Fiche de révision : Trigonométrie fondamentale

📋 Plan du Cours

1. Rapports trigonométriques du triangle rectangle
2. Propriétés dans le triangle rectangle
3. Cercle trigonométrique et radians
4. Mesure principale des angles
5. Propriétés de cosinus et sinus
6. Valeurs sur les quadrants
7. Formules d’addition et de duplication

📖 1. Rapports trigonométriques du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : rapport du côté adjacent à l’hypoténuse
• Sinus : rapport du côté opposé à l’hypoténuse
• Tangente : rapport du côté opposé au côté adjacent

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l’angle α du triangle ABC rectangle en B, $\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$, $\sin\alpha=\frac{BC}{AC}$ et $\tan\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent

📖 2. Propriétés dans le triangle rectangle

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour l’angle α, la relation fondamentale est $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.

📌 Dans un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle sont inférieurs à 1 car l’hypoténuse est le plus grand côté.

📌 Pour deux angles non droits complémentaires α et β d’un triangle rectangle, $\cos\alpha=\sin\beta$ et $\sin\alpha=\cos\beta$.

Compléments

📌 Dans un triangle rectangle, le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle sont positifs car ils sont des rapports de longueurs positives.

💡 Astuce mémo

Cosinus et sinus utilisent l’hypoténuse ; la tangente oppose le côté opposé au côté adjacent

📖 3. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : cercle de centre O(0,0), de rayon 1, orienté dans le sens direct, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

★ À maîtriser

• Si α est une mesure en radians de l’angle orienté (→i;→OM) et M appartient au cercle trigonométrique, alors les coordonnées de M sont (cos α; sin α).

Compléments

📐 Formule — Les coordonnées (x,y) d’un point du cercle trigonométrique vérifient $x^2+y^2=1$.

💡 Astuce mémo

Un cercle unité orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, avec M=(cos α,sin α)

📖 4. Mesure principale des angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : unique mesure située dans l’intervalle ]−π;π]

📝 Points essentiels

📌 Si θ est une mesure d’un angle, toutes les valeurs θ+k×2π avec k∈Z sont aussi des mesures de cet angle.

💡 Astuce mémo

Toutes les mesures : θ, puis θ+2π, θ+4π ; la mesure principale revient dans ]−π,π]

📖 5. Propriétés de cosinus et sinus

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, $-1\leq\cos x\leq1$ et $-1\leq\sin x\leq1$.

• Le cosinus est une fonction paire : $\cos(-x)=\cos x$.

• Le sinus est une fonction impaire : $\sin(-x)=-\sin x$.

• Le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π : $\cos(x+k\times2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+k\times2\pi)=\sin x$ pour k∈Z.

Compléments

📌 Les relations d’angles associés sont $\cos(\pi+x)=-\cos x$, $\sin(\pi+x)=-\sin x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$ et $\sin(\pi-x)=\sin x$.

📌 Les relations avec un angle droit sont $\cos(\frac\pi2+x)=-\sin x$, $\sin(\frac\pi2+x)=\cos x$, $\cos(\frac\pi2-x)=\sin x$ et $\sin(\frac\pi2-x)=\cos x$.

💡 Astuce mémo

Cosinus est pair ; sinus est impair

📖 6. Valeurs sur les quadrants

📝 Points essentiels

📌 Dans le deuxième quart du cercle, le sinus garde le signe du premier quart et le cosinus prend le signe opposé.

📌 Dans le troisième quart du cercle, le sinus et le cosinus prennent les signes opposés à ceux du premier quart.

💡 Astuce mémo

1er quart : valeurs de départ ; 2e : sinus conservé et cosinus opposé ; 3e : deux opposés ; 4e : cosinus conservé et sinus opposé

📖 7. Formules d’addition et de duplication

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

📐 Formule — Les formules de différence sont $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

📐 Formule — Les formules de tangente sont $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ et $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de duplication et de linéarisation sont $\cos(2a)=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$, $\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Les formules d’addition donnent celles de duplication en prenant b=a, puis la linéarisation en isolant les carrés

📊 Tableaux de synthèse

Rapports trigonométriques