Fiche de révision : Variables aléatoires continues

📋 Plan du Cours

1. Répétitions et loi binomiale
2. Du discret au continu
3. Densité d’une variable continue
4. Loi uniforme et fonction de répartition
5. Lois exponentielle et normale

📖 1. Répétitions et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Répétition indépendante : Répétition indépendante d’une expérience possédant deux issues possibles et une probabilité de succès p appartenant à [0,1].

📝 Points essentiels

• Si la proportion d’arbres infectés est de 1/10 et que l’on étudie 10 arbres, le nombre X d’arbres infectés suit la loi binomiale B(10, 1/10).

📖 2. Du discret au continu

★ À maîtriser

📌 Lorsque l’ensemble des valeurs possibles est discret, les probabilités des événements élémentaires se somment, tandis que dans le cas continu non dénombrable, cette somme est remplacée par une intégrale.

📐 Formule — Dans le cas discret, la normalisation des probabilités s’écrit $\sum_{k\in\Delta} P(X=k)=1$.

Compléments

📌 En dimension nulle discrète, une probabilité correspond au rapport entre le nombre de points rouges et le nombre total de points, tandis qu’en dimension continue elle correspond au rapport entre l’aire de la région rouge et celle du grand carré, ou au rapport des longueurs en dimension 1.

💡 Astuce mémo

Discret : points et somme ; continu : aire et intégrale

📖 3. Densité d’une variable continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité : Fonction caractérisant une variable aléatoire continue X.

★ À maîtriser

📌 Une densité f est une fonction de ℝ vers ℝ⁺ qui est positive et dont l’aire totale sous la courbe vaut 1.

📐 Formule — Pour une variable continue de densité f, la probabilité d’un événement I vérifie $P(X\in I)=\int_I f(x)\,dx\in[0{,}1]$.

📌 Pour toute valeur réelle isolée x, une variable aléatoire continue vérifie P(X=x)=0.

Compléments

• La fonction $f(x)=\frac{1}{2}\mathbf{1}_{[0{,}2]}(x)$ est une densité car elle est positive et son intégrale sur ℝ vaut 1.

💡 Astuce mémo

Densité positive et aire totale égale à 1 → probabilités par intégration

📖 4. Loi uniforme et fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme : Loi dont la variable prend ses valeurs dans [a,b] et possède la densité $f(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}(x)$.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de X est définie par $F_X(t)=P(X\le t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)\,dx$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour la loi uniforme sur [a,b], la fonction de répartition vérifie $F_X(t)=0$ si t<a, $F_X(t)=\frac{t-a}{b-a}$ si a≤t≤b, et $F_X(t)=1$ si t>b.

📐 Formule — Pour a≤b, la probabilité d’un intervalle vérifie $P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$.

💡 Astuce mémo

Uniforme : densité constante sur [a,b] ; répartition : aire cumulée jusqu’à t

📖 5. Lois exponentielle et normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi exponentielle : Loi pour laquelle λ>0, X prend ses valeurs dans [0,+∞[ et possède la densité nulle pour x<0 et égale à $\lambda e^{-\lambda x}$ pour x>0.
• Loi normale centrée réduite : Loi dont le support est ℝ et dont la densité est $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.

📝 Points essentiels

• La loi exponentielle modélise notamment l’instant d’arrivée dans une file d’attente ou l’instant du prochain tremblement de terre.

📐 Formule — Pour une variable exponentielle, la fonction de répartition vaut $F_X(t)=0$ si t<0 et $F_X(t)=1-e^{-\lambda t}$ si t>0.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des principales lois continues