Flashcards : Variables aléatoires discrètes — 34 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire réelle sur un univers W ?

Réponse

Une fonction X:W→RX: W \to \mathbb{R} associant un réel à chaque issue.

2Question

Quelle variable aléatoire étudie la somme des valeurs lors du lancer de deux dés ?

Réponse

La variable qui associe à chaque lancer la somme des deux valeurs.

3Question

Quelle probabilité étudie-t-on avec la variable aléatoire somme de deux dés pour X=3X=3 ?

Réponse

La probabilité P(X=3)P(X=3) d'obtenir une somme égale à 3.

4Question

Comment se définit la probabilité P(X=x)P(X=x) pour une valeur réelle x ?

Réponse

C'est la probabilité des issues ww telles que X(w)=xX(w)=x.

5Question

Qu'est-ce que le support d'une variable aléatoire X ?

Réponse

L'ensemble des réels xx tels que P(X=x)≠0P(X=x) \neq 0.

6Question

Que donne la loi d'une variable aléatoire réelle X ?

Réponse

La valeur de P(X=x)P(X=x) pour chaque xx de son support.

7Question

Quelle est la formule de l'espérance d'une variable aléatoire discrète X ?

Réponse

E(X)=∑xxP(X=x)E(X)=\sum_x xP(X=x)

8Question

Que représente l'espérance d'une variable aléatoire ?

Réponse

Sa valeur moyenne théorique.

9Question

Quelle est l'espérance de la somme de deux dés non truqués ?

Réponse

7

10Question

Quelle est la formule de la variance d'une variable aléatoire X ?

Réponse

V(X)=E((X−E(X))2)V(X)=E((X-E(X))^2)

11Question

Comment calcule-t-on l'écart-type d'une variable aléatoire X ?

Réponse

σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

12Question

Quelle formule exprime la variance selon König-Huygens ?

Réponse

V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2

13Question

Quelles sont les valeurs du support d'une loi de Bernoulli ?

Réponse

Les valeurs 0 et 1.

14Question

Quelle est la probabilité que X=1 pour une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

Elle vaut p.

15Question

Quelle est la formule de la probabilité que X=0 pour une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

P(X=0)=1−pP(X=0)=1-p.

16Question

Quelle est l'espérance d'une variable X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

E(X)=pE(X)=p.

17Question

Quelle est la variance d'une variable X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

V(X)=p(1−p)V(X)=p(1-p).

18Question

Qu'est-ce qu'une variable suit une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n,p) ?

Réponse

Elle compte le nombre de succès en n répétitions d'une expérience succès-échec de probabilité p.

19Question

Quelle est la formule de P(X=k)P(X=k) pour X∼B(n,p)X\sim\mathcal{B}(n,p) ?

Réponse

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

20Question

Quelles sont l'espérance et la variance d'une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n,p) ?

Réponse

E(X)=npE(X)=np et V(X)=np(1−p)V(X)=np(1-p)

21Question

Quelle est l'écart-type d'une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n,p) ?

Réponse

σ(X)=np(1−p)\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

22Question

Quelle loi suit le nombre de bonnes réponses dans un QCM de 8 questions à 4 réponses dont une seule correcte ?

Réponse

X∼B(8,14)X\sim\mathcal{B}(8,\frac{1}{4})

23Question

Quel est le support de la somme de deux dés non truqués ?

Réponse

L'ensemble des entiers de 2 à 12.

24Question

Comment sont proportionnelles les probabilités pour la somme de deux dés ?

Réponse

Aux nombres 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,11,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 sur 36.

25Question

Quelle est la valeur de E(X2)E(X^2) pour la somme de deux dés ?

Réponse

3296\frac{329}{6}

26Question

Quelle est la valeur de la variance V(X)V(X) pour la somme de deux dés ?

Réponse

356\frac{35}{6}

27Question

Quelle est la valeur approchée de l'écart-type σ(X)\sigma(X) pour la somme de deux dés ?

Réponse

356≈2,4152294577\sqrt{\frac{35}{6}}\approx 2,4152294577

28Question

Quelle proportion des résultats est comprise entre 4,5 et 9,5 dans la simulation étudiée ?

Réponse

Plus de 60 %

29Question

Quelle est la moyenne arrondie des résultats dans la simulation étudiée ?

Réponse

7

30Question

Quelle est la probabilité de gagner dans le jeu avec un nombre pair au premier dé puis un 6 au second ?

Réponse

112\frac{1}{12}.

31Question

Quel est le gain moyen dans le jeu avec un coût de 10 € et un gain de 100 € ?

Réponse

Environ -2,33 €.

32Question

Comment calcule-t-on la probabilité d'avoir exactement 4 bonnes réponses dans ce QCM ?

Réponse

P(X=4)=(84)(14)4(34)4≈0,087P(X=4)=\binom{8}{4}(\frac{1}{4})^4(\frac{3}{4})^4\approx0,087

33Question

Quel est le nombre moyen de bonnes réponses dans ce QCM ?

Réponse

E(X)=8×14=2E(X)=8\times\frac{1}{4}=2

34Question

Comment calcule-t-on la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse dans ce QCM ?

Réponse

P(X≥1)=1−(34)8≈0,899P(X\geq1)=1-(\frac{3}{4})^8\approx0,899

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 17 questions sur Variables aléatoires discrètes.

1. Quelle est la nature mathématique d’une variable aléatoire réelle définie sur un univers des possibilités WW ?

2. Lors du lancer de deux dés, que représente la variable aléatoire définie par la somme des deux résultats ?

Faire le QCM →

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