘30^\circ, la tangente vaut 32\frac{\sqrt3}{2}.
Pour α\alpha, le cosinus vaut −35-\frac35.
À 45∘45^\circ, la tangente vaut 3\sqrt3.

Pour $$\alpha$$, la tangente vaut $$-\frac43$$. · Pour $$\alpha$$, le cosinus vaut $$-\frac35$$.

Explication

Dans le quadrant II, le cosinus associé à sin⁡(α)=45\sin(\alpha)=\frac45 vaut −35-\frac35, d’où tan⁡(α)=4/5−3/5=−43\tan(\alpha)=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac43. Les valeurs remarquables sont tan⁡(30∘)=33\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{3}, tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ)=1 et la tangente en 270∘270^\circ n’est pas définie.

15. Parmi les propositions suivantes concernant l’axe des cotangentes et la cotangente géométrique, lesquelles sont exactes ?

La cotangente est l’abscisse de l’intersection de la droite OAOA avec l’axe des cotangentes.
La cotangente est l’ordonnée de l’intersection de OAOA avec la droite d’équation y=1y=1.
L’axe des cotangentes est tangent au cercle en E(0;1)E(0 ; 1) et son équation est y=1y=1.
L’axe des cotangentes passe par E(0;1)E(0 ; 1) et son équation est x=1x=1.
L’axe des cotangentes est parallèle à l’axe des ordonnées et passe par E(0;1)E(0 ; 1).

La cotangente est l’abscisse de l’intersection de la droite $$OA$$ avec l’axe des cotangentes. · L’axe des cotangentes est tangent au cercle en $$E(0 ; 1)$$ et son équation est $$y=1$$.

Explication

L’axe des cotangentes est tangent au cercle en E(0;1)E(0 ; 1) et a pour équation y=1y=1, donc il est parallèle à l’axe des abscisses. La cotangente est l’abscisse du point où cet axe rencontre OAOA. L’ordonnée de ce point n’est pas la cotangente, et l’équation x=1x=1 décrit l’axe des tangentes, qui passe par C(1;0)C(1 ; 0).

16. Concernant les valeurs de la cotangente aux angles remarquables du cercle trigonométrique :

À 90°, la cotangente n’est pas définie, tandis qu’à 180° elle vaut 0.
La cotangente peut prendre des valeurs réelles, mais reste comprise entre 0 et 1.
La cotangente peut prendre toute valeur réelle, positive ou négative.
À 30°, la cotangente vaut 3\sqrt{3}, tandis qu’à 45° elle vaut 1.
À 60°, la cotangente vaut 3\sqrt{3}, tandis qu’à 45° elle vaut 1.

La cotangente peut prendre toute valeur réelle, positive ou négative. · À 30°, la cotangente vaut $$\sqrt{3}$$, tandis qu’à 45° elle vaut 1.

Explication

À 30° et 45°, les valeurs sont respectivement 3\sqrt{3} et 1. La cotangente peut prendre toute valeur réelle. À 60°, elle vaut 33\frac{\sqrt{3}}{3}, et elle est non définie à 180° mais vaut 0 à 90°; l’affirmation qui la borne entre 0 et 1 est également fausse.

17. Une calculatrice doit déterminer si des valeurs proposées pour un cosinus sont réalisables. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Un cosinus égal à −1-1 est possible, car cette valeur appartient à [−1,1][-1,1].
Un cosinus égal à 1,21,2 est possible, car cette valeur appartient à [−1,1][-1,1].
Un cosinus égal à −0,2-0,2 est possible, car cette valeur appartient à [−1,1][-1,1].
Un cosinus égal à 0,80,8 est possible, car cette valeur appartient à [−1,1][-1,1].
Un cosinus égal à −1,2-1,2 est possible, car cette valeur appartient à [−1,1][-1,1].

Un cosinus égal à $$-1$$ est possible, car cette valeur appartient à $$[-1,1]$$. · Un cosinus égal à $$-0,2$$ est possible, car cette valeur appartient à $$[-1,1]$$. · Un cosinus égal à $$0,8$$ est possible, car cette valeur appartient à $$[-1,1]$$.

Explication

Les valeurs −0,2-0,2, 0,80,8 et −1-1 appartiennent à l’intervalle permis [−1,1][-1,1]. En revanche, −1,2-1,2 et 1,21,2 sont en dehors de cet intervalle et ne peuvent pas être des valeurs de cosinus.

18. Pour résoudre une recherche d’angle à partir d’une valeur trigonométrique, cochez les propositions exactes :

Le sinus de 112°112° est approximativement égal à 0,9270,927 au centième près.
Après le calcul réciproque, il faut tenir compte du quadrant et de l’intervalle demandé.
Pour obtenir un angle à partir de son sinus, on utilise la fonction réciproque du sinus.
Le sinus de 112°112° est approximativement égal à 0,9270,927 au millième près.
Pour obtenir un angle à partir de son sinus, on utilise la fonction réciproque du cosinus.

Après le calcul réciproque, il faut tenir compte du quadrant et de l’intervalle demandé. · Pour obtenir un angle à partir de son sinus, on utilise la fonction réciproque du sinus. · Le sinus de $$112°$$ est approximativement égal à $$0,927$$ au millième près.

Explication

La fonction réciproque du sinus permet de trouver un angle à partir de son sinus, puis il faut tenir compte du quadrant et de l’intervalle imposé. Le sinus de 112°112° vaut environ 0,9270,927 au millième près; la fonction réciproque du cosinus ne convient pas ici et l’arrondi au centième serait 0,930,93.

19. Pour un angle où les expressions sont définies, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si cos⁡(x)=12\cos(x)=\frac{1}{2}, alors 1+tan⁡2(x)=21+\tan^2(x)=2.
Si sin⁡(α)=13\sin(\alpha)=\frac{1}{3}, alors 1+cot⁡2(α)=91+\cot^2(\alpha)=9.
Si sin⁡(x)=35\sin(x)=\frac{3}{5}, alors cos⁡2(x)=925\cos^2(x)=\frac{9}{25}.
Si sin⁡(x)=35\sin(x)=\frac{3}{5}, alors cos⁡2(x)=1625\cos^2(x)=\frac{16}{25}.
Si cos⁡(x)=12\cos(x)=\frac{1}{2}, alors 1+tan⁡2(x)=41+\tan^2(x)=4.

Si $$\sin(\alpha)=\frac{1}{3}$$, alors $$1+\cot^2(\alpha)=9$$. · Si $$\sin(x)=\frac{3}{5}$$, alors $$\cos^2(x)=\frac{16}{25}$$. · Si $$\cos(x)=\frac{1}{2}$$, alors $$1+\tan^2(x)=4$$.

Explication

La relation fondamentale donne cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)=1625\cos^2(x)=1-\sin^2(x)=\frac{16}{25}. Les identités de tangente et de cotangente donnent respectivement 1+tan⁡2(x)=1/cos⁡2(x)=41+\tan^2(x)=1/\cos^2(x)=4 et 1+cot⁡2(α)=1/sin⁡2(α)=91+\cot^2(\alpha)=1/\sin^2(\alpha)=9; les deux autres valeurs annoncées ne satisfont pas ces identités.

20. On cherche à simplifier des expressions trigonométriques avec leurs quotients définis. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Le quotient 1−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{1-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} vaut 11 lorsque son dénominateur est non nul.
Dans 1−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{1-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}, le numérateur se réduit à sin⁡2(x)\sin^2(x).
Après remplacement de la tangente, la relation fondamentale aide à vérifier une égalité trigonométrique.
Pour simplifier tan⁡(x)\tan(x), on peut la remplacer par sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
La vérification d’une simplification doit tenir compte des restrictions de définition des expressions.

Le quotient $$\frac{1-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$ vaut $$1$$ lorsque son dénominateur est non nul. · Dans $$\frac{1-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$, le numérateur se réduit à $$\sin^2(x)$$. · Après remplacement de la tangente, la relation fondamentale aide à vérifier une égalité trigonométrique. · Pour simplifier $$\tan(x)$$, on peut la remplacer par $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$. · La vérification d’une simplification doit tenir compte des restrictions de définition des expressions.

Explication

La tangente se remplace par sin⁡(x)/cos⁡(x)\sin(x)/\cos(x), puis la relation fondamentale permet les simplifications en tenant compte des domaines de définition. De plus, 1−cos⁡2(x)=sin⁡2(x)1-\cos^2(x)=\sin^2(x), donc le quotient indiqué vaut 11 lorsque sin⁡(x)≠0\sin(x)\ne0.

21. Pour un angle où les quotients sont définis, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le quotient sin⁡3(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(x)\frac{\sin^3(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{\sin(x)} se simplifie en cos⁡2(x)\cos^2(x).
L’expression (1−sin⁡2(x))(1+tan⁡2(x))(1-\sin^2(x))(1+\tan^2(x)) se simplifie en cos⁡2(x)\cos^2(x).
Le quotient sin⁡3(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(x)\frac{\sin^3(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{\sin(x)} se simplifie en sin⁡2(x)\sin^2(x).
L’expression (1−sin⁡2(x))(1+tan⁡2(x))(1-\sin^2(x))(1+\tan^2(x)) se simplifie en 22.
L’expression (1−sin⁡2(x))(1+tan⁡2(x))(1-\sin^2(x))(1+\tan^2(x)) se simplifie en 11.

L’expression $$(1-\sin^2(x))(1+\tan^2(x))$$ se simplifie en $$1$$.

Explication

Comme 1−sin⁡2(x)=cos⁡2(x)1-\sin^2(x)=\cos^2(x) et 1+tan⁡2(x)=1/cos⁡2(x)1+\tan^2(x)=1/\cos^2(x), le produit vaut 11, et non 22 ni cos⁡2(x)\cos^2(x). Dans l’autre quotient, le numérateur se factorise en sin⁡(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))\sin(x)(\sin^2(x)+\cos^2(x)), donc le quotient vaut 11, pas sin⁡2(x)\sin^2(x) ou cos⁡2(x)\cos^2(x).

22. Dans un triangle, deux angles intérieurs mesurent 48∘48^\circ et 67∘67^\circ. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le troisième angle intérieur mesure 65∘65^\circ, car la somme des angles vaut 180∘180^\circ.
Le troisième angle intérieur mesure 55∘55^\circ, car la somme des angles vaut 170∘170^\circ.
Le troisième angle intérieur mesure 113∘113^\circ, car il complète le plus petit angle à 180∘180^\circ.
Le troisième angle intérieur mesure 75∘75^\circ, car la somme des angles vaut 190∘190^\circ.
Le troisième angle intérieur mesure 67∘67^\circ, car il égale le deuxième angle donné.

Le troisième angle intérieur mesure $$65^\circ$$, car la somme des angles vaut $$180^\circ$$.

Explication

Dans un triangle, les trois angles intérieurs totalisent 180∘180^\circ; le troisième angle vaut donc 180∘−48∘−67∘=65∘180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ. Les autres valeurs ne respectent pas cette somme ou sont calculées à partir d’un seul angle.

23. Un triangle a deux côtés de longueurs 5 et 8, comprenant un angle de 30°. Parmi les propositions suivantes concernant son aire, laquelle est exacte ?

Son aire vaut la moitié du produit des deux côtés par le sinus de l’angle compris.
Son aire vaut le produit des deux côtés par le sinus de l’angle compris, sans division par deux.
Son aire se calcule par la moitié du produit des côtés, multipliée par le cosinus de l’angle compris.
Son aire se calcule par la moitié du produit des deux côtés, multipliée par la tangente de l’angle compris.
Son aire vaut la moitié du produit d’un côté et de l’angle opposé, multipliée par le sinus.

Son aire vaut la moitié du produit des deux côtés par le sinus de l’angle compris.

Explication

L’aire est donnée par la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l’angle qu’ils comprennent. Le cosinus ou la tangente ne conviennent pas à cette formule ; l’angle doit être compris entre les deux côtés, et non opposé à l’un d’eux.

24. Dans un triangle, les côtés adjacents à l’angle β mesurent 6 et 9, et β vaut 60°. Cochez les propositions exactes :

Le carré du côté opposé à β s’obtient en soustrayant 2 fois 6 fois 9 cos(β) à 6² + 9².
Le carré du côté opposé à β s’obtient en ajoutant 2 fois 6 fois 9 cos(β) à 6² + 9².
Le carré du côté opposé à β s’obtient en soustrayant 2 fois 6 fois 9 cos(α) à 6² + 9².
Le carré du côté opposé à β s’obtient en soustrayant 2 fois 6 fois 9 sin(β) à 6² + 9².
Le théorème des cosinus est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé ou théorème d’Al-Kashi.

Le carré du côté opposé à β s’obtient en soustrayant 2 fois 6 fois 9 cos(β) à 6² + 9². · Le théorème des cosinus est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé ou théorème d’Al-Kashi.

Explication

Pour le côté opposé à β, la formule est b2=a2+c2−2accos⁡(β)b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta), ce qui justifie la soustraction avec le cosinus de β. Le théorème porte aussi les deux noms indiqués ; le signe, la fonction trigonométrique ou l’angle substitués dans les autres propositions sont incorrects.

25. Un triangle a pour côtés 5, 6 et 7. Concernant l’emploi de la formule de Héron et son attribution :

La formule de Héron calcule l’aire à partir d’un côté et de l’angle compris.
Le demi-périmètre vaut 9 et l’aire se calcule par 9(9−5)(9−6)(9−7)\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}.
Le demi-périmètre vaut 18 et l’aire se calcule par 18(18−5)(18−6)(18−7)\sqrt{18(18-5)(18-6)(18-7)}.
Héron d’Alexandrie a découvert la formule après Archimède, qui la reprit dans Metrica.
La formule de Héron utilise le périmètre entier à la place du demi-périmètre.

Le demi-périmètre vaut 9 et l’aire se calcule par $$\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}$$.

Explication

Le demi-périmètre vaut p=(5+6+7)/2=9p=(5+6+7)/2=9 ; la formule donne donc S=9×4×3×2=216S=\sqrt{9\times4\times3\times2}=\sqrt{216}. La formule emploie le demi-périmètre et les trois côtés ; elle est attribuée à Héron dans Metrica, mais Archimède l’avait déjà trouvée.

26. Lors d’une résolution par la loi des sinus, l’arcsinus donne un angle aigu, mais rien ne permet de savoir si l’angle cherché est aigu. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La valeur supplémentaire à examiner est le supplément de l’angle aigu obtenu.
L’arcsinus fournit une seule possibilité, qui fixe sans ambiguïté l’angle du triangle.
La loi des sinus est préférable dès que l’angle cherché pourrait être obtus.
La loi des cosinus est préférable lorsque le caractère aigu de l’angle reste incertain.
La valeur supplémentaire à examiner est le complément de l’angle aigu à 90∘90^\circ.

La valeur supplémentaire à examiner est le supplément de l’angle aigu obtenu. · La loi des cosinus est préférable lorsque le caractère aigu de l’angle reste incertain.

Explication

L’angle fourni par l’arcsinus peut avoir pour autre possibilité son supplément, soit 180∘−α180^\circ-\alpha. Quand on ne sait pas si l’angle recherché est aigu, la loi des cosinus est préférable. L’arcsinus ne fixe donc pas toujours une solution unique, et la deuxième possibilité est le supplément, non le complément à 90∘90^\circ.

27. Pour un triangle de côtés 30, 25 et 34, quelle conclusion correspond à la résolution par le théorème des cosinus ?

Le calcul donne environ 58,79∘58{,}79^\circ pour l’angle γ\gamma.
La somme des angles permet d’obtenir environ 45,45∘45{,}45^\circ pour γ\gamma.
Le calcul donne environ 45,45∘45{,}45^\circ pour l’angle α\alpha.
Le calcul donne environ 75,76∘75{,}76^\circ pour l’angle β\beta.
Le calcul donne environ 58,79∘58{,}79^\circ pour l’angle α\alpha.

La somme des angles permet d’obtenir environ $$45{,}45^\circ$$ pour $$\gamma$$. · Le calcul donne environ $$75{,}76^\circ$$ pour l’angle $$\beta$$. · Le calcul donne environ $$58{,}79^\circ$$ pour l’angle $$\alpha$$.

Explication

Pour ces côtés, le théorème des cosinus donne β≈75,76∘\beta\approx75{,}76^\circ et α≈58,79∘\alpha\approx58{,}79^\circ. La somme des angles, égale à 180∘180^\circ, donne alors γ≈45,45∘\gamma\approx45{,}45^\circ; les deux autres attributions d’angles proposées sont erronées.

28. Un triangle a deux côtés de 6 cm et 8 cm formant un angle de 30°. Concernant les aires de triangles et de figures composées :

La formule d’Héron utilise le périmètre entier à la place du demi-périmètre.
Pour les côtés de 6 cm et 8 cm, l’angle compris intervient sans facteur sinus dans l’aire.
Deux triangles d’aires 3,42 cm² et 5,01 cm² forment un polygone de 8,43 cm².
L’aire du triangle se calcule avec la moitié du produit des côtés et du sinus compris.
Le demi-périmètre intervient dans la formule d’Héron pour calculer une aire triangulaire.

Deux triangles d’aires 3,42 cm² et 5,01 cm² forment un polygone de 8,43 cm². · L’aire du triangle se calcule avec la moitié du produit des côtés et du sinus compris. · Le demi-périmètre intervient dans la formule d’Héron pour calculer une aire triangulaire.

Explication

L’aire avec deux côtés et leur angle compris vaut la moitié du produit des côtés multiplié par le sinus de cet angle. La formule d’Héron utilise le demi-périmètre, et les deux aires données s’additionnent pour donner 8,43 cm². Les deux autres propositions omettent le sinus ou remplacent le demi-périmètre par le périmètre.

29. Un observateur se trouve à 10,21 m du pied d’un arbre, son œil est à 1,80 m du sol et l’angle de visée vaut 72°. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant les mesures indirectes et les déplacements :

Dans cette configuration, la hauteur de l’arbre obtenue par visée est de 21 m.
Le groupe observant la tour parcourt 249,61 m en cinq minutes entre les deux mesures.
La déviation de l’avion augmente son trajet de 8,69 km par rapport au trajet direct.
La surface du triangle de déviation de l’avion est de 608,45 km².
La vitesse du groupe entre les deux mesures est d’environ 4 km/h.

Dans cette configuration, la hauteur de l’arbre obtenue par visée est de 21 m. · Le groupe observant la tour parcourt 249,61 m en cinq minutes entre les deux mesures. · La déviation de l’avion augmente son trajet de 8,69 km par rapport au trajet direct.

Explication

Avec les données de l’observation de l’arbre, la hauteur calculée est de 21 m. La déviation aérienne ajoute 8,69 km au trajet direct, et le groupe parcourt 249,61 m en cinq minutes, à environ 3 km/h. L’aire du triangle de déviation est de 607,45 km², et non 608,45 km².

30. Deux bateaux parcourent respectivement 30 km et 50 km; leur triangle de position présente des angles de 54,56°, 95,44° et 30°. Quelle description correspond à leur séparation et aux angles du triangle ?

Les bateaux sont séparés de 50 km et les angles mesurent 54,56°, 95,44° et 30°.
Les bateaux sont séparés de 30,45 km et les angles mesurent 54,56°, 95,44° et 45°.
Les bateaux sont séparés de 30,45 km et les angles mesurent 54,56°, 90° et 30°.
Les bateaux sont séparés de 30,45 km et les angles mesurent 54,56°, 95,44° et 30°.
Les bateaux sont séparés de 30 km et les angles mesurent 54,56°, 95,44° et 30°.

Les bateaux sont séparés de 30,45 km et les angles mesurent 54,56°, 95,44° et 30°.

Explication

La séparation calculée est de 30,45 km et les trois angles valent 54,56°, 95,44° et 30°. Les autres propositions substituent une distance ou une amplitude différente aux valeurs obtenues.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 82 flashcards sur Trigonométrie et triangles rectangles.

Dans le triangle ABC rectangle en A, quel côté est l’hypoténuse ?

Le côté BC.

Comment définit-on le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?

Le rapport du côté adjacent à cet angle sur l’hypoténuse.

Comment définit-on le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?

Le rapport du côté opposé à cet angle sur l’hypoténuse.

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