Fiche de révision : Valeur absolue et calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Valeur absolue et distances
2. Opérations sur les fractions
3. Puissances entières relatives
4. Racines carrées et simplification

📖 1. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre le point d’abscisse a et l’origine sur la droite numérique ; elle est toujours positive ou nulle.

★ À maîtriser

• La distance entre les points d’abscisses a et b est $|b-a|$, ou de façon équivalente $|a-b|$.

📐 Formule - Pour un réel a et un réel positif r, $|x-a| \leq r \iff x \in [a-r\,;\,a+r]$ ; l’intervalle obtenu est de centre a et de rayon r.

Compléments

• L’inéquation $|x-25| \leq 2$ a pour ensemble de solutions l’intervalle [23 ; 27].

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$, $a\times\frac{b}{c}=\frac{a\times b}{c}$, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ et $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

• Pour additionner deux fractions de dénominateurs non nuls différents, on les réduit au même dénominateur : $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{ad+cb}{bd}$.

Compléments

• L’addition des fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ conduit au numérateur $ad+cb$ et au dénominateur $bd$.

📖 3. Puissances entières relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissances entières relatives : Pour un réel non nul a et un entier naturel non nul n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs n et p, $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$, $(a^n)^p=a^{n\times p}$ et $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

Compléments

• Les cas particuliers des puissances sont $a^1=a$, $a^{-1}=\frac{1}{a}$, $1^n=1$ et, par convention, $a^0=1$.

• Les règles des puissances donnent $2^3\times2^{-5}=2^{-2}$, $(5^2)^{-3}=5^{-6}$ et $5^4\times2^4=10^4$.

📖 4. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un réel positif a, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des réels positifs a et b, avec b non nul, $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ et $(\sqrt{a})^2=a$.

📐 Formule - Pour tout réel a, positif ou négatif, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

• La simplification de $\sqrt{75}$ donne $\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}$.

• On a $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.