Fiche de révision : Radian et fonctions sinus

📋 Plan du Cours

1. Mesure des angles en radians
2. Arcs et secteurs circulaires
3. Paramètres d’une fonction sinus
4. Tracé d’une fonction sinus

📖 1. Mesure des angles en radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Mesure d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un tour complet vérifie $360^\circ = 2\pi\ \text{rad}$.

📐 Formule — La conversion des degrés en radians et des radians en degrés s’écrit respectivement $1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}$ et $1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

Compléments

📌 Lorsqu’une amplitude angulaire est donnée en radians, l’unité « rad » n’est généralement pas précisée.

💡 Astuce mémo

Degré : représentation facile ; radian : usage mathématique pratique

📖 2. Arcs et secteurs circulaires

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un cercle de rayon R et un angle central α exprimé en radians, la longueur de l’arc intercepté vérifie $l = \alpha R$.

📐 Formule — Pour un cercle de rayon R et un angle central α exprimé en radians, l’aire du secteur circulaire vérifie $A = \frac{1}{2}\alpha R^2$.

💡 Astuce mémo

Angle en radians → longueur d’arc et aire du secteur

📖 3. Paramètres d’une fonction sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude : L’amplitude d’une fonction sinus est la demi-différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale, soit $|a|=\frac{\text{valeur max}-\text{valeur min}}{2}$.
• Période : La période T d’une fonction est le plus petit réel positif tel que $f(x+T)=f(x)$, et elle correspond à la distance entre deux maximums ou deux minimums consécutifs.
• Déphasage : Le déphasage $-\frac{\varphi}{\omega}$ est la translation horizontale du graphique d’une fonction sinus par rapport à la fonction de base $f(x)=\sin x$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction sinus s’écrit $f(x)=a\sin(\omega x+\varphi)+b=a\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right)+b$.

📐 Formule — La vitesse angulaire ω est la variation de l’angle en fonction du temps, exprimée en rad/s, et elle vérifie $|\omega|=\frac{2\pi}{T}$.

Compléments

📐 Formule — La fréquence d’une fonction sinus est le nombre de cycles par unité de temps et vérifie $f=\frac{1}{T}$.

📐 Formule — Le décalage vertical b est la moyenne de la valeur maximale et de la valeur minimale, soit $b=\frac{\text{valeur max}+\text{valeur min}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Une sinusoïde que a étire verticalement, ω horizontalement, puis que b translate

📖 4. Tracé d’une fonction sinus

★ À maîtriser

• Pour tracer une fonction sinus à partir de son expression analytique, on transforme successivement $\sin x$ en $\sin(\omega x)$, puis en $\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right)$, ensuite en $a\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right)$ et enfin en $a\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right)+b$.

Compléments

📌 Dans le tracé d’une fonction sinus, une translation horizontale de φ/ω s’effectue vers la gauche si φ/ω est positif et vers la droite s’il est négatif.

💡 Astuce mémo

Horizontal → gauche ou droite → vertical → haut ou bas