Fiche de révision : Racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition de la racine carrée
2. Racines carrées d’entiers
3. Propriétés opératoires des racines
4. Simplification et calculs sur les racines
5. Rationalisation des dénominateurs

📖 1. Définition de la racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut a ; elle se note $\sqrt{a}$ et vérifie $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.

💡 Astuce mémo

La mise au carré va de la longueur à l’aire ; la racine carrée revient de l’aire à la longueur.

📖 2. Racines carrées d’entiers

📝 Points essentiels

• Le côté d’un carré d’aire 18 vaut $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, soit trois diagonales de carrés unitaires de longueur $\sqrt{2}$ chacune.

• La diagonale d’un carré de côté 1 mesure $\sqrt{2}$.

💡 Astuce mémo

Assembler des diagonales de petits carrés pour former le côté d’un grand carré.

📖 3. Propriétés opératoires des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux nombres positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📌 En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Compléments

📐 Formule - Pour a positif et b strictement positif, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

💡 Astuce mémo

Produit : on regroupe ; somme : il faut d’abord le même radicande.

📖 4. Simplification et calculs sur les racines

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine, on décompose son radicande en produit contenant un carré parfait, puis on extrait la racine de ce carré parfait.

📌 On peut additionner ou soustraire des racines carrées seulement lorsqu’elles ont le même radicande après simplification.

Compléments

• La simplification de $\sqrt{75}$ donne $5\sqrt{3}$, car $75=25\times3$.

• Le calcul $\sqrt{98}+3\sqrt{32}$ se simplifie en $7\sqrt{2}+12\sqrt{2}=19\sqrt{2}$.

• Le produit $2\sqrt{2}\times4\sqrt{18}$ se simplifie en 48.

📖 5. Rationalisation des dénominateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité conjuguée : La quantité conjuguée de $\sqrt{a}$ est $\sqrt{a}$, et celle de $b+c\sqrt{d}$ est $b-c\sqrt{d}$.

★ À maîtriser

📌 Pour rendre rationnel un dénominateur contenant une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une quantité qui élimine cette racine au dénominateur.

Compléments

• La rationalisation de $\frac{1}{\sqrt{5}}$ donne $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier en haut et en bas par le reflet conjugué pour faire disparaître la racine du dénominateur.