QCM : Variables aléatoires continues — 14 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique définit une répétition indépendante dans le cadre d’une expérience binomiale ?

Elle possède une issue possible et une probabilité de succès fixée à

p=1

Elle possède deux issues possibles et une probabilité de succès p dans

[0,1]

Elle possède plusieurs issues possibles et une probabilité de succès p dans

[0,1]

Elle possède deux issues possibles avec des probabilités qui dépendent des essais précédents

Explication

Une répétition indépendante comporte deux issues possibles et une probabilité de succès p appartenant à $[0,1]$ . La présence de plusieurs issues décrit une autre structure d’expérience, tandis que la dépendance entre essais contredit l’indépendance.

Answer

Elle possède deux issues possibles et une probabilité de succès p dans $$[0,1]$$

Question 2

2. Pour 10 arbres dont la proportion infectée est de $\frac{1}{10}$ , quelle loi suit le nombre X d’arbres infectés ?

La loi binomiale

B(10,\frac{1}{10})

La loi binomiale

B(\frac{1}{10},10)

La loi uniforme sur les valeurs de 0 à 10

La loi binomiale

B(10,\frac{9}{10})

Explication

Le nombre d’arbres infectés compte les succès parmi 10 essais, avec une probabilité de succès $\frac{1}{10}$ , donc il suit $B(10,\frac{1}{10})$ . La proportion infectée est $\frac{1}{10}$ , mais elle ne constitue pas la variable aléatoire X elle-même.

Answer

La loi binomiale $$B(10,\frac{1}{10})$$

Question 3

3. Quelle opération permet de calculer une probabilité selon que les valeurs possibles sont discrètes ou continues ?

Une somme dans le cas discret et une intégrale dans le cas continu

Une dérivée dans le cas discret et une multiplication dans le cas continu

Une multiplication dans le cas discret et une dérivée dans le cas continu

Une intégrale dans le cas discret et une somme dans le cas continu

Explication

Les probabilités d’événements élémentaires se somment lorsque les valeurs sont discrètes, tandis qu’elles se calculent par une intégrale dans le cas continu non dénombrable. L’intégrale n’est donc pas l’opération de normalisation du cas discret.

Answer

Une somme dans le cas discret et une intégrale dans le cas continu

Question 4

4. Quelle relation exprime la normalisation des probabilités d’une variable aléatoire discrète ?

\sum_{k\in\Delta} P(X\in k)=0

\int_{\Delta} P(X=k)\,dk=1

\int_{\mathbb{R}} P(X=x)\,dx=0

\sum_{k\in\Delta} P(X=k)=1

Explication

Dans le cas discret, la somme des probabilités de toutes les valeurs possibles doit être égale à 1, ce qui donne $\sum_{k\in\Delta}P(X=k)=1$ . Une intégrale correspond plutôt au traitement d’une densité continue.

Answer

$$\sum_{k\in\Delta} P(X=k)=1$$

Question 5

5. Par quelle fonction une variable aléatoire continue X est-elle caractérisée ?

Par une fonction f appelée densité

Par une constante appelée fréquence

Par une suite de probabilités appelée distribution discrète

Par une fonction de répartition appelée masse

Explication

Une variable aléatoire continue est caractérisée par une fonction f appelée densité. Une suite de probabilités convient au cadre discret, où les valeurs sont dénombrables.

Answer

Par une fonction f appelée densité

Question 6

6. Quelles conditions une fonction f doit-elle satisfaire pour être une densité de probabilité ?

Être constante et avoir une aire totale sous sa courbe égale à 1

Être positive et avoir une aire totale sous sa courbe égale à 1

Être positive et avoir une aire totale sous sa courbe égale à 0

Être négative et avoir une aire totale sous sa courbe égale à 1

Explication

Une densité est une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$ dont l’aire totale sous la courbe vaut 1. Une fonction négative ou d’aire totale nulle ne peut pas représenter des probabilités.

Answer

Être positive et avoir une aire totale sous sa courbe égale à 1

Question 7

7. Comment calcule-t-on la probabilité qu’une variable continue de densité f appartienne à un intervalle I ?

P(X\in I)=\int_I f(x)\,dx

P(X\in I)=\frac{1}{\int_I f(x)\,dx}

P(X\in I)=f(I)

P(X\in I)=\sum_{x\in I}f(x)

Explication

Pour une variable continue, la probabilité d’appartenir à un intervalle est l’aire sous la densité sur cet intervalle, soit $\int_I f(x)\,dx$ . Une somme de valeurs de f correspond au raisonnement discret et ne convient pas à un intervalle continu.

Answer

$$P(X\in I)=\int_I f(x)\,dx$$

Question 8

8. Quelle est la probabilité qu’une variable aléatoire continue prenne une valeur réelle isolée x ?

P(X=x)=0

P(X=x)=f(x)

P(X=x)=\int_{\mathbb{R}}f(t)\,dt

P(X=x)=1

Explication

Pour une variable continue, un point isolé a une longueur nulle et sa probabilité est donc $P(X=x)=0$ . La valeur $f(x)$ décrit la densité au point x, mais elle n’est pas la probabilité de ce point.

Answer

$$P(X=x)=0$$

Question 9

9. Quelle propriété caractérise la densité d’une variable suivant une loi uniforme sur $[a,b]$ ?

Elle est constante et vaut

\frac{1}{b-a}

sur

[a,b]

.

Elle est symétrique autour de zéro sur l’ensemble des réels.

Elle augmente linéairement entre les bornes

a

et

b

.

Elle décroît selon une expression de la forme

\lambda e^{-\lambda x}

.

Explication

Une loi uniforme attribue une densité constante, égale à $\frac{1}{b-a}$ , sur son intervalle de support. L’expression exponentielle décroissante caractérise plutôt une loi exponentielle.

Answer

Elle est constante et vaut $$\frac{1}{b-a}$$ sur $$[a,b]$$.

Question 10

10. Pour une variable uniforme sur $[2,8]$ , quelle est la valeur de sa fonction de répartition en $t=5$ ?

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{2}{5}

\frac{3}{8}

Explication

Comme $5$ appartient à $[2,8]$ , on applique $F_X(t)=\frac{t-a}{b-a}$ , ce qui donne $F_X(5)=\frac{5-2}{8-2}=\frac{1}{2}$ . La valeur $\frac{5}{8}$ ne tient pas compte du déplacement de la borne inférieure.

Answer

$$\frac{1}{2}$$

Question 11

11. Que représente la fonction de répartition $F_X(t)$ d’une variable aléatoire ?

La probabilité que

X

soit exactement égale à

t

.

La probabilité que

X

soit inférieure ou égale à

t

.

La densité de probabilité évaluée précisément au point

t

.

La pente de la densité entre les valeurs voisines de

t

.

Explication

Par définition, $F_X(t)=P(X\le t)$ et elle cumule les probabilités jusqu’à $t$ . La quantité $f(t)$ désigne plutôt la densité au point $t$ , qui n’est pas une probabilité ponctuelle.

Answer

La probabilité que $$X$$ soit inférieure ou égale à $$t$$.

Question 12

12. Si la fonction de répartition de $X$ est connue, comment calcule-t-on $P(a\le X\le b)$ pour $a\le b$ ?

On calcule

F_X(a)+F_X(b)

.

On calcule

F_X(b)\div F_X(a)

.

On calcule

F_X(a)F_X(b)

.

On calcule

F_X(b)-F_X(a)

.

Explication

La probabilité d’un intervalle s’obtient par la différence des probabilités cumulées à ses deux bornes, soit $F_X(b)-F_X(a)$ . Une somme ou un produit des deux valeurs ne retire pas la probabilité accumulée avant $a$ .

Answer

On calcule $$F_X(b)-F_X(a)$$.

Question 13

13. Quelle caractéristique distingue le support d’une loi exponentielle de celui d’une loi normale ?

Les deux lois sont définies sur

\mathbb{R}

, mais seule la loi exponentielle possède une moyenne.

La loi exponentielle est définie sur

\mathbb{R}

, tandis que la loi normale est définie sur

[0,+\infty[

.

La loi exponentielle est définie sur

[0,+\infty[

, tandis que la loi normale est définie sur

\mathbb{R}

.

Les deux lois sont définies sur

[0,+\infty[

, mais leurs densités diffèrent.

Explication

Une variable exponentielle représente une quantité non négative et son support est donc $[0,+\infty[$ , alors qu’une variable normale peut prendre toute valeur réelle. La loi normale n’est donc pas limitée aux valeurs positives.

Answer

La loi exponentielle est définie sur $$[0,+\infty[ $$, tandis que la loi normale est définie sur $$\mathbb{R}$$.

Question 14

14. Quelle densité correspond à la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ ?

f(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}(x)

f(x)=1-e^{-x^2/2}

pour tout

x\in\mathbb{R}

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

pour

x>0

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

Explication

La loi normale centrée réduite possède sur $\mathbb{R}$ la densité $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ . La formule $\lambda e^{-\lambda x}$ correspond à la densité exponentielle, tandis que l’expression avec $\mathbf{1}_{[a,b]}$ correspond à la loi uniforme.

Answer

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

QCM : Variables aléatoires continues — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une répétition indépendante dans le cadre d’une expérience binomiale ?

2. Pour 10 arbres dont la proportion infectée est de $\frac{1}{10}$ , quelle loi suit le nombre X d’arbres infectés ?

3. Quelle opération permet de calculer une probabilité selon que les valeurs possibles sont discrètes ou continues ?

4. Quelle relation exprime la normalisation des probabilités d’une variable aléatoire discrète ?

5. Par quelle fonction une variable aléatoire continue X est-elle caractérisée ?

6. Quelles conditions une fonction f doit-elle satisfaire pour être une densité de probabilité ?

7. Comment calcule-t-on la probabilité qu’une variable continue de densité f appartienne à un intervalle I ?

8. Quelle est la probabilité qu’une variable aléatoire continue prenne une valeur réelle isolée x ?

9. Quelle propriété caractérise la densité d’une variable suivant une loi uniforme sur $[a,b]$ ?

10. Pour une variable uniforme sur $[2,8]$ , quelle est la valeur de sa fonction de répartition en $t=5$ ?

11. Que représente la fonction de répartition $F_X(t)$ d’une variable aléatoire ?

12. Si la fonction de répartition de $X$ est connue, comment calcule-t-on $P(a\le X\le b)$ pour $a\le b$ ?

13. Quelle caractéristique distingue le support d’une loi exponentielle de celui d’une loi normale ?

14. Quelle densité correspond à la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ ?

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QCM : Variables aléatoires continues — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une répétition indépendante dans le cadre d’une expérience binomiale ?

2. Pour 10 arbres dont la proportion infectée est de 110\frac{1}{10}101​, quelle loi suit le nombre X d’arbres infectés ?

3. Quelle opération permet de calculer une probabilité selon que les valeurs possibles sont discrètes ou continues ?

4. Quelle relation exprime la normalisation des probabilités d’une variable aléatoire discrète ?

5. Par quelle fonction une variable aléatoire continue X est-elle caractérisée ?

6. Quelles conditions une fonction f doit-elle satisfaire pour être une densité de probabilité ?

7. Comment calcule-t-on la probabilité qu’une variable continue de densité f appartienne à un intervalle I ?

8. Quelle est la probabilité qu’une variable aléatoire continue prenne une valeur réelle isolée x ?

9. Quelle propriété caractérise la densité d’une variable suivant une loi uniforme sur [a,b][a,b][a,b] ?

10. Pour une variable uniforme sur [2,8][2,8][2,8], quelle est la valeur de sa fonction de répartition en t=5t=5t=5 ?

11. Que représente la fonction de répartition FX(t)F_X(t)FX​(t) d’une variable aléatoire ?

12. Si la fonction de répartition de XXX est connue, comment calcule-t-on P(a≤X≤b)P(a\le X\le b)P(a≤X≤b) pour a≤ba\le ba≤b ?

13. Quelle caractéristique distingue le support d’une loi exponentielle de celui d’une loi normale ?

14. Quelle densité correspond à la loi normale centrée réduite N(0,1)N(0,1)N(0,1) ?

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2. Pour 10 arbres dont la proportion infectée est de $\frac{1}{10}$ , quelle loi suit le nombre X d’arbres infectés ?

9. Quelle propriété caractérise la densité d’une variable suivant une loi uniforme sur $[a,b]$ ?

10. Pour une variable uniforme sur $[2,8]$ , quelle est la valeur de sa fonction de répartition en $t=5$ ?

11. Que représente la fonction de répartition $F_X(t)$ d’une variable aléatoire ?

12. Si la fonction de répartition de $X$ est connue, comment calcule-t-on $P(a\le X\le b)$ pour $a\le b$ ?

14. Quelle densité correspond à la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ ?