Fiche de révision : Trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du trinôme
2. Résolution par discriminant
3. Factorisation du trinôme
4. Signe du trinôme

📖 1. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Expression $a(x-\alpha)^2+\beta$ d’un trinôme, où α et β sont deux nombres réels.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, les coefficients sont $a=2$, $b=-20$ et $c=10$, et sa forme canonique est $f(x)=2(x-5)^2-40$.

📖 2. Résolution par discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation $ax^2+bx+c=0$ où a, b et c sont des réels avec $a\ne0$.
• Racine du trinôme : Solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution $x_0=\frac{-b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine réelle ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines.

📖 3. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

• La factorisation d’un trinôme dépend du discriminant : pour $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; pour $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; pour $\Delta<0$, f ne possède pas de forme factorisée.

Compléments

• L’équation $x^2+x-2=0$ a pour racines x=1 et x=-2, et le trinôme se factorise en $(x-1)(x+2)$.

📖 4. Signe du trinôme

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme a partout le signe de a : il est positif lorsque $a>0$ et négatif lorsque $a<0$.

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme a le signe de a de part et d’autre de $x_0$ et vaut 0 en $x_0$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a gouverne le signe du trinôme lorsque Δ<0 ou à l’extérieur de la racine double lorsque Δ=0.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant