QCM : Trigonométrie fondamentale — 20 questions

Question 1

1. Dans un triangle rectangle, comment définit-on le cosinus d’un angle aigu ?

Par le rapport de l’hypoténuse au côté adjacent

Par le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse

Par le rapport du côté opposé à l’hypoténuse

Par le rapport du côté opposé au côté adjacent

Explication

Le cosinus compare la longueur du côté adjacent à celle de l’hypoténuse. Le côté opposé intervient dans la définition du sinus, et non dans celle du cosinus.

Answer

Par le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse

Question 2

2. Dans un triangle rectangle, un angle aigu possède un côté opposé de 6 cm et une hypoténuse de 10 cm. Quelle expression représente son sinus ?

\frac{10}{6}

\frac{6}{10}

\frac{\text{côté adjacent}}{6}

\frac{\text{côté adjacent}}{10}

Explication

Le sinus est le quotient de la longueur du côté opposé par celle de l’hypoténuse, soit $\frac{6}{10}$ dans cette situation. Le quotient avec le côté adjacent correspondrait au cosinus.

Answer

$$\frac{6}{10}$$

Question 3

3. Dans un triangle rectangle, un angle aigu a un côté opposé de 9 cm et un côté adjacent de 12 cm. Quelle est la valeur de sa tangente ?

\frac{12}{21}

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

\frac{9}{21}

Explication

La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent, donc $\tan\alpha=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ . Le rapport inverse, $\frac{4}{3}$ , ne correspond pas à la tangente de cet angle.

Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 4

4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , quelles relations trigonométriques sont correctes pour l’angle $\alpha$ ?

\cos\alpha=\frac{AB}{BC}

,

\sin\alpha=\frac{BC}{AB}

et

\tan\alpha=\frac{AC}{AB}

\cos\alpha=\frac{AC}{AB}

,

\sin\alpha=\frac{AC}{BC}

et

\tan\alpha=\frac{BC}{AB}

\cos\alpha=\frac{BC}{AC}

,

\sin\alpha=\frac{AB}{AC}

et

\tan\alpha=\frac{AB}{BC}

\cos\alpha=\frac{AB}{AC}

,

\sin\alpha=\frac{BC}{AC}

et

\tan\alpha=\frac{BC}{AB}

Explication

Comme le triangle est rectangle en $B$ , $AC$ est l’hypoténuse, tandis que les côtés utiles sont $AB$ et $BC$ . On obtient ainsi les trois rapports indiqués, avec la tangente égale à $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Answer

$$\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$$, $$\sin\alpha=\frac{BC}{AC}$$ et $$\tan\alpha=\frac{BC}{AB}$$

Question 5

5. Pourquoi le sinus et le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle sont-ils inférieurs à 1 ?

Parce que l’hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés

Parce que la tangente est définie par un rapport de longueurs positives

Parce que les deux côtés de l’angle sont toujours de même longueur

Parce que l’angle étudié est nécessairement égal à 45 degrés

Explication

Le sinus et le cosinus ont l’hypoténuse au dénominateur, et celle-ci est le plus grand côté du triangle. La tangente n’est pas soumise à cette même limitation, car elle compare les deux côtés de l’angle.

Answer

Parce que l’hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés

Question 6

6. Deux angles non droits $\alpha$ et $\beta$ d’un triangle rectangle sont complémentaires. Quelle relation est vraie ?

\cos\alpha=\sin\beta

et

\sin\alpha=\cos\beta

\cos\alpha=\cos\beta

et

\sin\alpha=\sin\beta

\cos\alpha=\sin\alpha

et

\cos\beta=\sin\beta

\cos\alpha=\tan\beta

et

\sin\alpha=\tan\beta

Explication

Des angles complémentaires échangent les rôles des côtés adjacent et opposé, ce qui donne $\cos\alpha=\sin\beta$ et $\sin\alpha=\cos\beta$ . Les autres égalités ne découlent pas de la complémentarité.

Answer

$$\cos\alpha=\sin\beta$$ et $$\sin\alpha=\cos\beta$$

Question 7

7. Si $\cos\alpha=0,8$ pour un angle d’un triangle rectangle, quelle valeur positive peut prendre $\sin\alpha$ ?

1,8

0,6

0,8

0,2

Explication

La relation fondamentale donne $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-0,64=0,36$ , donc $\sin\alpha=0,6$ pour un angle de triangle rectangle. La valeur $1,8$ est incompatible avec les rapports trigonométriques d’un tel angle.

Answer

Un cercle de centre $$O(0,0)$$ et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Answer

$$(\cos\alpha;\sin\alpha)$$

Answer

C’est l’unique mesure appartenant à l’intervalle $$]-\pi;\pi]$$.

Answer

$$\theta+k\times2\pi$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Answer

Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle $$[-1;1]$$.

Answer

$$\cos(-x)=\cos x$$

Answer

$$\sin(-x)=-\sin x$$

Answer

Le sinus conserve son signe et le cosinus prend le signe opposé.

Answer

Le sinus et le cosinus prennent tous deux les signes opposés.

Answer

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$

Answer

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

Answer

$$\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$$

Question 8

8. Quelles caractéristiques définissent le cercle trigonométrique ?

Un cercle de centre

O(0,0)

et de diamètre 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Un cercle de centre

O(0,0)

et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Un cercle de centre

O(0,0)

et de rayon quelconque, orienté dans le sens direct

Un cercle de centre

O(1,1)

et de rayon 1, orienté dans le sens des aiguilles d’une montre

Explication

Le cercle trigonométrique est centré en $O(0,0)$ , possède un rayon égal à 1 et est orienté dans le sens direct, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un cercle de rayon quelconque ne répond pas à cette définition.

Question 9

9. Sur le cercle trigonométrique, un point $M$ correspond à l’angle orienté de mesure $\alpha$ en radians. Quelles sont ses coordonnées ?

(\cos\alpha;\sin\alpha)

(\alpha;1-\alpha)

(\sin\alpha;\cos\alpha)

(\tan\alpha;1)

Explication

Sur le cercle trigonométrique, l’abscisse de $M$ est $\cos\alpha$ et son ordonnée est $\sin\alpha$ . L’ordre inverse confond les coordonnées horizontale et verticale.

Question 10

10. Quelle caractéristique définit la mesure principale d’un angle orienté ?

C’est la plus petite mesure positive appartenant à l’intervalle

[0;2\pi[

.

C’est la mesure obtenue en ajoutant un multiple entier de

\pi

à l’angle.

C’est une mesure choisie dans l’intervalle

]-2\pi;2\pi]

.

C’est l’unique mesure appartenant à l’intervalle

]-\pi;\pi]

.

Explication

La mesure principale est définie comme l’unique représentant de l’angle situé dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$ . L’intervalle positif proposé ne correspond pas à cette définition, car une mesure principale peut être négative.

Question 11

11. Si $\theta$ est une mesure d’un angle orienté, quelle expression fournit une autre mesure du même angle ?

\theta+\frac{k\pi}{2}

avec

k\in\mathbb{Z}

\theta+k\times2

avec

k\in\mathbb{Z}

\theta+k\times2\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

\theta+k\times\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

Explication

Les mesures d’un même angle s’obtiennent en ajoutant à une mesure un multiple entier de $2\pi$ . Ajouter un multiple de $\pi$ peut modifier l’angle, notamment en lui ajoutant un demi-tour.

Question 12

12. Quelle propriété borne les valeurs du cosinus et du sinus pour tout réel $x$ ?

Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle

[0;1]

.

Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle

[-1;1]

.

Elles appartiennent à l’intervalle

[-\pi;\pi]

.

Elles peuvent prendre toute valeur réelle sans restriction.

Explication

Pour tout réel $x$ , le cosinus et le sinus vérifient chacun une valeur comprise entre $-1$ et $1$ . L’intervalle $[0;1]$ exclut les valeurs négatives pourtant possibles pour ces deux fonctions.

Question 13

13. Quelle égalité traduit la parité du cosinus ?

\sin(-x)=\sin x

\cos(-x)=-\cos x

\sin(-x)=-\cos x

\cos(-x)=\cos x

Explication

Le cosinus est une fonction paire : changer le signe de l’argument ne change pas sa valeur. L’égalité $\cos(-x)=-\cos x$ correspondrait à une fonction impaire, ce qui caractérise le sinus et non le cosinus.

Question 14

14. Quelle transformation permet de calculer le sinus d’un argument opposé ?

\sin(-x)=\cos x

\sin(-x)=-\cos x

\sin(-x)=\sin x

\sin(-x)=-\sin x

Explication

Le sinus est une fonction impaire, donc son changement d’argument en $-x$ inverse le signe de sa valeur. L’égalité sans changement de signe est la propriété de parité du cosinus.

Question 15

15. Dans le deuxième quart du cercle, comment évoluent les signes du sinus et du cosinus par rapport au premier quart ?

Le sinus conserve son signe et le cosinus prend le signe opposé.

Le cosinus conserve son signe et le sinus prend le signe opposé.

Les deux fonctions conservent leurs signes respectifs.

Les deux fonctions prennent le signe opposé à leurs signes respectifs.

Explication

Dans le deuxième quart, le sinus garde le signe positif du premier quart, tandis que le cosinus devient négatif. L’inversion simultanée des deux signes correspond au troisième quart.

Question 16

16. Quelle combinaison de signes caractérise le troisième quart par rapport au premier quart du cercle ?

Le sinus et le cosinus prennent tous deux les signes opposés.

Le cosinus garde son signe et le sinus prend le signe opposé.

Le sinus et le cosinus gardent tous deux leurs signes.

Le sinus garde son signe et le cosinus prend le signe opposé.

Explication

Dans le troisième quart, le sinus et le cosinus sont tous deux opposés aux valeurs de signe observées dans le premier quart. Le cas où seul le sinus change de signe correspond au quatrième quart, pas au troisième.

Question 17

17. Quelle expression donne correctement le sinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

\sin(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

\sin(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin(a+b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

Explication

Pour une somme, le sinus combine les produits croisés par addition. La soustraction des produits correspond à la formule du cosinus d’une somme, et non à celle du sinus.

Question 18

18. Quelle formule permet de calculer $\cos(a-b)$ à partir des sinus et cosinus de $a$ et $b$ ?

\cos(a-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

\cos(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

\cos(a-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

Explication

Le cosinus d’une différence est la somme des deux produits correspondants. La différence de ces produits intervient dans la formule du cosinus d’une somme.

Question 19

19. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on pour $\tan(a+b)$ ?

\frac{5}{6}

1

\frac{2}{5}

\frac{1}{5}

Explication

On applique $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ , ce qui donne $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}=1$ . La valeur $\frac{5}{6}$ correspond au numérateur avant division par le dénominateur.

Question 20

20. Quelle relation exprime correctement la linéarisation de $\sin^2 a$ ?

\sin^2a=1-\cos(2a)

\sin^2a=\frac{\cos(2a)-1}{2}

\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}

\sin^2a=\frac{1+\cos(2a)}{2}

Explication

La formule de linéarisation du carré du sinus est $\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$ . Le signe positif devant $\cos(2a)$ appartient à la formule de $\cos^2a$ .

QCM : Trigonométrie fondamentale — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle rectangle, comment définit-on le cosinus d’un angle aigu ?

2. Dans un triangle rectangle, un angle aigu possède un côté opposé de 6 cm et une hypoténuse de 10 cm. Quelle expression représente son sinus ?

3. Dans un triangle rectangle, un angle aigu a un côté opposé de 9 cm et un côté adjacent de 12 cm. Quelle est la valeur de sa tangente ?

4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , quelles relations trigonométriques sont correctes pour l’angle $\alpha$ ?

5. Pourquoi le sinus et le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle sont-ils inférieurs à 1 ?

6. Deux angles non droits $\alpha$ et $\beta$ d’un triangle rectangle sont complémentaires. Quelle relation est vraie ?

7. Si $\cos\alpha=0,8$ pour un angle d’un triangle rectangle, quelle valeur positive peut prendre $\sin\alpha$ ?

8. Quelles caractéristiques définissent le cercle trigonométrique ?

9. Sur le cercle trigonométrique, un point $M$ correspond à l’angle orienté de mesure $\alpha$ en radians. Quelles sont ses coordonnées ?

10. Quelle caractéristique définit la mesure principale d’un angle orienté ?

11. Si $\theta$ est une mesure d’un angle orienté, quelle expression fournit une autre mesure du même angle ?

12. Quelle propriété borne les valeurs du cosinus et du sinus pour tout réel $x$ ?

13. Quelle égalité traduit la parité du cosinus ?

14. Quelle transformation permet de calculer le sinus d’un argument opposé ?

15. Dans le deuxième quart du cercle, comment évoluent les signes du sinus et du cosinus par rapport au premier quart ?

16. Quelle combinaison de signes caractérise le troisième quart par rapport au premier quart du cercle ?

17. Quelle expression donne correctement le sinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

18. Quelle formule permet de calculer $\cos(a-b)$ à partir des sinus et cosinus de $a$ et $b$ ?

19. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on pour $\tan(a+b)$ ?

20. Quelle relation exprime correctement la linéarisation de $\sin^2 a$ ?

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QCM : Trigonométrie fondamentale — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle rectangle, comment définit-on le cosinus d’un angle aigu ?

2. Dans un triangle rectangle, un angle aigu possède un côté opposé de 6 cm et une hypoténuse de 10 cm. Quelle expression représente son sinus ?

3. Dans un triangle rectangle, un angle aigu a un côté opposé de 9 cm et un côté adjacent de 12 cm. Quelle est la valeur de sa tangente ?

4. Dans le triangle ABCABCABC rectangle en BBB, quelles relations trigonométriques sont correctes pour l’angle α\alphaα ?

5. Pourquoi le sinus et le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle sont-ils inférieurs à 1 ?

6. Deux angles non droits α\alphaα et β\betaβ d’un triangle rectangle sont complémentaires. Quelle relation est vraie ?

7. Si cos⁡α=0,8\cos\alpha=0,8cosα=0,8 pour un angle d’un triangle rectangle, quelle valeur positive peut prendre sin⁡α\sin\alphasinα ?

8. Quelles caractéristiques définissent le cercle trigonométrique ?

9. Sur le cercle trigonométrique, un point MMM correspond à l’angle orienté de mesure α\alphaα en radians. Quelles sont ses coordonnées ?

10. Quelle caractéristique définit la mesure principale d’un angle orienté ?

11. Si θ\thetaθ est une mesure d’un angle orienté, quelle expression fournit une autre mesure du même angle ?

12. Quelle propriété borne les valeurs du cosinus et du sinus pour tout réel xxx ?

13. Quelle égalité traduit la parité du cosinus ?

14. Quelle transformation permet de calculer le sinus d’un argument opposé ?

15. Dans le deuxième quart du cercle, comment évoluent les signes du sinus et du cosinus par rapport au premier quart ?

16. Quelle combinaison de signes caractérise le troisième quart par rapport au premier quart du cercle ?

17. Quelle expression donne correctement le sinus d’une somme de deux angles aaa et bbb ?

18. Quelle formule permet de calculer cos⁡(a−b)\cos(a-b)cos(a−b) à partir des sinus et cosinus de aaa et bbb ?

19. Si tan⁡a=12\tan a=\frac{1}{2}tana=21​ et tan⁡b=13\tan b=\frac{1}{3}tanb=31​, quelle valeur obtient-on pour tan⁡(a+b)\tan(a+b)tan(a+b) ?

20. Quelle relation exprime correctement la linéarisation de sin⁡2a\sin^2 asin2a ?

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4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , quelles relations trigonométriques sont correctes pour l’angle $\alpha$ ?

6. Deux angles non droits $\alpha$ et $\beta$ d’un triangle rectangle sont complémentaires. Quelle relation est vraie ?

7. Si $\cos\alpha=0,8$ pour un angle d’un triangle rectangle, quelle valeur positive peut prendre $\sin\alpha$ ?

9. Sur le cercle trigonométrique, un point $M$ correspond à l’angle orienté de mesure $\alpha$ en radians. Quelles sont ses coordonnées ?

11. Si $\theta$ est une mesure d’un angle orienté, quelle expression fournit une autre mesure du même angle ?

12. Quelle propriété borne les valeurs du cosinus et du sinus pour tout réel $x$ ?

17. Quelle expression donne correctement le sinus d’une somme de deux angles $a$ et $b$ ?

18. Quelle formule permet de calculer $\cos(a-b)$ à partir des sinus et cosinus de $a$ et $b$ ?

19. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on pour $\tan(a+b)$ ?

20. Quelle relation exprime correctement la linéarisation de $\sin^2 a$ ?