Flashcards : Risk & Uncertainty - Français (93 cartes)

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1Question

Que représente l’espace échantillonnal Ω d’une expérience probabiliste ?

Réponse

L’ensemble de tous les résultats possibles.

2Question

Comment définit-on un événement dans un espace échantillonnal Ω ?

Réponse

Un sous-ensemble de Ω.

3Question

Comment définit-on la probabilité de A sachant B lorsque P(B)>0 ?

Réponse

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

4Question

Quelle formule donne la probabilité de A et B par conditionnement ?

Réponse

$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

5Question

Quelle formule donne P(B) lorsqu'A₁,…,Aₙ forment une partition ?

Réponse

$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\mid A_i)P(A_i)$

6Question

Comment calcule-t-on P(Aᵢ sachant B) avec une partition A₁,…,Aₙ ?

Réponse

$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B\mid A_j)P(A_j)}$

7Question

Quelle égalité caractérise l’indépendance de A et B ?

Réponse

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

8Question

Comment définit-on une variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω,P) ?

Réponse

C’est une fonction de Ω vers ℝ.

9Question

Que donne la loi de probabilité de X pour un ensemble E⊂ℝ ?

Réponse

$P(X\in E)=P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in E\})$

10Question

Comment définit-on la fonction de répartition F de X en t ?

Réponse

$F(t)=P(X\le t)$ .

11Question

Vers quelle valeur tend toute fonction de répartition quand t tend vers +∞ ?

Réponse

Vers 1.

12Question

Quand une variable aléatoire est-elle dite discrète ?

Réponse

Lorsque son image est finie ou dénombrable.

13Question

Quelle forme prend la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète ?

Réponse

Une fonction en escalier.

14Question

Quelle somme vaut 1 pour les probabilités des valeurs distinctes d’une variable discrète ?

Réponse

$\sum_i p_i=1$

15Question

Comment calcule-t-on $P(X\in E)$ pour une variable discrète ?

Réponse

$\sum_{x_i\in E}p_i$

16Question

Quelle formule donne l’espérance d’une variable discrète X de valeurs xᵢ et probabilités pᵢ ?

Réponse

$E(X)=\sum_i x_i p_i$

17Question

Quelle formule donne l’espérance de $\phi(X)$ pour une variable discrète $X$ ?

Réponse

$E(\phi(X))=\sum_i \phi(x_i)p_i$ lorsqu’elle existe.

18Question

Comment calcule-t-on la variance d’une variable discrète X ?

Réponse

$V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2p_i$ , lorsqu’elle existe.

19Question

Quelle inégalité la variance d’une variable X vérifie-t-elle ?

Réponse

$V(X)\geq 0$ .

20Question

Comment la variance de aX+b dépend-elle de a ?

Réponse

$V(aX+b)=a^2V(X)$ .

21Question

Que modélise la loi hypergéométrique lors d’un tirage ?

Réponse

Le nombre de succès parmi des tirages simultanés sans remise dans une urne.

22Question

Quelle est la probabilité d’obtenir k succès avec une loi $H(N,n,m)$ ?

Réponse

$P(X=k)=\frac{\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .

23Question

Quelle est l’espérance d’une variable $X\sim H(N,n,m)$ ?

Réponse

$n\frac{m}{N}$ .

24Question

Que modélise la loi de Poisson sur un intervalle ?

Réponse

Le nombre d’occurrences d’un événement rare à taux moyen positif indépendant du temps écoulé depuis la dernière occurrence.

25Question

Quelle est la formule de la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ pour $k\in\mathbb{N}$ ?

Réponse

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

26Question

Que modélise la loi géométrique de paramètre $p$ ?

Réponse

Le nombre d’essais indépendants et successifs jusqu’au premier succès.

27Question

Quelles valeurs peut prendre une variable suivant la loi géométrique ?

Réponse

Les entiers positifs.

28Question

Quelle est la probabilité $P(X=k)$ pour $X\sim G(p)$ et $k\geq 1$ ?

Réponse

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ .

29Question

Quelle est l’espérance d’une variable $X\sim G(p)$ ?

Réponse

$E(X)=\frac{1}{p}$ .

30Question

Que modélise la loi binomiale négative de paramètres $r$ et $p$ ?

Réponse

Le nombre d’essais indépendants et successifs jusqu’à l’obtention de $r$ succès.

31Question

Quelle est la formule de $P(X=k)$ pour $X\sim\mathrm{NB}(r,p)$ et $k\ge r$ ?

Réponse

$\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$

32Question

À quelle condition une variable aléatoire continue possède-t-elle une densité ?

Réponse

Pour tout ensemble réel $E$ , $P(X\in E)=\int_E f(x)\,dx$ .

33Question

Quelles propriétés caractérisent une densité $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Réponse

Elle est positive ou nulle et son intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut 1.

34Question

Quelle est la régularité de la fonction de répartition d’une variable continue ?

Réponse

Elle est continue.

35Question

Quelle probabilité possède une valeur ponctuelle d’une variable continue ?

Réponse

Une probabilité nulle.

36Question

Quelle intégrale donne l’espérance d’une variable continue $X$ de densité $f$ ?

Réponse

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx$ , lorsqu’elle existe.

37Question

Quelle est la définition de la variance continue de $X$ , de densité $f$ ?

Réponse

$V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)\,dx$ , lorsqu’elle existe.

38Question

Comment définit-on le quantile d’ordre $p$ d’une variable aléatoire continue $X$ ?

Réponse

C’est le point $x_p$ tel que $F(x_p)=p$ , soit $P(X\leq x_p)=p$ .

39Question

Quelle formule donne l’espérance de $X\geq 0$ , de support $[a,b)$ avec $a\geq 0$ ?

Réponse

$E(X)=a+\int_a^b[1-F(t)]\,dt$ .

40Question

Quelle borne l’inégalité de Markov donne-t-elle pour $P(X\ge a)$ ?

Réponse

$\frac{E(X)}{a}$ .

41Question

Quelle borne de Tchebychev s’applique à $P(|X-\mu|\ge k)$ ?

Réponse

$\frac{\sigma^2}{k^2}$ .

42Question

Pour une perte X et une franchise d, quel paiement est versé ?

Réponse

$Y_d=\max(X-d,0).$

43Question

Pour une perte X et une franchise d, quand le paiement est-il nul ?

Réponse

Lorsque $X<d.$

44Question

Pour une perte X et un plafond c, quel est le paiement plafonné ?

Réponse

$Y^c=\min(X,c).$

45Question

Avec une franchise d et un plafond c, quelle différence d’espérances donne le paiement moyen ?

Réponse

$E(Y_d^c)=E[(X-d)^+]-E[(X-c)^+].$

46Question

Quelle densité caractérise une variable uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

Elle vaut $\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$ et zéro ailleurs.

47Question

Quelle est l’espérance d’une variable uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

$\frac{a+b}{2}$

48Question

Quelle densité caractérise une loi exponentielle de paramètre $\theta$ ?

Réponse

Elle vaut $\theta e^{-\theta x}$ pour $x>0$ et zéro sinon.

49Question

Quelle est la variance d’une variable exponentielle de paramètre $\theta$ ?

Réponse

$\frac{1}{\theta^2}$

50Question

Que représente la distribution conjointe de deux variables discrètes X et Y ?

Réponse

Les probabilités des événements simultanés X = xᵢ et Y = yⱼ.

51Question

Comment obtient-on la loi marginale de X à partir de la loi conjointe de X et Y ?

Réponse

On somme les probabilités conjointes sur toutes les valeurs de Y.

52Question

Comment calcule-t-on la probabilité conditionnelle de X = xᵢ sachant Y = yⱼ ?

Réponse

$p_X(x_i\mid y_j) = \frac{p(x_i,y_j)}{p_Y(y_j)}.$

53Question

Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux variables discrètes X et Y ?

Réponse

$p(x_i,y_j)=p_X(x_i)p_Y(y_j)$ pour toute paire de valeurs.

54Question

Quelle expression définit la covariance de X et Y à partir de leurs moyennes ?

Réponse

$\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)].$

55Question

Que signifient les accolades dans la notation d’un tirage ?

Réponse

L’ordre ne compte pas.

56Question

À quelle condition une famille de sous-ensembles forme-t-elle une partition de Ω ?

Réponse

Son union vaut Ω et ses ensembles distincts sont disjoints.

57Question

Quels résultats contient le complémentaire Aᶜ d’un événement A ?

Réponse

Les résultats de Ω qui n’appartiennent pas à A.

58Question

Que contient la différence A\B entre deux ensembles ?

Réponse

Les éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

59Question

Quelle formule caractérise l’indépendance conditionnelle de A et B sachant C ?

Réponse

$P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$

60Question

Que représente l’image X(Ω) d’une variable aléatoire X ?

Réponse

L’ensemble des valeurs prises par X lorsque ω parcourt Ω.

61Question

Quand un réel x est-il un atome de la loi de X ?

Réponse

Lorsque $P(X=x)>0$ .

62Question

Quelle est la probabilité que le maximum de deux tirages ordonnés sans remise parmi 1, 2 et 3 vaille 2 ?

Réponse

$\frac{1}{3}$

63Question

Quelle est la taille du saut de la fonction de répartition en x pour une variable discrète ?

Réponse

$P(X=x)$ .

64Question

Dans le calcul de l’espérance, par quoi chaque valeur de X est-elle pondérée ?

Réponse

Par sa probabilité correspondante.

65Question

Pour les parts de pizza des sept nains, quel est le mode ?

Réponse

2 parts.

66Question

Pour les parts de pizza des sept nains, quelle est la médiane ?

Réponse

4 parts.

67Question

Pour les parts de pizza des sept nains, quel est le milieu de l’étendue ?

Réponse

7 parts.

68Question

Pour les parts de pizza des sept nains, quelle est la moyenne arithmétique ?

Réponse

5 parts.

69Question

Quelle est l’espérance de X valant 1 pour pile et 0 pour face avec une pièce équilibrée ?

Réponse

$\frac{1}{2}$

70Question

Quelle est l’espérance du maximum de deux boules valant 2 avec probabilité 1/3 et 3 avec probabilité 2/3 ?

Réponse

$\frac{8}{3}$

71Question

Si X vaut constamment c, quelle est son espérance ?

Réponse

$E(X)=c$

72Question

Quelle est l’espérance du gain dans le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?

Réponse

Elle est infinie.

73Question

Comment définit-on l’écart-type d’une variable aléatoire X ?

Réponse

C’est la racine carrée de sa variance : $\sigma_X=\sqrt{V(X)}$ .

74Question

Quelle moyenne et quel écart-type a le score standardisé Z ?

Réponse

Sa moyenne est 0 et son écart-type est 1.

75Question

À partir de quel score z un point de données est-il conventionnellement considéré comme une valeur aberrante ?

Réponse

En dessous de −3 ou au-dessus de 3.

76Question

Vers quelle loi converge la loi hypergéométrique lorsque $N\to\infty$ et $m/N=p$ ?

Réponse

La loi binomiale $B(n,p)$ .

77Question

Comment calculer $P(a<X\leq b)$ pour une variable continue ?

Réponse

$F(b)-F(a)$ .

78Question

Que vaut la densité $f(x)$ lorsque $F$ est dérivable en $x$ ?

Réponse

$F'(x)$ .

79Question

Comment calcule-t-on $E(\phi(X))$ pour une variable continue $X$ de densité $f$ ?

Réponse

$E(\phi(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)f(x)\,dx$ .

80Question

Quelle formule exprime $V(X)$ à l’aide de $E(X^2)$ et de $E(X)$ ?

Réponse

$V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ .

81Question

Quelle équation caractérise la médiane $m$ d’une variable aléatoire continue ?

Réponse

$F(m)=\frac{1}{2}$ , soit $P(X\leq m)=\frac{1}{2}$ .

82Question

Quelle est la fonction de répartition associée à $f(x)=20x^3(1-x)$ sur $[0,1]$ ?

Réponse

$F(x)=5x^4-4x^5$ .

83Question

Quelle est l’espérance associée à $f(x)=20x^3(1-x)$ sur $[0,1]$ ?

Réponse

$\frac{2}{3}$ .

84Question

Quelle équation détermine la médiane de la loi de densité $f(x)=20x^3(1-x)$ sur $[0,1]$ ?

Réponse

$F(m)=\frac{1}{2}$ .

85Question

De quelles informations l’inégalité de Markov a-t-elle besoin ?

Réponse

Uniquement de l’espérance de $X$ .

86Question

Quel type de probabilité l’inégalité de Tchebychev borne-t-elle ?

Réponse

Une probabilité bilatérale d’écart à la moyenne.

87Question

Quelle borne de Tchebychev obtient-on pour la perte avec $E(X)=100$ et $V(X)=400$ ?

Réponse

$P(X\ge160)\le\frac{1}{9}\approx0{,}111$ .

88Question

Quelle borne de Markov obtient-on pour la perte avec $E(X)=100$ et le seuil $160$ ?

Réponse

$P(X\ge160)\le0{,}625$ .

89Question

Pour une perte X de support [a,b], quelle intégrale donne l’espérance du paiement avec franchise d ?

Réponse

$E(Y_d)=\int_d^b(x-d)f_X(x)\,dx=\int_d^b[1-F_X(x)]\,dx.$

90Question

Pour une perte X de support [a,b], quelle est l’espérance du paiement plafonné ?

Réponse

$E(Y^c)=\int_a^c xf_X(x)\,dx+cP(X\ge c)=a+\int_a^c[1-F_X(x)]\,dx.$

91Question

Comment transformer une variable uniforme sur $[0,1]$ en variable uniforme sur $[a,b]$ ?

Réponse

En posant $Y=a+(b-a)X$ .

92Question

Quelle égalité exprime l’absence de mémoire de la loi exponentielle ?

Réponse

$P(X>t+s\mid X>t)=P(X>s)$ pour $s,t>0$ .

93Question

Quelle formule donne E[f(X,Y)] pour deux variables discrètes X et Y ?

Réponse

$E[f(X,Y)] = \sum_i\sum_j f(x_i,y_j)p(x_i,y_j).$

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1. Une expérience consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’espace échantillonnal de cette expérience ?

2. Dans une expérience dont l’espace échantillonnal est $\Omega=\{a,b,c,d\}$ , quelle représentation convient à un événement ?

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