Fiche de révision : Unités, incertitudes et dimensions

📋 Plan du Cours

1. Unités SI fondamentales
2. Unités SI dérivées et angles
3. Unités non SI et conversions
4. Origine et mesure des incertitudes
5. Calcul et présentation des incertitudes
6. Dimensions fondamentales
7. Applications de l’analyse dimensionnelle

📖 1. Unités SI fondamentales

📝 Points essentiels

• Les sept grandeurs et unités fondamentales sont:
  • longueur–mètre (m)
  • temps–seconde (s)
  • masse–kilogramme (kg)
  • courant électrique–ampère (A)
  • température–kelvin (K)
  • quantité de matière–mole (mol)
  • intensité lumineuse–candela (cd)

📌 Les autres unités officielles du Système International sont des combinaisons des sept unités fondamentales.

📖 2. Unités SI dérivées et angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : défini par le rapport entre la longueur de l’arc de cercle défini par un angle et la longueur du rayon du cercle ; il est sans unité tout en représentant une réalité géométrique

★ À maîtriser

• L’énergie s’exprime en joules (J), soit $kg\cdot m^2\cdot s^{-2}$ en unités fondamentales, la pression en pascals (Pa), soit $kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$, et la tension électrique en volts (V), soit $kg\cdot m^2\cdot s^{-3}\cdot A^{-1}$.

Compléments

📌 Les fonctions mathématiques comme le logarithme, l’exponentielle, le sinus et le cosinus ne prennent que des nombres sans unité ; les radians peuvent donc y être utilisés.

📖 3. Unités non SI et conversions

★ À maîtriser

📌 Pour effectuer un calcul, il faut toujours convertir les grandeurs dans l’unité SI sans préfixe, sauf pour la masse dont l’unité SI est le kilogramme.

• Pour convertir une unité préfixée, on remplace son symbole par le facteur correspondant, puis on applique les puissances à ce facteur lorsque l’unité est élevée à une puissance.

Compléments

• Les unités non SI citées sont:
  • pied (ft)
  • année-lumière (al)
  • grande calorie (cal)
  • kilowattheure (kWh)
  • tonne équivalent pétrole (tep)
  • degré Celsius (°C)
  • degré (°)

📐 Formule — La température en degrés Celsius et la température en kelvins vérifient $T_{°C}=T_K-243{,}15$.

📐 Formule — Les angles vérifient $360°=2\pi\,rad$, $1°=60'$ et $1'=60''$.

💡 Astuce mémo

Préfixe → facteur → unité SI

📖 4. Origine et mesure des incertitudes

★ À maîtriser

• La méthode des 5M regroupe:
  • matière
  • machine
  • méthode
  • main-d’œuvre
  • milieu

📌 Pour une seule mesure, on évalue les différents types d’incertitude et on les additionne pour obtenir l’incertitude totale, qui est supérieure à la résolution de l’appareil de mesure.

📐 Formule — Pour plusieurs mesures, la moyenne est $\overline{X}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$, l’écart type est $\sigma(X)=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i-\overline{X})^2}{N-1}}$ et l’incertitude est $\Delta X=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{N}}$.

Compléments

📌 Une bonne statistique commence à être obtenue lorsque le nombre de mesures vérifie $N>7$.

💡 Astuce mémo

Les 5M : Matière, Machine, Méthode, Main-d’œuvre, Milieu

📖 5. Calcul et présentation des incertitudes

★ À maîtriser

• L’incertitude absolue $\Delta K$ possède la même unité que la grandeur $K$, tandis que l’incertitude relative $\Delta K/K$ est sans unité.

• L’incertitude absolue comporte un seul chiffre significatif si son premier chiffre significatif est supérieur ou égal à 5, et deux chiffres significatifs s’il est inférieur à 5, avec arrondi à l’entier supérieur.

• La valeur mesurée doit être présentée avec la même précision que son incertitude, par exemple $m=74{,}60\pm0{,}38\,kg$.

• 🔄 Le calcul d’une incertitude composée suit quatre étapes:

  1. établir la formule littérale
  2. calculer la grandeur avec les valeurs moyennes
  3. calculer l’incertitude
  4. présenter le résultat final avec la bonne précision

📌 Pour une addition ou une soustraction, les incertitudes absolues s’ajoutent, tandis que pour une multiplication ou une division, les incertitudes relatives s’ajoutent.

Compléments

• Pour une vitesse de 125 km/h avec une incertitude relative de 5 %, l’incertitude absolue vaut 6,25 km/h avant arrondi, puis 7 km/h selon la règle des chiffres significatifs.

💡 Astuce mémo

Formule → moyenne → incertitude → résultat

📖 6. Dimensions fondamentales

★ À maîtriser

• Les sept dimensions fondamentales correspondent à:
  • longueur
  • temps
  • masse
  • courant électrique
  • température
  • quantité de matière
  • intensité lumineuse

📐 Formule — La dimension de la vitesse est $[v]=L\cdot T^{-1}$.

📐 Formule — À partir de $E=\frac{1}{2}mv^2$ et de $[v]=L\cdot T^{-1}$, l’énergie a pour dimension $[E]=M\cdot L^2\cdot T^{-2}$.

Compléments

• Les dimensions usuelles sont : vitesse $LT^{-1}$, accélération $LT^{-2}$, force $MLT^{-2}$, énergie ou travail $ML^2T^{-2}$, puissance $ML^2T^{-3}$, pression $ML^{-1}T^{-2}$, tension $ML^2T^{-3}I^{-1}$ et résistance électrique $ML^2T^{-3}I^{-2}$.

📖 7. Applications de l’analyse dimensionnelle

📝 Points essentiels

• Pour vérifier l’homogénéité d’une relation, on détermine les dimensions de chaque terme des deux membres, puis on vérifie qu’elles sont toutes identiques.

• Pour trouver la dimension et l’unité d’une grandeur, on l’isole, on détermine les dimensions du membre opposé, puis on en déduit sa nature et son unité.

💡 Astuce mémo

Dimensions cohérentes → relation homogène et unité identifiable

📊 Tableaux de synthèse

Unités et dimensions usuelles