Fiche de révision : Risk & Uncertainty - Français

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et dénombrement
2. Probabilités conditionnelles et indépendance
3. Variables aléatoires et fonctions de répartition
4. Variables aléatoires discrètes
5. Espérance d’une variable discrète
6. Espérance et mesures de tendance centrale
7. Dispersion et standardisation
8. Loi hypergéométrique et loi de Poisson
9. Lois géométrique et binomiale négative
10. Variables aléatoires continues
11. Espérance et variance continues
12. Quantiles et espérance continue
13. Inégalités de concentration
14. Paiements d’assurance plafonnés
15. Lois continues usuelles
16. Distributions bivariées et dépendance

📖 1. Ensembles et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace échantillonnal : Ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience probabiliste.
• Événement : Sous-ensemble de l’espace échantillonnal Ω.
• Mesure de probabilité : Une mesure de probabilité P sur les événements vérifie P(Ω)=1 et l’additivité dénombrable sur les familles d’événements deux à deux disjoints.
• Partition : Une famille de sous-ensembles de Ω est une partition de Ω si leur union vaut Ω et si deux ensembles distincts de la famille sont disjoints.
• Complémentaire : Le complémentaire Aᶜ d’un événement A contient les résultats de Ω qui n’appartiennent pas à A.
• Cardinalité : Nombre d’éléments d’un ensemble fini A.

★ À maîtriser

📌 Si A et B sont disjoints et ont respectivement m et n éléments, alors leur union a m+n éléments.

📐 Formule - Pour des ensembles finis, $\operatorname{Card}(A_1\times\cdots\times A_r)=\prod_{j=1}^{r}\operatorname{Card}(A_j).$

📐 Formule - Le nombre de tirages ordonnés de k objets distincts parmi n, sans remise, est $\frac{n!}{(n-k)!}$.

📐 Formule - Le nombre de tirages non ordonnés de k objets parmi n, sans remise, est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

• Pour une mesure de probabilité, P(∅)=0, P(Aᶜ)=1−P(A), A⊆B implique P(A)≤P(B), et P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

📐 Formule - Si Ω est fini et tous ses résultats sont équiprobables, alors $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

Compléments

📌 Dans la notation d’un tirage, les accolades indiquent que l’ordre ne compte pas, tandis que les parenthèses indiquent que l’ordre compte.

• Pour des ensembles A et B, A\B contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

• Les lois de De Morgan donnent (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ et (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.

📐 Formule - La factorielle d’un entier n≥1 est $n!=n(n-1)\cdots1$ et, par convention, $0!=1$.

📖 2. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(B)>0, la probabilité conditionnelle de A sachant B est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B) ; si leurs probabilités sont positives, cela équivaut à P(A|B)=P(A) et P(B|A)=P(B).
• Indépendance mutuelle : Les événements A₁,…,Aₙ sont mutuellement indépendants si, pour tout sous-ensemble non vide J des indices, $P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\prod_{j\in J}P(A_j)$.
• Indépendance conditionnelle : A et B sont conditionnellement indépendants sachant C, avec P(C)>0, si $P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La règle multiplicative donne $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ et, pour trois événements, $P(A\cap B\cap C)=P(A\mid B\cap C)P(B\mid C)P(C)$.

📐 Formule - Si A₁,…,Aₙ forment une partition de Ω et P(Aᵢ)>0, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\mid A_i)P(A_i)$.

📐 Formule - Si A₁,…,Aₙ forment une partition de Ω, P(Aᵢ)>0 et P(B)>0, alors $P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B\mid A_j)P(A_j)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des événements non nécessairement indépendants, $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\prod_{k=2}^{n}P(A_k\mid A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})$.

💡 Astuce mémo

Une information conditionnelle modifie la probabilité ; Bayes permet de remonter de l’observation à sa cause.

📖 3. Variables aléatoires et fonctions de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Fonction de Ω vers ℝ définie sur un espace probabilisé (Ω,P).
• Loi de probabilité : La loi de probabilité de X associe à chaque ensemble E⊂ℝ la probabilité $P(X\in E)=P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in E\})$.

• Fonction de répartition : La fonction de répartition de X est définie, pour tout réel t, par $F(t)=P(X\le t)$.
• Image d’une variable aléatoire : L’image X(Ω) est l’ensemble des valeurs X(ω) prises par X lorsque ω parcourt Ω.
• Atome : Un réel x est un atome de la loi de X si P(X=x)>0.

★ À maîtriser

• Toute fonction de répartition est croissante, continue à droite, tend vers 0 lorsque t tend vers −∞ et tend vers 1 lorsque t tend vers +∞.

Compléments

📐 Formule - Pour a<b, $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ et $P(X=a)=F(a)-F(a^-)$, où F(a⁻) est la limite à gauche en a.

• Les points de discontinuité de la fonction de répartition sont exactement les atomes de la loi de X.

📖 4. Variables aléatoires discrètes

★ À maîtriser

📌 Une variable aléatoire est discrète si son image est finie ou dénombrable ; sa fonction de répartition est alors une fonction en escalier.

📐 Formule - Pour une variable discrète de valeurs distinctes xᵢ et de probabilités pᵢ=P(X=xᵢ), on a $\sum_i p_i=1$ et $P(X\in E)=\sum_{x_i\in E}p_i$.

Compléments

• Si X est le maximum de deux tirages ordonnés sans remise parmi les boules 1, 2 et 3, alors P(X=2)=1/3 et P(X=3)=2/3.

• Pour une variable discrète, chaque saut de la fonction de répartition en x a pour taille P(X=x), et les points de saut sont les valeurs de probabilité strictement positive.

📖 5. Espérance d’une variable discrète

📝 Points essentiels

• Dans le calcul de l’espérance, chaque valeur xᵢ de X est pondérée par sa probabilité pᵢ.

📌 Le mot « moyenne » peut désigner le mode, la médiane, le milieu de l’étendue ou la moyenne arithmétique ; pour les sept nains mangeant respectivement 2, 2, 2, 4, 6, 7 et 12 parts de pizza, ces valeurs sont 2, 4, 7 et 5.

📖 6. Espérance et mesures de tendance centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Un réel m tel que P(X≤m)≥1/2 et P(X≥m)≥1/2.
• Mode : La valeur x_i pour laquelle P(X=x_i) est maximale.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire discrète X d’image {x_i} et de probabilités p_i, son espérance vaut $E(X)=\sum_i x_i p_i$ lorsqu’elle existe.

📐 Formule - Pour une variable discrète X et une fonction ϕ, $E(\phi(X))=\sum_i \phi(x_i)p_i$ lorsqu’elle existe.

📐 Formule - Pour des réels a et b et des fonctions ϕ et φ, $E[a\phi(X)+b\varphi(X)]=aE[\phi(X)]+bE[\varphi(X)]$.

• Pour n données ordonnées x₁≤…≤xₙ, l’étendue est $x_n-x_1$ et l’écart interquartile est $Q_3-Q_1$.

Compléments

• Pour une pièce équilibrée, si X vaut 1 pour pile et 0 pour face, alors $E(X)=\frac{1}{2}$.

• Si X est le maximum de deux boules avec probabilités 1/3 pour 2 et 2/3 pour 3, alors $E(X)=\frac{8}{3}$.

📐 Formule - Si X est constamment égale à c, alors $E(X)=c$.

• Dans le paradoxe de Saint-Pétersbourg, le gain vaut 2^n lorsque le premier pile apparaît au nᵉ lancer, avec probabilité 1/2^n, et son espérance est infinie.

• Si X vaut 2 avec probabilité 1/3 et 3 avec probabilité 2/3, alors pour ϕ(x)=x³, $E(\phi(X))=\frac{62}{3}$.

• Pour n données ordonnées, la médiane est la valeur centrale si n est impair et la moyenne des deux valeurs centrales si n est pair.

📐 Formule - Pour n données ordonnées, le milieu de l’étendue vaut $\frac{x_1+x_n}{2}$.

📐 Formule - Dans une série de n données ordonnées, x_i correspond au percentile $\frac{100i}{n+1}$ ; en l’absence de correspondance exacte, une interpolation linéaire est utilisée.

• Les quartiles Q₁, Q₂, Q₃ et Q₄ correspondent respectivement aux 25ᵉ, 50ᵉ, 75ᵉ et 100ᵉ percentiles, et Q₂ est la médiane.

📖 7. Dispersion et standardisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance d’une variable discrète X est $V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2p_i$ lorsqu’elle existe.
• Écart-type : L’écart-type d’une variable aléatoire est la racine carrée de sa variance, soit $\sigma_X=\sqrt{V(X)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance vérifie $V(X)\geq 0$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

📐 Formule - Pour des réels a et b, $V(aX+b)=a^2V(X)$.

Compléments

📐 Formule - La standardisation de X est $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ ; Z a une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

• Un point de données est conventionnellement une valeur aberrante si son score z est inférieur à −3 ou supérieur à 3.

📖 8. Loi hypergéométrique et loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi hypergéométrique : La loi hypergéométrique modélise le nombre de succès parmi n boules tirées simultanément sans remise dans une urne de N boules dont m possèdent la caractéristique étudiée ; on note X∼H(N,n,m).
• Loi de Poisson : La loi de Poisson modélise le nombre d’occurrences d’un événement aléatoire rare sur un intervalle, lorsque le taux moyen λ est positif et indépendant du temps écoulé depuis la dernière occurrence ; on note X∼P(λ).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour 0≤k≤min(n,m), une variable X∼H(N,n,m) vérifie $P(X=k)=\frac{\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.

📐 Formule - Pour X∼H(N,n,m), $E(X)=n\frac{m}{N}$ et $V(X)=n\frac{m}{N}\left(1-\frac{m}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$.

📐 Formule - Pour X∼P(λ), $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ pour k entier naturel.

📐 Formule - Pour une variable X∼P(λ), $E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$.

Compléments

• Lorsque N tend vers l’infini et que m/N reste égal à p, la loi hypergéométrique converge vers la loi binomiale B(n,p).

💡 Astuce mémo

Hypergéométrique : tirages sans remise ; Poisson : comptage d’événements rares.

📖 9. Lois géométrique et binomiale négative

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi géométrique : La loi géométrique de paramètre p modélise le nombre d’essais indépendants et successifs jusqu’au premier succès ; on note X∼G(p), avec X prenant ses valeurs dans les entiers positifs.
• Loi binomiale négative : La loi binomiale négative de paramètres r et p modélise le nombre d’essais indépendants et successifs jusqu’à l’obtention de r succès ; on note X∼NB(r,p), avec X≥r.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour X∼G(p) et k≥1, $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$.

📐 Formule - Pour X∼G(p), $E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$.

📐 Formule - Pour X∼NB(r,p) et k≥r, $P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$.

📖 10. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Une variable aléatoire X est continue si elle possède une densité f telle que, pour tout ensemble E de réels, $P(X\in E)=\int_E f(x)\,dx$.
• Densité : Une densité f est une fonction positive ou nulle sur ℝ dont l’intégrale sur ℝ vaut 1.

★ À maîtriser

• Pour une variable continue, la fonction de répartition est continue et chaque valeur ponctuelle a une probabilité nulle.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable continue, $P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a)$.

📐 Formule - Lorsque F est dérivable en x, la densité vérifie $f(x)=F'(x)$.

📖 11. Espérance et variance continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance continue : La variance d’une variable continue X de densité f est $V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)\,dx$ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable continue X de densité f, $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx$ lorsqu’elle existe.

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction ϕ, $E(\phi(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)f(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour une variable continue, $V(X)\geq0$, $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.

📖 12. Quantiles et espérance continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Point tel que F(x_p)=p, soit P(X≤x_p)=p.
• Médiane : La médiane m d’une variable aléatoire continue vérifie F(m)=1/2, soit P(X≤m)=1/2.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire X≥0 de support [a,b), avec a≥0, l’espérance vérifie $E(X)=a+\int_a^b[1-F(t)]\,dt.$

Compléments

• Pour la densité f(x)=20x^3(1−x) sur [0,1], la fonction de répartition est F(x)=5x^4−4x^5 et E(X)=2/3 ; la médiane est déterminée par F(m)=1/2.

📖 13. Inégalités de concentration

★ À maîtriser

📐 Formule - Si X≥0 et a>0, l’inégalité de Markov donne $P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a}.$

📐 Formule - Pour une variable aléatoire X d’espérance μ et de variance σ², l’inégalité de Tchebychev donne, pour k>0, $P(|X-\mu|\ge k)\le\frac{\sigma^2}{k^2},$ et, pour c>0, $P(|X-\mu|\ge c\sigma)\le\frac{1}{c^2}.$

Compléments

• La borne de Markov ne nécessite que l’espérance de X et ne requiert ni sa distribution ni sa densité.

• L’inégalité de Tchebychev borne une probabilité bilatérale d’écart à la moyenne à partir de la moyenne et de la variance.

• Si une perte X vérifie E(X)=100 et V(X)=400, alors P(X≥160)≤P(|X−100|≥60)≤400/60²=1/9≈0,111, tandis que Markov donne seulement P(X≥160)≤100/160≈0,625.

💡 Astuce mémo

Seule la moyenne donne une borne de Markov ; moyenne et variance donnent une borne bilatérale de Tchebychev.

📖 14. Paiements d’assurance plafonnés

🔑 Notions clés & Définitions

• Franchise : Pour une perte X et une franchise d, le paiement Y_d=max(X−d,0) est nul si X<d et vaut X−d si X≥d.
• Plafond : Pour une perte X et un plafond c, le paiement plafonné est Y^c=min(X,c) : il vaut X lorsque X<c et c lorsque X≥c.

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec une franchise d et un plafond c tels que a≤d<c≤b, le paiement est $Y_d^c=\min\{(X-d)^+,c-d\}=(X-d)^+-(X-c)^+,$ donc $E(Y_d^c)=E[(X-d)^+]-E[(X-c)^+].$

Compléments

📐 Formule - Pour une perte X de support [a,b], le paiement avec franchise d a pour espérance $E(Y_d)=\int_d^b(x-d)f_X(x)\,dx=\int_d^b[1-F_X(x)]\,dx.$

📐 Formule - Pour une perte X de support [a,b], l’espérance du paiement plafonné vérifie $E(Y^c)=\int_a^c xf_X(x)\,dx+cP(X\ge c)=a+\int_a^c[1-F_X(x)]\,dx.$

💡 Astuce mémo

La franchise retranche une somme à la perte ; le plafond limite le paiement à une somme fixe.

📖 15. Lois continues usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme : Variable de densité 1/(b−a) sur [a,b] et 0 ailleurs.
• Loi exponentielle : Variable de densité θe^(−θx) pour x>0 et 0 pour x≤0, modélisant le temps d’attente jusqu’à la prochaine occurrence d’un processus de Poisson de taux moyen θ par unité de temps.
• Loi normale : Une variable X suit la loi normale de moyenne μ et de variance σ², notée X∼N(μ,σ²) avec σ>0, si sa densité est $f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}.$

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X∼U([a,b]), $F(t)=\begin{cases}0&t\le a,\\(t-a)/(b-a)&a<t\le b,\\1&t>b,\end{cases}\quad E(X)=\frac{a+b}{2},\quad V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.$

📐 Formule - Pour X∼E(θ), $F(t)=\begin{cases}0&t\le0,\\1-e^{-\theta t}&t>0,\end{cases}\quad E(X)=\frac1\theta,\quad V(X)=\frac1{\theta^2}.$

📐 Formule - Pour X∼N(μ,σ²), $E(X)=\mu,\quad V(X)=\sigma^2,\quad Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0{,}1).$

• Si X∼Bi(n,p) avec n grand, on l’approche par Y∼N(np,np(1−p)) ; la correction de continuité donne P(a≤X≤b)≈P(a−1/2≤Y≤b+1/2), P(X≤b)≈P(Y≤b+1/2), P(X≥a)≈P(Y≥a−1/2) et P(X=a)≈P(a−1/2≤Y≤a+1/2).

Compléments

• Si X∼U([0,1]) et Y=a+(b−a)X, alors Y∼U([a,b]).

• La loi exponentielle est sans mémoire : pour s,t>0, P(X>t+s|X>t)=P(X>s).

• La fonction de répartition d’une loi normale ne s’exprime pas avec les fonctions usuelles ; les probabilités se calculent à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite N(0,1).

• Le théorème central limite indique que la somme d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et similaires peut être modélisée par une loi normale.

📖 16. Distributions bivariées et dépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution conjointe : Distribution des probabilités p(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j), positives ou nulles et dont la somme sur toutes les paires vaut 1.
• Indépendance : Deux variables discrètes X et Y sont indépendantes si, pour toute paire (x_i,y_j), p(x_i,y_j)=p_X(x_i)p_Y(y_j), ce qui équivaut à ce que la loi conditionnelle de chacune soit égale à sa loi marginale.
• Covariance : La covariance de variables X et Y de moyennes finies μ_X et μ_Y est Cov(X,Y)=E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)]=E(XY)−E(X)E(Y).
• Corrélation : Pour deux variables X et Y de variances finies non nulles, le coefficient de corrélation est $\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y},$ avec −1≤ρ≤1 ; si Y=aX+b, alors ρ=sgn(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - Les lois marginales d’une distribution conjointe discrète sont $p_X(x_i)=\sum_jp(x_i,y_j),\qquad p_Y(y_j)=\sum_ip(x_i,y_j).$

📐 Formule - La loi conditionnelle de X sachant Y=y_j est $p_X(x_i|y_j)=\frac{p(x_i,y_j)}{p_Y(y_j)},$ et la loi de Y sachant X=x_i se définit de façon analogue.

• L’indépendance de X et Y implique E(XY)=E(X)E(Y) et Cov(X,Y)=0, mais une covariance nulle n’implique pas l’indépendance.

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction f de deux variables discrètes, $E[f(X,Y)]=\sum_i\sum_j f(x_i,y_j)p(x_i,y_j).$

• La covariance vérifie Cov(X,X)=V(X), Cov(X,Y)=Cov(Y,X), elle est bilinéaire et Cov(X,aX+b)=aV(X).

📐 Formule - Pour deux variables X et Y de variances finies, $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y),$ et si elles sont indépendantes, $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y).$