Flashcards : Variables aléatoires continues — 23 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une répétition indépendante d'une expérience ?

Réponse

Une répétition avec deux issues possibles et une probabilité de succès p dans [0,1].

2Question

Quelle loi suit le nombre d'arbres infectés si 10 arbres sont étudiés avec 1/10 d'infection ?

Réponse

La loi binomiale B(10, 1/10).

3Question

Quelle est la probabilité de succès dans une répétition indépendante ?

Réponse

Elle appartient à l'intervalle [0,1].

4Question

Que se passe-t-il aux probabilités des événements élémentaires si l'ensemble est discret ?

Réponse

Elles se somment.

5Question

Comment s'exprime la normalisation des probabilités dans le cas discret ?

Réponse

Par la somme $\sum_{k\in\Delta} P(X=k)=1$ .

6Question

Que remplace la somme des probabilités dans le cas continu non dénombrable ?

Réponse

Une intégrale.

7Question

À quoi correspond une probabilité en dimension nulle discrète ?

Réponse

Au rapport entre le nombre de points rouges et le nombre total de points.

8Question

À quoi correspond une probabilité en dimension continue ?

Réponse

Au rapport entre l’aire de la région rouge et celle du grand carré.

9Question

Qu'est-ce qu'une densité pour une variable aléatoire continue X ?

Réponse

C'est une fonction f caractérisant X.

10Question

Quelles sont les propriétés d'une densité f ?

Réponse

f est positive et son aire sous la courbe vaut 1.

11Question

Comment s'exprime la probabilité d'un événement I pour une variable continue de densité f ?

Réponse

$P(X\in I)=\int_I f(x)\,dx\in[0,1]$ .

12Question

Pourquoi $f(x)=\frac{1}{2}\mathbf{1}_{[0,2]}(x)$ est-elle une densité ?

Réponse

Elle est positive et son intégrale sur ℝ vaut 1.

13Question

Quelle est la probabilité que X prenne une valeur réelle isolée x ?

Réponse

Elle est nulle, soit $P(X=x)=0$ .

14Question

Qu'est-ce qu'une variable X suit la loi uniforme sur [a,b] ?

Réponse

X prend ses valeurs dans [a,b] avec une densité constante $\frac{1}{b-a}$ .

15Question

Quelle est la valeur de la fonction de répartition $F_X(t)$ si $t < a$ pour la loi uniforme sur [a,b] ?

Réponse

$F_X(t) = 0$ si $t < a$ .

16Question

Comment s'exprime $F_X(t)$ si $a \le t \le b$ pour la loi uniforme sur [a,b] ?

Réponse

$F_X(t) = \frac{t - a}{b - a}$ si $a \le t \le b$ .

17Question

Quelle est la valeur de $F_X(t)$ si $t > b$ pour la loi uniforme sur [a,b] ?

Réponse

$F_X(t) = 1$ si $t > b$ .

18Question

Comment définit-on la fonction de répartition $F_X(t)$ d'une variable aléatoire X ?

Réponse

$F_X(t) = P(X \le t) = \int_{-\infty}^{t} f(x)\,dx$ .

19Question

Quelle formule relie la probabilité d'un intervalle $[a,b]$ à la fonction de répartition ?

Réponse

$P(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$ .

20Question

Quelles sont les conditions sur X pour suivre la loi exponentielle E(λ) ?

Réponse

X prend ses valeurs dans [0,+∞[ avec densité nulle pour x<0 et $\lambda e^{-\lambda x}$ pour x>0.

21Question

Que modélise la loi exponentielle dans un contexte d'attente ?

Réponse

L'instant d'arrivée dans une file d'attente ou le prochain tremblement de terre.

22Question

Quelle est la fonction de répartition d'une variable exponentielle pour t>0 ?

Réponse

$F_X(t)=1-e^{-\lambda t}$ pour t>0.

23Question

Quelles sont les conditions sur X pour suivre la loi normale centrée réduite N(0,1) ?

Réponse

X a pour support ℝ et densité $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 14 questions sur Variables aléatoires continues.

1. Quelle caractéristique définit une répétition indépendante dans le cadre d’une expérience binomiale ?

2. Pour 10 arbres dont la proportion infectée est de $\frac{1}{10}$ , quelle loi suit le nombre X d’arbres infectés ?

Faire le QCM →

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Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Variables aléatoires continues.

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