QCM : Variables aléatoires discrètes — 17 questions

Explication

Une variable aléatoire réelle est une fonction $X:W\to\mathbb{R}$ qui attribue un nombre réel à chaque issue. L’univers des possibilités, lui, regroupe les issues et ne constitue pas la variable aléatoire.

Explication

Cette variable associe à chaque lancer le total des deux valeurs, ce qui permet notamment d’étudier $P(X=3)$. Contrairement au couple ordonné, cette somme ne distingue pas quel dé a produit chaque valeur.

Explication

La quantité $P(X=x)$ est la probabilité de l’ensemble des issues $w\in W$ vérifiant $X(w)=x$. Plusieurs issues peuvent donc contribuer à cette probabilité, contrairement à l’idée d’une issue nécessairement unique.

Explication

La loi de $X$ indique la probabilité $P(X=x)$ associée à chaque valeur de son support. Elle ne se réduit donc ni à l’ensemble des issues ni à une moyenne ou à une mesure de dispersion.

Explication

L’espérance est une moyenne pondérée : chaque valeur $x$ est multipliée par sa probabilité $P(X=x)$, puis les produits sont additionnés. Une moyenne non pondérée ne tiendrait pas compte des probabilités différentes des valeurs.

Explication

L’espérance représente la valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire sur un grand nombre de réalisations. Elle ne correspond pas forcément à une valeur observée lors d’une expérience particulière.

Explication

En pondérant chaque somme par sa probabilité, on obtient $E(X)=7$. Cette espérance est une moyenne théorique, tandis qu’un lancer individuel produit une somme entière comprise entre $2$ et $12$.

Explication

La variance est l’espérance du carré de l’écart entre $X$ et son espérance. La racine carrée de cette quantité correspond à l’écart-type, qui s’exprime dans la même unité que $X$.

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance, soit $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$. Il ne se confond donc pas avec la variance elle-même, même si les deux mesurent la dispersion.

Explication

La formule de König-Huygens exprime la variance comme la différence entre le deuxième moment $E(X^2)$ et le carré de l’espérance. Les autres expressions modifient le signe ou remplacent incorrectement le carré de l’espérance.

Explication

Une loi de Bernoulli modélise une seule expérience à deux issues codées 0 et 1, où 1 représente le succès de probabilité $p$. La loi binomiale, en revanche, compte les succès lors de plusieurs répétitions.

Explication

Dans une loi de Bernoulli, la probabilité du succès codé par 1 vaut $p$, tandis que celle de l’échec codé par 0 vaut $1-p$. Pour $p=0,7$, on obtient donc 0,7 et 0,3.

Explication

Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$, les formules sont $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$. Avec $p=0,2$, elles donnent respectivement 0,2, 0,16 et 0,4.

Explication

La loi binomiale compte le nombre de succès parmi $n$ répétitions d’une même expérience succès-échec. Une loi de Bernoulli décrit le résultat d’un seul essai, ce qui constitue la confusion principale entre les deux modèles.

Explication

La formule binomiale est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, avec $k$ égal au nombre de succès. Ici, $n=5$, $k=2$ et $p=0,4$, d’où l’expression proposée.

Explication

Chaque question constitue un essai dont la probabilité de succès est $\frac14$, et il y a 8 essais. Le nombre total de bonnes réponses suit donc une loi binomiale de paramètres 8 et $\frac14$.

Explication

L’espérance d’une loi binomiale vaut $np$. Ici, $E(X)=8\times\frac14=2$, tandis que 4 correspondrait à une probabilité moyenne de succès égale à $\frac12$.