Fiche de révision : Variables aléatoires discrètes

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires et lois
2. Espérance et moyenne probabiliste
3. Variance et écart-type
4. Loi de Bernoulli
5. Loi binomiale et applications

📖 1. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Fonction $X: W \to \mathbb{R}$ qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Support de X : Ensemble des valeurs réelles x telles que $P(X=x)\neq 0$.
• Loi de X : Donne la valeur de $P(X=x)$ pour chaque x appartenant à son support.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une valeur réelle x, la probabilité $P(X=x)$ est la probabilité de l’ensemble des issues w de W telles que $X(w)=x$.

• Lorsqu’on lance deux dés, la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des deux valeurs permet d’étudier la probabilité $P(X=3)$.

Compléments

• Pour la somme de deux dés non truqués, le support est l’ensemble des entiers de 2 à 12 et les probabilités correspondantes sont proportionnelles à $1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}5{,}4{,}3{,}2{,}1$ sur 36.

💡 Astuce mémo

Une expérience aléatoire passe par une fonction qui transforme chaque issue en nombre.

📖 2. Espérance et moyenne probabiliste

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : Valeur moyenne théorique.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire discrète X est $E(X)=\sum_x xP(X=x)$.

• Pour la somme de deux dés non truqués, l’espérance est $E(X)=2\times\frac{1}{36}+3\times\frac{2}{36}+\cdots+12\times\frac{1}{36}=7$.

💡 Astuce mémo

La moyenne statistique décrit des résultats observés, l’espérance décrit la moyenne théorique.

📖 3. Variance et écart-type

★ À maîtriser

📐 Formule — La variance d’une variable aléatoire X est $V(X)=E((X-E(X))^2)$.

📐 Formule — L’écart-type d’une variable aléatoire X est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📐 Formule — La formule de König-Huygens donne $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

Compléments

• Pour la somme de deux dés, on obtient $E(X^2)=\frac{329}{6}$, $V(X)=\frac{35}{6}$ et $\sigma(X)=\sqrt{\frac{35}{6}}\approx2{,}4152294577$.

• Dans la simulation étudiée, plus de 60 % des résultats sont compris entre 4,5 et 9,5 autour d’une moyenne arrondie à 7.

💡 Astuce mémo

Les écarts à la moyenne produisent la variance, dont la racine donne l’écart-type.

📖 4. Loi de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, notée $X\sim\mathcal{B}(p)$, lorsque son support est composé de deux valeurs ramenées à 0 et 1 et que $P(X=1)=p$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une loi de Bernoulli de paramètre p, $P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$.

📐 Formule — Si $X\sim\mathcal{B}(p)$, alors $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.

Compléments

• Dans le jeu décrit, gagner exige d’obtenir un nombre pair au premier dé puis un 6 au second, donc la probabilité de gagner est $\frac12\times\frac16=\frac1{12}$.

• Avec un coût de 10 € et un gain de 100 € en cas de victoire, le gain moyen est $-10\times\frac{11}{12}+90\times\frac1{12}=-\frac73\text{ EUR}\approx-2{,}33\text{ EUR}$.

💡 Astuce mémo

Succès = 1, échec = 0.

📖 5. Loi binomiale et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de n répétitions d’une expérience succès-échec de probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors pour tout entier k entre 0 et n, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

• Pour un QCM de 8 questions avec 4 réponses possibles dont une seule correcte, le nombre X de bonnes réponses suit $X\sim\mathcal{B}(8,\frac14)$.

Compléments

• Dans ce QCM, la probabilité d’obtenir exactement 4 bonnes réponses est $P(X=4)=\binom84\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)^4\approx0{,}087$, soit environ 9 %.

• Dans ce QCM, le nombre moyen de bonnes réponses est $E(X)=8\times\frac14=2$.

• La probabilité d’avoir au moins une bonne réponse dans ce QCM est $P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac34\right)^8\approx0{,}899$, soit environ 90 %.

💡 Astuce mémo

Répéter n fois une expérience succès-échec conduit au nombre total de succès.

📊 Tableaux de synthèse

Bernoulli et binomiale