QCM : Radian et fonctions sinus — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on un radian pour un angle au centre d’un cercle ?

C’est un angle qui intercepte un arc de longueur égale au diamètre.
C’est un angle dont la mesure vaut la moitié d’un tour complet.
C’est un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.
C’est un angle dont la mesure correspond à une longueur d’arc égale à la circonférence.

C’est un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.

Explication

Un radian est défini par un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon. L’arc de longueur égale au diamètre ne fournit pas cette définition et conduit à une autre mesure angulaire.

2. Quelle égalité relie un tour complet aux mesures en degrés et en radians ?

90∘=2π rad90^\circ=2\pi\ \text{rad}
360∘=π rad360^\circ=\pi\ \text{rad}
360∘=2π rad360^\circ=2\pi\ \text{rad}
180∘=2π rad180^\circ=2\pi\ \text{rad}

$$360^\circ=2\pi\ \text{rad}$$

Explication

Un tour complet mesure 360∘360^\circ, ce qui correspond à 2π2\pi radians. L’égalité avec π\pi radians représente un demi-tour, et non un tour complet.

3. Quelle conversion permet de transformer une mesure en degrés en une mesure en radians ?

Multiplier la mesure en degrés par 180π\frac{180}{\pi}.
Multiplier la mesure en degrés par π180\frac{\pi}{180}.
Diviser la mesure en degrés par π\pi puis multiplier par 180180.
Ajouter π180\frac{\pi}{180} à la mesure exprimée en degrés.

Multiplier la mesure en degrés par $$\frac{\pi}{180}$$.

Explication

La conversion degrés-radians utilise le facteur π180\frac{\pi}{180}, car 1∘=π180 rad1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}. Le facteur 180π\frac{180}{\pi} sert dans le sens inverse, pour convertir des radians en degrés.

4. Un cercle a un rayon RR et un angle central α\alpha exprimé en radians. Quelle formule donne la longueur de l’arc intercepté ?

l=2πRαl=2\pi R\alpha
l=α+Rl=\alpha+R
l=12αR2l=\frac{1}{2}\alpha R^2
l=αRl=\alpha R

$$l=\alpha R$$

Explication

La longueur de l’arc est le produit de l’angle en radians par le rayon, soit l=αRl=\alpha R. La formule comportant R2R^2 correspond à l’aire du secteur circulaire.

5. Pour un secteur d’angle central α\alpha en radians et de rayon RR, comment calcule-t-on son aire ?

A=12αR2A=\frac{1}{2}\alpha R^2
A=α2R2A=\frac{\alpha}{2R^2}
A=αRA=\alpha R
A=2παR2A=2\pi\alpha R^2

$$A=\frac{1}{2}\alpha R^2$$

Explication

L’aire du secteur circulaire est donnée par A=12αR2A=\frac{1}{2}\alpha R^2. La relation αR\alpha R donne la longueur de l’arc et ne convient donc pas à une aire.

6. Dans la fonction f(x)=asin⁡(ωx+φ)+bf(x)=a\sin(\omega x+\varphi)+b, quel paramètre agit verticalement sur le graphique ?

Le paramètre bb, qui règle la longueur d’un cycle.
Le paramètre aa, qui règle l’amplitude du sinus.
Le paramètre φ\varphi, qui règle la valeur moyenne du sinus.
Le paramètre ω\omega, qui règle directement la hauteur du sinus.

Le paramètre $$a$$, qui règle l’amplitude du sinus.

Explication

Le coefficient aa agit verticalement en déterminant l’amplitude, tandis que ω\omega modifie l’organisation horizontale des oscillations. Le paramètre bb produit un décalage vertical, mais ne règle pas la longueur d’un cycle.

7. Une fonction sinus a pour valeur maximale 77 et pour valeur minimale −3-3. Quelle est son amplitude ?

1010
55
−5-5
22

$$5$$

Explication

L’amplitude est la demi-différence entre les valeurs extrêmes : 7−(−3)2=5\frac{7-(-3)}{2}=5. La différence complète vaut 1010, mais elle n’est pas l’amplitude.

8. Comment caractérise-t-on la période TT d’une fonction sinus ?

C’est le nombre de cycles réalisés pendant une unité de temps.
C’est la distance verticale entre deux maximums consécutifs.
C’est le plus petit réel positif tel que f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x).
C’est la plus grande valeur de xx pour laquelle f(x)=0f(x)=0.

C’est le plus petit réel positif tel que $$f(x+T)=f(x)$$.

Explication

La période est le plus petit réel positif qui reproduit les valeurs de la fonction selon f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x). La distance entre deux maximums consécutifs est une interprétation graphique de cette période, mais la distance verticale ne peut pas la définir.

9. Une oscillation sinus a une période T=4 sT=4\ \text{s}. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire en valeur absolue ?

π2 rad/s\frac{\pi}{2}\ \text{rad/s}
4π rad/s4\pi\ \text{rad/s}
14 rad/s\frac{1}{4}\ \text{rad/s}
2π rad/s2\pi\ \text{rad/s}

$$\frac{\pi}{2}\ \text{rad/s}$$

Explication

La vitesse angulaire vérifie ∣ω∣=2πT|\omega|=\frac{2\pi}{T}, donc ici ∣ω∣=2π4=π2 rad/s|\omega|=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \text{rad/s}. La valeur 14 rad/s\frac{1}{4}\ \text{rad/s} correspond à la fréquence numérique, sans exprimer la variation angulaire.

10. Quelle suite de transformations permet de tracer une fonction sinus à partir de son expression analytique ?

Modifier d’abord l’amplitude, puis la translation verticale, la période et enfin la phase
Transformer successivement la période, la phase, l’amplitude, puis la translation verticale
Appliquer d’abord la translation verticale, puis l’amplitude, la phase et la période
Transformer successivement sin⁡x\sin x en sin⁡(ωx)\sin(\omega x), puis appliquer la phase, l’amplitude et la translation verticale

Transformer successivement $$\sin x$$ en $$\sin(\omega x)$$, puis appliquer la phase, l’amplitude et la translation verticale

Explication

La construction suit l’ordre sin⁡x→sin⁡(ωx)→sin⁡(ω(x+φω))→asin⁡(ω(x+φω))→asin⁡(ω(x+φω))+b\sin x \rightarrow \sin(\omega x) \rightarrow \sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right) \rightarrow a\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right) \rightarrow a\sin\left(\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right)+b. Les autres propositions changent cet enchaînement et attribuent à tort une priorité différente aux transformations.

11. Pour une fonction sinus, dans quel sens s’effectue une translation horizontale lorsque φω\frac{\varphi}{\omega} est positif ?

Vers la gauche, car la quantité de translation est positive
Vers la droite, car le signe positif indique un déplacement croissant
Vers le bas, car une phase positive réduit la valeur de la fonction
Vers le haut, car la phase modifie la position verticale

Vers la gauche, car la quantité de translation est positive

Explication

Une valeur positive de φω\frac{\varphi}{\omega} correspond à une translation horizontale vers la gauche dans le tracé sinusoidal. Un déplacement vers la droite est associé à une valeur négative, tandis que la phase n’indique pas une translation verticale.

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Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Radian et fonctions sinus.

Qu'est-ce qu'un radian en géométrie ?

La mesure d’un angle au centre interceptant un arc égal au rayon.

Quelle égalité relie degrés et radians pour un tour complet ?

360∘=2π rad360^\circ = 2\pi\ \text{rad}.

Comment convertir un degré en radians ?

1∘=π180 rad1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}.

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