Fiche de révision : Loi normale et table de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Modélisation par loi normale
2. Lecture de la table normale
3. Calculs de probabilités normales
4. Centrage et réduction

📖 1. Modélisation par loi normale

📝 Points essentiels

• La loi normale permet de modéliser une loi à partir d’un échantillon caractérisé par sa moyenne et sa variance, par exemple le bruit à l’absence ou le nombre de points d’une équipe sportive.

💡 Astuce mémo

Échantillon connu → loi modélisée par sa moyenne et sa variance

📖 2. Lecture de la table normale

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité cumulée de la loi normale centrée réduite s’écrit $P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt$, mais cette intégrale n’est pas calculable directement.

📌 La table permet de calculer $P(X\leq x)$ pour tout $x\in[0;1{,}99]$, tandis que la probabilité correspondant à 2,34 n’y figure pas directement.

Compléments

📌 Pour une valeur supérieure à 1,99, comme 2,34, on peut approcher $P(X\leq 2{,}34)$ par $P(X\leq 1{,}99)=0{,}9767$.

• Pour la loi normale centrée réduite, $P(X\leq 0)=0{,}5$ et $P(X\leq 0{,}42)=0{,}6628$.

💡 Astuce mémo

Valeurs tabulées jusqu’à 1,99, valeurs supérieures approchées par la borne

📖 3. Calculs de probabilités normales

★ À maîtriser

📌 La probabilité d’un dépassement se calcule par complément : $P(X\geq 0{,}58)=1-P(X<0{,}58)=1-0{,}7088=0{,}2912$.

• Pour calculer $P(0{,}83<X<1{,}27)$, on soustrait la probabilité cumulée à 0,83 de celle à 1,27 : $P(X<1{,}27)-P(X<0{,}83)=0{,}8980-0{,}7967=0{,}1013$.

Compléments

📐 Formule — Pour une loi normale centrée réduite symétrique, $P(-1\leq X\leq 1)=2P(X\leq 1)-1=2\times0{,}8413-1=0{,}6826$.

💡 Astuce mémo

Intervalle : borne haute − borne basse ; complément : 1 − probabilité

📖 4. Centrage et réduction

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $X\sim\mathcal{N}(m,\sigma^2)$, alors la variable centrée réduite $Z=\frac{X-m}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal{N}(0{,}1)$.

• Si la taille des étudiants suit $X\sim\mathcal{N}(165{,}6^2)$, alors l’intervalle 170–175 cm est transformé en $P\left(\frac{5}{6}\leq Z\leq\frac{10}{6}\right)$ avec $Z\sim\mathcal{N}(0{,}1)$.

Compléments

• Pour standardiser l’intervalle des tailles, on soustrait 165 à chaque borne puis on divise chaque résultat par 6, ce qui donne $\frac{5}{6}\leq\frac{X-165}{6}\leq\frac{10}{6}$.

💡 Astuce mémo

Centrer X par m, réduire par σ, puis lire la loi N(0,1)