QCM : Risk & Uncertainty - Français (48 questions)

Question 1

1. Une expérience consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’espace échantillonnal de cette expérience ?

L’ensemble des six résultats possibles, de 1 à 6

L’ensemble des résultats pairs, de 2 à 6

L’ensemble des résultats de 1 à 5

L’ensemble des résultats de 1 à 7

Explication

L’espace échantillonnal rassemble tous les résultats possibles de l’expérience. Les résultats pairs forment un événement, tandis que 1 à 5 omet une issue et 7 n’est pas un résultat possible.

Answer

L’ensemble des six résultats possibles, de 1 à 6

Question 2

2. Dans une expérience dont l’espace échantillonnal est $\Omega=\{a,b,c,d\}$ , quelle représentation convient à un événement ?

Un résultat isolé, considéré comme l’espace complet

Un ensemble contenant

e

, qui n’appartient pas à

\Omega

L’espace complet

\Omega

dans tous les cas

Un sous-ensemble de

\Omega

, par exemple

\{a,c\}

Explication

Un événement est un sous-ensemble de l’espace échantillonnal, comme $\{a,c\}$ . L’espace complet est lui-même un événement particulier, mais les événements ne sont pas tous égaux à cet espace; une issue isolée n’est pas l’espace complet, et $e$ ne peut appartenir à un sous-ensemble de $\Omega$ .

Answer

Un sous-ensemble de $$\Omega$$, par exemple $$\{a,c\}$$

Question 3

3. Deux ensembles disjoints contiennent respectivement 7 et 4 éléments. Combien d’éléments leur union contient-elle ?

28 éléments

10 éléments

3 éléments

11 éléments

Explication

Pour deux ensembles disjoints, aucun élément n’est compté deux fois : la cardinalité de l’union vaut $7+4=11$ . Soustraire donne une différence, multiplier correspond à une autre règle de dénombrement, et retrancher un élément suppose un chevauchement absent ici.

Answer

11 éléments

Question 4

4. Un organisateur attribue, sans remise, trois rôles distincts à trois personnes choisies parmi huit. Combien d’attributions ordonnées sont possibles ?

8!=40320

\frac{8!}{5!}=336

8^3=512

\binom{8}{3}=56

Explication

Les rôles étant distincts, l’ordre des trois personnes compte; sans remise, le nombre d’attributions est $\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=336$ . $\binom{8}{3}$ ignore l’ordre, $8^3$ autorise les répétitions, et $8!$ ordonne les huit personnes.

Answer

$$\frac{8!}{5!}=336$$

Question 5

5. Dans une expérience, $P(B)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ ?

0{,}12

0{,}048

0{,}3

0{,}28

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule par $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ; ici, $0{,}12/0{,}4=0{,}3$ . Diviser par $P(A)$ utilise le mauvais conditionnement, multiplier confond les opérations, et soustraire ne correspond pas à la définition.

Answer

$$0{,}15$$

Answer

$$0{,}032$$

Answer

Ils sont indépendants, sans être nécessairement disjoints

Answer

Une fonction de l’espace des issues vers les réels

Answer

Calculer la probabilité des issues ω telles que X(ω) appartient à E

Answer

$$F(t)=P(X\le t)$$

Answer

La continuité à droite

Answer

Y est discrète et sa fonction de répartition est en escalier

Answer

$$P(Z\in\{2,5\})=0{,}5+0{,}3=0{,}8$$

Answer

$$1\times0,2+3\times0,5+5\times0,3$$

Answer

$$0,2(0-2,5)^2+0,5(2-2,5)^2+0,3(5-2,5)^2$$

Answer

$$X\sim H(20,5,6)$$

Answer

Une loi de Poisson de paramètre $$\lambda$$

Answer

Espérance 3 et variance 3

Answer

Une variable géométrique comptant les essais jusqu’au premier succès

Answer

$$0{,}7^3\times 0{,}3=0{,}1029$$

Answer

Moyenne $$4$$ et variance $$12$$

Answer

$$\binom{2}{1}(0{,}4)^2(0{,}6)=0{,}192$$

Answer

$$\frac{1}{2}$$

Answer

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx$$

Answer

$$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)\,dx$$

Answer

$$F(x_{0{,}8})=0{,}8$$

Answer

$$2+\int_2^7[1-F(t)]\,dt$$

Answer

$$\frac{1}{4}$$

Answer

Elle vaut $$\frac{1}{6}$$ sur $$[2,8]$$ et $$0$$ ailleurs.

Answer

$$e^{-2}$$

Answer

Une loi normale standard $$N(0,1)$$

Answer

Les probabilités sont positives ou nulles et leur somme totale vaut $$1$$.

Answer

On ne peut pas conclure qu’elles sont indépendantes.

Question 6

6. Une branche d’un arbre comporte d’abord un événement $B$ de probabilité $0{,}5$ , puis $A$ sachant $B$ de probabilité $0{,}3$ . Quelle est la probabilité de leur intersection ?

0{,}15

0{,}6

0{,}2

0{,}8

Explication

La règle multiplicative donne $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=0{,}3\times0{,}5=0{,}15$ . L’inversion du conditionnement réclame une autre probabilité, l’addition ne convient pas le long d’une branche, et la division inverse la règle.

Question 7

7. Un produit provient de l’usine $A_1$ avec probabilité $0{,}6$ ou de l’usine $A_2$ avec probabilité $0{,}4$ . Les taux de défaut sont respectivement $0{,}02$ et $0{,}05$ . Quelle est la probabilité qu’un produit pris au hasard soit défectueux ?

0{,}038

0{,}001

0{,}035

0{,}032

Explication

Les usines forment une partition; la probabilité totale du défaut vaut $0{,}02\times0{,}6+0{,}05\times0{,}4=0{,}012+0{,}020=0{,}032$ . La moyenne simple néglige les proportions, le produit des taux ne calcule pas une probabilité totale, et la pondération croisée associe les mauvais poids.

Question 8

8. Deux événements ont chacun une probabilité positive et vérifient $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Quelle conclusion s’applique ?

Ils sont incompatibles et leur intersection est vide

Ils sont complémentaires et leur union vaut l’espace entier

Ils sont égaux parce que leurs probabilités se combinent

Ils sont indépendants, sans être nécessairement disjoints

Explication

L’indépendance est caractérisée par $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; elle n’exige pas que l’intersection soit vide. L’incompatibilité concerne $A\cap B=\varnothing$ , tandis que l’égalité ou la complémentarité ne découle pas de cette relation.

Question 9

9. Dans un modèle probabiliste, chaque issue possible reçoit un nombre réel décrivant une caractéristique de cette issue. Quelle structure mathématique représente cette variable aléatoire ?

Une fonction de l’espace des issues vers les probabilités

Un sous-ensemble de l’espace des issues

Une fonction des réels vers l’espace des issues

Une fonction de l’espace des issues vers les réels

Explication

Une variable aléatoire associe à chaque issue de l’espace probabilisé un réel. La loi de probabilité porte sur les événements, l’image rassemble les valeurs atteintes et l’espace des issues n’est pas le codomaine réel.

Question 10

10. On associe à chaque issue d’une expérience un nombre réel par une variable aléatoire X. Pour déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans un ensemble E de réels, quelle opération faut-il effectuer ?

Calculer la probabilité des issues ω telles que ω appartient à E

Calculer la probabilité de E comme s’il s’agissait d’un ensemble d’issues

Additionner les probabilités des nombres réels appartenant à E

Calculer la probabilité des issues ω telles que X(ω) appartient à E

Explication

La loi de X attribue à E la probabilité de son image réciproque, c’est-à-dire des issues dont la valeur de X appartient à E. Traiter E comme un ensemble d’issues confond les deux espaces, tandis que sommer ses valeurs ne définit pas une probabilité.

Question 11

11. Pour une variable aléatoire X, une analyste veut obtenir la probabilité que sa valeur ne dépasse pas un seuil réel t. Quelle expression de la fonction de répartition doit-elle utiliser ?

F(t)=P(X\le t)

F(t)=P(X>t)

F(t)=P(X<t)

F(t)=P(X=t)

Explication

La fonction de répartition en t est la probabilité de l’événement $X\le t$ . La probabilité de dépasser le seuil décrit la queue supérieure, l’égalité décrit une masse ponctuelle et l’inégalité stricte exclut une éventuelle masse en t.

Question 12

12. Une fonction candidate à une fonction de répartition est croissante et tend vers 0 à gauche et 1 à droite, mais présente une discontinuité vers la droite en un point. Quelle propriété générale lui manque-t-il ?

La constance sur tout son domaine

La décroissance

La continuité à droite

La continuité à gauche

Explication

Toute fonction de répartition est continue à droite, en plus d’être croissante et d’avoir les limites indiquées aux deux infinis. La continuité à gauche n’est pas la propriété requise; la croissance et les limites sont déjà présentes dans la situation.

Question 13

13. Une variable aléatoire Y prend ses valeurs dans l’ensemble dénombrable $\{1,2,3,\ldots\}$ . Quelle description convient à Y et à sa fonction de répartition ?

Y est continue et sa fonction de répartition est en escalier

Y est continue et sa fonction de répartition est nécessairement constante par morceaux sans sauts

Y est discrète et sa fonction de répartition est en escalier

Y est discrète et sa fonction de répartition est nécessairement linéaire

Explication

Une variable est discrète lorsque son image est finie ou dénombrable; sa fonction de répartition est alors en escalier. Une image dénombrable peut être infinie, tandis qu’une fonction linéaire ou continue sans sauts ne découle pas de cette classification.

Question 14

14. Une variable discrète Z prend les valeurs distinctes 0, 2 et 5 avec probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Quelle formule donne la probabilité que Z appartienne à $\{2,5\}$ ?

P(Z\in\{2,5\})=0{,}2+0{,}5+0{,}3=1

P(Z\in\{2,5\})=0{,}5\times0{,}3=0{,}15

P(Z\in\{2,5\})=0{,}3

P(Z\in\{2,5\})=0{,}5+0{,}3=0{,}8

Explication

Pour une variable discrète, la probabilité d’un ensemble de valeurs est la somme des probabilités des valeurs qu’il contient : $0{,}5+0{,}3=0{,}8$ . Additionner aussi la masse en 0 inclut une valeur extérieure, multiplier les masses est incorrect et retenir seulement la masse en 5 omet la valeur 2.

Question 15

15. Une variable discrète prend les valeurs 1, 3 et 5 avec les probabilités respectives 0,2, 0,5 et 0,3. Quel calcul applique la règle de pondération pour obtenir son espérance ?

1\times0,5+3\times0,3+5\times0,2

1+3+5

\frac{1\times0,2+3\times0,5+5\times0,3}{3}

1\times0,2+3\times0,5+5\times0,3

Explication

Chaque valeur possible est multipliée par sa propre probabilité, puis les produits sont additionnés. La somme simple oublie les probabilités, l’association décalée attribue les mauvais poids et la division par trois ajoute une étape injustifiée.

Question 16

16. Sept personnes mangent respectivement 2, 2, 2, 4, 6, 7 et 12 parts de pizza. Quelle valeur correspond à la moyenne arithmétique, plutôt qu’au mode, à la médiane ou au milieu de l’étendue ?

4 parts

2 parts

7 parts

5 parts

Explication

La moyenne arithmétique est la somme des sept quantités divisée par sept, soit 35/7 = 5. La valeur 2 est le mode, 4 la médiane et 7 le milieu de l’étendue.

Question 17

17. Une variable discrète $X$ vaut 0, 2 ou 4 avec des probabilités respectives de 0,1, 0,6 et 0,3. Quelle est son espérance ?

2,8

2

2,4

1,2

Explication

On pondère chaque valeur par sa probabilité : $E(X)=0\times0,1+2\times0,6+4\times0,3=2,4$ . La moyenne simple ignore les probabilités, l’ordre inverse change les poids et renormaliser après avoir omis zéro est injustifié.

Question 18

18. Une variable $X$ vaut 1 ou 3, avec une probabilité de 1/2 pour chaque valeur. Pour $\phi(x)=x^2$ , quelle est la valeur de $E(\phi(X))$ ?

5

9

4

2

Explication

Il faut appliquer la fonction à chaque valeur puis pondérer : $E(X^2)=1^2\times\frac12+3^2\times\frac12=5$ . Le carré de l’espérance vaut 4, l’espérance de X vaut 2 et le carré de la plus grande valeur vaut 9.

Question 19

19. Pour une variable $X$ , on sait que $E(\phi(X))=4$ et $E(\varphi(X))=1$ . Quelle valeur obtient-on pour $E[2\phi(X)-3\varphi(X)]$ ?

1

11

5

-5

Explication

La linéarité donne $2E(\phi(X))-3E(\varphi(X))=2\times4-3\times1=5$ . Additionner les contributions donne 11, diviser par la somme des coefficients n’est pas une règle de linéarité, et inverser les espérances donne une autre expression.

Question 20

20. Pour les données ordonnées 3, 5, 8, 10, 12, 14, 18, avec $Q_1=5$ et $Q_3=14$ , quelle paire donne l’étendue puis l’écart interquartile ?

21 et 19

15 et 9

18 et 14

9 et 15

Explication

L’étendue est la différence entre les valeurs extrêmes, $18-3=15$ , et l’écart interquartile est $Q_3-Q_1=14-5=9$ . La paire inversée échange les deux mesures; les autres réponses utilisent des bornes ou des opérations inadaptées.

Question 21

21. Une variable discrète prend les valeurs 0, 2 et 5 avec les probabilités respectives 0,2, 0,5 et 0,3, et son espérance vaut 2,5. Quelle expression donne sa variance ?

(0-2,5)^2+(2-2,5)^2+(5-2,5)^2

0,2(0-2,5)^2+0,5(2-2,5)^2+0,3(5-2,5)^2

0,2|0-2,5|+0,5|2-2,5|+0,3|5-2,5|

0,2(0)^2+0,5(2)^2+0,3(5)^2

Explication

La variance est l’espérance du carré de l’écart à la moyenne : chaque écart au carré est donc pondéré par la probabilité de la valeur correspondante. Les écarts absolus, l’absence de pondération et les carrés calculés autour de zéro correspondent à d’autres calculs.

Question 22

22. Une transformation d’une variable aléatoire est définie par $Y=-3X+4$ . Si $V(X)=2$ , quelle est la variance de $Y$ ?

6

50

−6

18

Explication

Pour une transformation affine, $V(aX+b)=a^2V(X)$ : ici $V(Y)=(-3)^2\times2=18$ . Le résultat −6 n’élève pas le coefficient au carré, 6 ajoute la constante et 50 traite à tort la translation comme une contribution à la variance.

Question 23

23. Pour une variable discrète $X$ , on calcule $E(X^2)=13$ et $E(X)=3$ . Quelle valeur obtient-on pour $V(X)$ avec la formule faisant intervenir ces deux espérances ?

9

22

4

10

Explication

La formule donne $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=13-3^2=4$ . La valeur 10 oublie de mettre l’espérance au carré, 9 ne garde que ce carré et 22 additionne les deux termes.

Question 24

24. Une urne contient 20 boules, dont 6 portent une marque. On en tire simultanément 5 sans les remettre, et $X$ compte les boules marquées. Quel modèle décrit $X$ ?

Une loi déterministe de valeur 6

X\sim H(20,5,6)

X\sim P(0,3)

Une loi binomiale de paramètres 5 et 0,3

Explication

Le modèle hypergéométrique décrit le nombre de succès dans un échantillon tiré sans remise d’une population finie, ici avec $N=20$ , $n=5$ et $m=6$ . La loi binomiale suppose des essais indépendants, tandis que la loi de Poisson concerne des occurrences rares sur un intervalle.

Question 25

25. Un centre d’appels modélise le nombre d’appels très rares reçus par tranche de temps. Le taux moyen reste positif et ne dépend pas du temps écoulé depuis l’appel précédent. Quel modèle convient ?

Une loi hypergéométrique de paramètres

N,n,m

Une loi de Poisson de paramètre

\lambda

Une loi à taux moyen dépendant du temps écoulé

Une loi binomiale de paramètres

n,p

Explication

La loi de Poisson modélise les occurrences d’un événement rare sur un intervalle lorsque le taux moyen est positif et indépendant du temps écoulé depuis la dernière occurrence. L’hypergéométrique porte sur un tirage sans remise dans une population finie, et les deux autres propositions ne correspondent pas aux conditions décrites.

Question 26

26. Le nombre d’incidents par jour dans un système suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$ . Quelle paire donne son espérance et sa variance ?

Espérance 3 et variance 3

Espérance

\frac{1}{3}

et variance 3

Espérance 3 et variance 9

Espérance 3 et variance

\sqrt{3}

Explication

Pour une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ , l’espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$ ; ici elles valent donc 3. $\sqrt{3}$ correspondrait à l’écart-type, 9 est le carré du paramètre et $\frac{1}{3}$ en est l’inverse.

Question 27

27. Une expérience consiste à répéter des essais indépendants jusqu’au premier succès. Quelle variable décrit le nombre d’essais effectués ?

Une variable géométrique comptant les échecs avant le premier succès

Une variable géométrique comptant les essais jusqu’au premier succès

Une variable binomiale négative comptant les essais jusqu’au rᵉ succès

Une variable binomiale comptant les succès sur un nombre fixé d’essais

Explication

La loi géométrique compte le nombre d’essais indépendants jusqu’au premier succès. Le rᵉ succès correspond à la loi binomiale négative, le décompte des échecs omet l’essai réussi, et la loi binomiale considère un nombre fixé d’essais.

Question 28

28. La probabilité de succès à chaque essai indépendant est $p=0{,}3$ . Quelle est la probabilité que le premier succès survienne au quatrième essai ?

0{,}7^3\times 0{,}3=0{,}1029

0{,}3^4=0{,}0081

0{,}7^4\times 0{,}3=0{,}07203

0{,}3=0{,}3

Explication

Pour un premier succès au quatrième essai, les trois premiers essais doivent échouer puis le quatrième réussir : $P(X=4)=(1-p)^3p=0{,}7^3\times0{,}3=0{,}1029$ . La valeur $0{,}3$ omet les échecs antérieurs, l’exposant quatre compte un échec de trop et $0{,}3^4$ traite les quatre essais comme des succès.

Question 29

29. Le nombre d’essais jusqu’au premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p=0{,}25$ . Quelle est sa moyenne et sa variance ?

Moyenne

12

et variance

4

Moyenne

0{,}25

et variance

12

Moyenne

4

et variance

3

Moyenne

4

et variance

12

Explication

Pour une loi géométrique, $E(X)=1/p=4$ et $V(X)=(1-p)/p^2=0{,}75/0{,}0625=12$ . Intervertir les deux valeurs confond moyenne et variance, prendre $p$ comme moyenne inverse la formule, et la variance $3$ omet un facteur $1/p$ .

Question 30

30. On répète des essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès $p=0{,}4$ . Quelle probabilité la loi binomiale négative attribue-t-elle à l’obtention du deuxième succès au troisième essai ?

\binom{2}{1}(0{,}4)^2(0{,}6)=0{,}192

(0{,}6)^2(0{,}4)=0{,}144

(0{,}4)^2(0{,}6)=0{,}096

\binom{3}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)=0{,}288

Explication

Pour $r=2$ succès au total après $k=3$ essais, $P(X=3)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}=\binom{2}{1}(0{,}4)^2(0{,}6)=0{,}192$ . Le coefficient $\binom{3}{2}$ choisit parmi les trois essais plutôt que les deux premiers, l’expression sans coefficient omet les ordres possibles, et la dernière expression ne représente pas deux succès.

Question 31

31. La fonction de répartition d’une variable continue est dérivable en $x=2$ et vérifie $F(x)=x^2/8$ dans un voisinage de ce point. Quelle est la densité en $x=2$ ?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}F(2)=\frac{1}{4}

Explication

Lorsque la fonction de répartition est dérivable, $f(x)=F'(x)$ . Ici, $F'(x)=2x/8=x/4$ , donc $f(2)=1/2$ ; $F(2)=1/2$ dans cet exemple, mais l’option qui donne $1/4$ correspond à une évaluation erronée de la fonction cumulée.

Question 32

32. Une variable continue $X$ a pour densité $f$ et son espérance existe. Quelle intégrale permet de calculer $E(X)$ ?

\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))f(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx

Explication

L’espérance d’une variable continue s’obtient en intégrant la valeur $x$ pondérée par sa densité $f(x)$ sur tout son domaine. L’intégrale de la densité seule donne la masse totale, celle avec $x^2$ concerne le second moment et celle centrée sur $E(X)$ ne donne pas l’espérance.

Question 33

33. Pour une variable continue $X$ de densité $f$ et d’espérance existante, quelle expression calcule sa variance ?

\int_{-\infty}^{+\infty}(x-V(X))^2f(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))f(x)\,dx

\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx

Explication

La variance est l’espérance du carré de l’écart entre $X$ et sa moyenne, d’où l’intégrale de $(x-E(X))^2$ pondérée par $f(x)$ . Le carré de $x$ seul est le second moment, l’écart non élevé au carré ne mesure pas la dispersion quadratique, et centrer sur la variance confond deux notions.

Question 34

34. Pour une variable continue $X$ , on cherche le quantile d’ordre $0{,}8$ . Quelle équation doit satisfaire ce quantile $x_{0{,}8}$ ?

1-F(x_{0{,}8})=0{,}8

F(0{,}8)=x_{0{,}8}

F(x_{0{,}8})=0{,}8

F(x_{0{,}8})=0{,}5

Explication

Le quantile d’ordre $p$ est la valeur $x_p$ telle que $F(x_p)=p$ , c’est-à-dire que la probabilité d’être inférieur ou égal à cette valeur vaut $p$ . La valeur $0{,}5$ correspond à la médiane, l’équation inversée confond fonction et argument, et le complément exprime une probabilité de dépassement.

Question 35

35. Une variable continue non négative $X$ a pour support $[2,7)$ . Quelle formule permet de calculer son espérance à partir de sa fonction de répartition $F$ ?

2+\int_2^7[1-F(t)]\,dt

2+\int_2^7F(t)\,dt

\int_2^7[1-F(t)]\,dt+7

\int_2^7[1-F(t)]\,dt

Explication

Pour une variable non négative de support $[a,b)$ , l’espérance vaut $a+\int_a^b[1-F(t)]\,dt$ ; ici $a=2$ et $b=7$ . Omettre le terme initial néglige le décalage du support, intégrer $F$ remplace le complément par la fonction de répartition, et ajouter $7$ utilise la mauvaise borne.

Question 36

36. Une variable aléatoire non négative représente le gain quotidien d’une entreprise. Si son espérance est de 120 euros, quelle borne supérieure l’inégalité de Markov donne-t-elle pour la probabilité que le gain atteigne au moins 300 euros ?

0{,}6

180

2{,}5

0{,}4

Explication

L’inégalité de Markov donne $P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a}$ , donc la borne vaut $\frac{120}{300}=0{,}4$ . Le quotient inversé donne $2{,}5$ , le seuil pris au numérateur donne $0{,}6$ et la différence des valeurs donne $180$ .

Question 37

37. La durée d’un retard a une moyenne de 10 minutes et un écart-type de 3 minutes. Quelle borne supérieure l’inégalité de Tchebychev fournit-elle pour la probabilité que le retard s’écarte de la moyenne d’au moins 6 minutes ?

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{9}

Explication

Tchebychev donne $P(|X-\mu|\ge k)\le\frac{\sigma^2}{k^2}$ ; ici, $\frac{3^2}{6^2}=\frac{1}{4}$ . Utiliser l’écart-type sans le mettre au carré conduit à $\frac{1}{2}$ , omettre le carré du seuil à $\frac{1}{9}$ , et Markov ne correspond pas à cette borne bilatérale.

Question 38

38. Pour une perte de 900 euros et une franchise de 250 euros, quel paiement l’assureur verse-t-il selon la règle de franchise ?

650 euros

900 euros

0 euro

250 euros

Explication

Avec une franchise, le paiement est $Y_d=\max(X-d,0)$ ; ici, il vaut $900-250=650$ euros. Le montant de 250 euros confond la franchise avec le paiement, 900 euros omet la déduction et zéro correspondrait à une perte inférieure à la franchise.

Question 39

39. Un contrat plafonne le paiement à 700 euros. Pour une perte de 950 euros, quel montant est versé ?

950 euros

0 euro

700 euros

250 euros

Explication

Le paiement plafonné est $Y^c=\min(X,c)$ ; avec une perte de 950 euros et un plafond de 700 euros, il est de 700 euros. Verser 950 euros ignore le plafond, 250 euros calcule la différence perte-plafond et zéro applique à tort une franchise.

Question 40

40. Un contrat prévoit une franchise de 200 euros et un plafond de paiement de 800 euros. Pour une perte de 1 300 euros, quel est le paiement plafonné ?

300 euros

1 100 euros

600 euros

800 euros

Explication

Le paiement avec franchise et plafond est $\min\{(X-d)^+,c-d\}$ : ici, $\min(1300-200,800-200)=\min(1100,600)=600$ euros. Les 800 euros traitent le plafond comme paiement maximal au lieu de tenir compte de la franchise; 1 100 euros oublient le plafond et 300 euros soustraient le plafond à la perte nette.

Question 41

41. Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle $[2,8]$ . Quelle forme sa densité prend-elle sur cet intervalle et en dehors ?

Elle augmente linéairement de

0

à

\frac{1}{6}

sur

[2,8]

et vaut

0

ailleurs.

Elle vaut

6

sur

[2,8]

et

0

ailleurs.

Elle vaut

\frac{1}{6}

sur

[2,8]

et

0

ailleurs.

Elle vaut

\frac{1}{6}

sur toute la droite réelle.

Explication

La densité uniforme est l’inverse de la longueur de l’intervalle, soit $1/(8-2)=1/6$ , et elle est nulle ailleurs. La densité triangulaire varie avec la position, la hauteur $6$ inverse longueur et densité, et une densité constante sur toute la droite ne serait pas intégrable.

Question 42

42. La durée $X$ d’un événement suit une loi uniforme sur $[4,10]$ . Quelle est sa variance ?

\frac{1}{2}

36

3

49

Explication

Pour une loi uniforme sur $[a,b]$ , la variance vaut $\frac{(b-a)^2}{12}$ ; ici, $\frac{(10-4)^2}{12}=3$ . La valeur $36$ omet la division par douze, $1/2$ omet le carré, et $49$ correspond au carré de la moyenne.

Question 43

43. Un temps d’attente $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\theta=2$ par minute. Quelle est la probabilité que l’attente dépasse une minute ?

e^{2}

e^{-2}

e^{-1}

1-e^{-2}

Explication

Pour $t>0$ , la fonction de répartition est $F(t)=1-e^{-\theta t}$ ; ainsi, $P(X>1)=1-F(1)=e^{-2}$ . $1-e^{-2}$ est la probabilité d’attendre au plus une minute, tandis que les autres expressions omettent le paramètre ou inversent le signe de l’exposant.

Question 44

44. Une mesure $X$ suit une loi normale de moyenne $50$ et d’écart-type $4$ . Quelle variable centrée réduite obtient-on en posant $Z=(X-50)/4$ ?

Une loi normale

N(12.5,1)

Une loi normale

N(0,16)

Une loi normale standard

N(0,1)

Une loi normale

N(-12.5,1)

Explication

La standardisation $Z=(X-\mu)/\sigma$ transforme une variable normale en loi $N(0,1)$ ; ici, $\mu=50$ et $\sigma=4$ . $N(0,16)$ provient de l’emploi de la variance au dénominateur, et les deux autres choix résultent d’une standardisation incorrecte.

Question 45

45. Une table donne les probabilités conjointes de toutes les paires de valeurs possibles de deux variables discrètes $X$ et $Y$ . Quelle propriété doit satisfaire cette table pour représenter une distribution conjointe ?

Chaque paire reçoit une probabilité strictement positive et leur somme vaut

1

.

Les probabilités marginales de

X

et de

Y

sont égales pour chaque valeur.

Les probabilités sont positives ou nulles et leur somme totale vaut

1

.

Les probabilités de chaque ligne sont positives et chacune de ces sommes vaut

1

.

Explication

Une distribution conjointe attribue une probabilité positive ou nulle à chaque paire et la somme sur toutes les paires vaut $1$ . Une somme égale à $1$ ligne par ligne concerne une autre contrainte, les probabilités conjointes peuvent être nulles, et l’égalité des marginales n’est pas requise.

Question 46

46. Dans une table conjointe, la ligne correspondant à $X=1$ contient les probabilités $0.20$ , $0.15$ et $0.05$ pour les trois valeurs possibles de $Y$ . Quelle est la probabilité marginale $p_X(1)$ ?

La somme de la colonne correspondant à

Y=1

0.13\overline{3}

0.20

0.40

Explication

La probabilité marginale de $X=1$ s’obtient en additionnant les probabilités conjointes de cette ligne : $0.20+0.15+0.05=0.40$ . $0.20$ ne retient que la plus grande cellule, $0.13\overline{3}$ est la moyenne des cellules, et une somme de colonne correspond à une marginale de $Y$ .

Question 47

47. Dans une table de probabilités conjointes, on a $p(X=2,Y=1)=0.12$ et $p_Y(1)=0.30$ . Quelle est la probabilité conditionnelle $P(X=2\mid Y=1)$ ?

2.5

0.40

0.12

\frac{0.12}{p_X(2)}

Explication

La loi conditionnelle se calcule par $p_X(2\mid 1)=p(2,1)/p_Y(1)=0.12/0.30=0.40$ . $2.5$ inverse le rapport, $0.12$ est la probabilité conjointe, et le conditionnement par $Y$ requiert la marginale de $Y$ .

Question 48

48. Deux variables discrètes $X$ et $Y$ ont une covariance nulle. Quelle conclusion peut-on tirer au sujet de leur indépendance ?

On ne peut pas conclure qu’elles sont indépendantes.

Elles sont nécessairement dépendantes.

Leur espérance de produit diffère nécessairement du produit de leurs espérances.

Elles sont indépendantes et leur produit moyen se factorise.

Explication

L’indépendance implique une covariance nulle, mais la réciproque n’est pas garantie ; une covariance nulle ne suffit donc pas à établir l’indépendance. L’indépendance implique bien la factorisation des espérances, tandis qu’une dépendance certaine ou une différence nécessaire des espérances ne découle pas de la covariance nulle.

QCM : Risk & Uncertainty - Français (48 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une expérience consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’espace échantillonnal de cette expérience ?

2. Dans une expérience dont l’espace échantillonnal est Ω={a,b,c,d}\Omega=\{a,b,c,d\}Ω={a,b,c,d}, quelle représentation convient à un événement ?

3. Deux ensembles disjoints contiennent respectivement 7 et 4 éléments. Combien d’éléments leur union contient-elle ?

4. Un organisateur attribue, sans remise, trois rôles distincts à trois personnes choisies parmi huit. Combien d’attributions ordonnées sont possibles ?

5. Dans une expérience, P(B)=0,4P(B)=0{,}4P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0{,}12P(A∩B)=0,12. Quelle est la probabilité conditionnelle de AAA sachant BBB ?

6. Une branche d’un arbre comporte d’abord un événement BBB de probabilité 0,50{,}50,5, puis AAA sachant BBB de probabilité 0,30{,}30,3. Quelle est la probabilité de leur intersection ?

7. Un produit provient de l’usine A1A_1A1​ avec probabilité 0,60{,}60,6 ou de l’usine A2A_2A2​ avec probabilité 0,40{,}40,4. Les taux de défaut sont respectivement 0,020{,}020,02 et 0,050{,}050,05. Quelle est la probabilité qu’un produit pris au hasard soit défectueux ?

8. Deux événements ont chacun une probabilité positive et vérifient P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B). Quelle conclusion s’applique ?

9. Dans un modèle probabiliste, chaque issue possible reçoit un nombre réel décrivant une caractéristique de cette issue. Quelle structure mathématique représente cette variable aléatoire ?

10. On associe à chaque issue d’une expérience un nombre réel par une variable aléatoire X. Pour déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans un ensemble E de réels, quelle opération faut-il effectuer ?

11. Pour une variable aléatoire X, une analyste veut obtenir la probabilité que sa valeur ne dépasse pas un seuil réel t. Quelle expression de la fonction de répartition doit-elle utiliser ?

12. Une fonction candidate à une fonction de répartition est croissante et tend vers 0 à gauche et 1 à droite, mais présente une discontinuité vers la droite en un point. Quelle propriété générale lui manque-t-il ?

13. Une variable aléatoire Y prend ses valeurs dans l’ensemble dénombrable {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\}{1,2,3,…}. Quelle description convient à Y et à sa fonction de répartition ?

14. Une variable discrète Z prend les valeurs distinctes 0, 2 et 5 avec probabilités respectives 0,20{,}20,2, 0,50{,}50,5 et 0,30{,}30,3. Quelle formule donne la probabilité que Z appartienne à {2,5}\{2,5\}{2,5} ?

15. Une variable discrète prend les valeurs 1, 3 et 5 avec les probabilités respectives 0,2, 0,5 et 0,3. Quel calcul applique la règle de pondération pour obtenir son espérance ?

16. Sept personnes mangent respectivement 2, 2, 2, 4, 6, 7 et 12 parts de pizza. Quelle valeur correspond à la moyenne arithmétique, plutôt qu’au mode, à la médiane ou au milieu de l’étendue ?

17. Une variable discrète XXX vaut 0, 2 ou 4 avec des probabilités respectives de 0,1, 0,6 et 0,3. Quelle est son espérance ?

18. Une variable XXX vaut 1 ou 3, avec une probabilité de 1/2 pour chaque valeur. Pour ϕ(x)=x2\phi(x)=x^2ϕ(x)=x2, quelle est la valeur de E(ϕ(X))E(\phi(X))E(ϕ(X)) ?

19. Pour une variable XXX, on sait que E(ϕ(X))=4E(\phi(X))=4E(ϕ(X))=4 et E(φ(X))=1E(\varphi(X))=1E(φ(X))=1. Quelle valeur obtient-on pour E[2ϕ(X)−3φ(X)]E[2\phi(X)-3\varphi(X)]E[2ϕ(X)−3φ(X)] ?

20. Pour les données ordonnées 3, 5, 8, 10, 12, 14, 18, avec Q1=5Q_1=5Q1​=5 et Q3=14Q_3=14Q3​=14, quelle paire donne l’étendue puis l’écart interquartile ?

21. Une variable discrète prend les valeurs 0, 2 et 5 avec les probabilités respectives 0,2, 0,5 et 0,3, et son espérance vaut 2,5. Quelle expression donne sa variance ?

22. Une transformation d’une variable aléatoire est définie par Y=−3X+4Y=-3X+4Y=−3X+4. Si V(X)=2V(X)=2V(X)=2, quelle est la variance de YYY ?

23. Pour une variable discrète XXX, on calcule E(X2)=13E(X^2)=13E(X2)=13 et E(X)=3E(X)=3E(X)=3. Quelle valeur obtient-on pour V(X)V(X)V(X) avec la formule faisant intervenir ces deux espérances ?

24. Une urne contient 20 boules, dont 6 portent une marque. On en tire simultanément 5 sans les remettre, et XXX compte les boules marquées. Quel modèle décrit XXX ?

25. Un centre d’appels modélise le nombre d’appels très rares reçus par tranche de temps. Le taux moyen reste positif et ne dépend pas du temps écoulé depuis l’appel précédent. Quel modèle convient ?

26. Le nombre d’incidents par jour dans un système suit une loi de Poisson de paramètre λ=3\lambda=3λ=3. Quelle paire donne son espérance et sa variance ?

27. Une expérience consiste à répéter des essais indépendants jusqu’au premier succès. Quelle variable décrit le nombre d’essais effectués ?

28. La probabilité de succès à chaque essai indépendant est p=0,3p=0{,}3p=0,3. Quelle est la probabilité que le premier succès survienne au quatrième essai ?

29. Le nombre d’essais jusqu’au premier succès suit une loi géométrique de paramètre p=0,25p=0{,}25p=0,25. Quelle est sa moyenne et sa variance ?

30. On répète des essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès p=0,4p=0{,}4p=0,4. Quelle probabilité la loi binomiale négative attribue-t-elle à l’obtention du deuxième succès au troisième essai ?

31. La fonction de répartition d’une variable continue est dérivable en x=2x=2x=2 et vérifie F(x)=x2/8F(x)=x^2/8F(x)=x2/8 dans un voisinage de ce point. Quelle est la densité en x=2x=2x=2 ?

32. Une variable continue XXX a pour densité fff et son espérance existe. Quelle intégrale permet de calculer E(X)E(X)E(X) ?

33. Pour une variable continue XXX de densité fff et d’espérance existante, quelle expression calcule sa variance ?

34. Pour une variable continue XXX, on cherche le quantile d’ordre 0,80{,}80,8. Quelle équation doit satisfaire ce quantile x0,8x_{0{,}8}x0,8​ ?

35. Une variable continue non négative XXX a pour support [2,7)[2,7)[2,7). Quelle formule permet de calculer son espérance à partir de sa fonction de répartition FFF ?

36. Une variable aléatoire non négative représente le gain quotidien d’une entreprise. Si son espérance est de 120 euros, quelle borne supérieure l’inégalité de Markov donne-t-elle pour la probabilité que le gain atteigne au moins 300 euros ?

37. La durée d’un retard a une moyenne de 10 minutes et un écart-type de 3 minutes. Quelle borne supérieure l’inégalité de Tchebychev fournit-elle pour la probabilité que le retard s’écarte de la moyenne d’au moins 6 minutes ?

38. Pour une perte de 900 euros et une franchise de 250 euros, quel paiement l’assureur verse-t-il selon la règle de franchise ?

39. Un contrat plafonne le paiement à 700 euros. Pour une perte de 950 euros, quel montant est versé ?

40. Un contrat prévoit une franchise de 200 euros et un plafond de paiement de 800 euros. Pour une perte de 1 300 euros, quel est le paiement plafonné ?

41. Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle [2,8][2,8][2,8]. Quelle forme sa densité prend-elle sur cet intervalle et en dehors ?

42. La durée XXX d’un événement suit une loi uniforme sur [4,10][4,10][4,10]. Quelle est sa variance ?

43. Un temps d’attente XXX suit une loi exponentielle de paramètre θ=2\theta=2θ=2 par minute. Quelle est la probabilité que l’attente dépasse une minute ?

44. Une mesure XXX suit une loi normale de moyenne 505050 et d’écart-type 444. Quelle variable centrée réduite obtient-on en posant Z=(X−50)/4Z=(X-50)/4Z=(X−50)/4 ?

45. Une table donne les probabilités conjointes de toutes les paires de valeurs possibles de deux variables discrètes XXX et YYY. Quelle propriété doit satisfaire cette table pour représenter une distribution conjointe ?

46. Dans une table conjointe, la ligne correspondant à X=1X=1X=1 contient les probabilités 0.200.200.20, 0.150.150.15 et 0.050.050.05 pour les trois valeurs possibles de YYY. Quelle est la probabilité marginale pX(1)p_X(1)pX​(1) ?

47. Dans une table de probabilités conjointes, on a p(X=2,Y=1)=0.12p(X=2,Y=1)=0.12p(X=2,Y=1)=0.12 et pY(1)=0.30p_Y(1)=0.30pY​(1)=0.30. Quelle est la probabilité conditionnelle P(X=2∣Y=1)P(X=2\mid Y=1)P(X=2∣Y=1) ?

48. Deux variables discrètes XXX et YYY ont une covariance nulle. Quelle conclusion peut-on tirer au sujet de leur indépendance ?

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Crée tes propres QCM

2. Dans une expérience dont l’espace échantillonnal est $\Omega=\{a,b,c,d\}$ , quelle représentation convient à un événement ?

5. Dans une expérience, $P(B)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ ?

6. Une branche d’un arbre comporte d’abord un événement $B$ de probabilité $0{,}5$ , puis $A$ sachant $B$ de probabilité $0{,}3$ . Quelle est la probabilité de leur intersection ?

7. Un produit provient de l’usine $A_1$ avec probabilité $0{,}6$ ou de l’usine $A_2$ avec probabilité $0{,}4$ . Les taux de défaut sont respectivement $0{,}02$ et $0{,}05$ . Quelle est la probabilité qu’un produit pris au hasard soit défectueux ?

8. Deux événements ont chacun une probabilité positive et vérifient $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Quelle conclusion s’applique ?

13. Une variable aléatoire Y prend ses valeurs dans l’ensemble dénombrable $\{1,2,3,\ldots\}$ . Quelle description convient à Y et à sa fonction de répartition ?

14. Une variable discrète Z prend les valeurs distinctes 0, 2 et 5 avec probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Quelle formule donne la probabilité que Z appartienne à $\{2,5\}$ ?

17. Une variable discrète $X$ vaut 0, 2 ou 4 avec des probabilités respectives de 0,1, 0,6 et 0,3. Quelle est son espérance ?

18. Une variable $X$ vaut 1 ou 3, avec une probabilité de 1/2 pour chaque valeur. Pour $\phi(x)=x^2$ , quelle est la valeur de $E(\phi(X))$ ?

19. Pour une variable $X$ , on sait que $E(\phi(X))=4$ et $E(\varphi(X))=1$ . Quelle valeur obtient-on pour $E[2\phi(X)-3\varphi(X)]$ ?

20. Pour les données ordonnées 3, 5, 8, 10, 12, 14, 18, avec $Q_1=5$ et $Q_3=14$ , quelle paire donne l’étendue puis l’écart interquartile ?

22. Une transformation d’une variable aléatoire est définie par $Y=-3X+4$ . Si $V(X)=2$ , quelle est la variance de $Y$ ?

23. Pour une variable discrète $X$ , on calcule $E(X^2)=13$ et $E(X)=3$ . Quelle valeur obtient-on pour $V(X)$ avec la formule faisant intervenir ces deux espérances ?

24. Une urne contient 20 boules, dont 6 portent une marque. On en tire simultanément 5 sans les remettre, et $X$ compte les boules marquées. Quel modèle décrit $X$ ?

26. Le nombre d’incidents par jour dans un système suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$ . Quelle paire donne son espérance et sa variance ?

28. La probabilité de succès à chaque essai indépendant est $p=0{,}3$ . Quelle est la probabilité que le premier succès survienne au quatrième essai ?

29. Le nombre d’essais jusqu’au premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p=0{,}25$ . Quelle est sa moyenne et sa variance ?

30. On répète des essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès $p=0{,}4$ . Quelle probabilité la loi binomiale négative attribue-t-elle à l’obtention du deuxième succès au troisième essai ?

31. La fonction de répartition d’une variable continue est dérivable en $x=2$ et vérifie $F(x)=x^2/8$ dans un voisinage de ce point. Quelle est la densité en $x=2$ ?

32. Une variable continue $X$ a pour densité $f$ et son espérance existe. Quelle intégrale permet de calculer $E(X)$ ?

33. Pour une variable continue $X$ de densité $f$ et d’espérance existante, quelle expression calcule sa variance ?

34. Pour une variable continue $X$ , on cherche le quantile d’ordre $0{,}8$ . Quelle équation doit satisfaire ce quantile $x_{0{,}8}$ ?

35. Une variable continue non négative $X$ a pour support $[2,7)$ . Quelle formule permet de calculer son espérance à partir de sa fonction de répartition $F$ ?

41. Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle $[2,8]$ . Quelle forme sa densité prend-elle sur cet intervalle et en dehors ?

42. La durée $X$ d’un événement suit une loi uniforme sur $[4,10]$ . Quelle est sa variance ?

43. Un temps d’attente $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\theta=2$ par minute. Quelle est la probabilité que l’attente dépasse une minute ?

44. Une mesure $X$ suit une loi normale de moyenne $50$ et d’écart-type $4$ . Quelle variable centrée réduite obtient-on en posant $Z=(X-50)/4$ ?

45. Une table donne les probabilités conjointes de toutes les paires de valeurs possibles de deux variables discrètes $X$ et $Y$ . Quelle propriété doit satisfaire cette table pour représenter une distribution conjointe ?

46. Dans une table conjointe, la ligne correspondant à $X=1$ contient les probabilités $0.20$ , $0.15$ et $0.05$ pour les trois valeurs possibles de $Y$ . Quelle est la probabilité marginale $p_X(1)$ ?

47. Dans une table de probabilités conjointes, on a $p(X=2,Y=1)=0.12$ et $p_Y(1)=0.30$ . Quelle est la probabilité conditionnelle $P(X=2\mid Y=1)$ ?

48. Deux variables discrètes $X$ et $Y$ ont une covariance nulle. Quelle conclusion peut-on tirer au sujet de leur indépendance ?