Flashcards : Variables quantitatives réelles — 44 cartes

Ce sont des observations réelles représentées par un vecteur.

C'est une valeur typique résumant un ensemble d'observations au centre des données.

Pour tout réel u, $f(u^*) \leq f(u)$.

$C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$

La moyenne $\bar{x}$ minimise l'écart quadratique.

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

$C_2(u)=\lVert x-u\mathbf{1}\rVert^2$

Un vecteur de dimension $n$ avec toutes les coordonnées égales à 1.

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(u-\bar{x})^2$

C'est la i-ème observation après réordonnement croissant.

C'est $C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|$.

La valeur $x_{(k+1)}$ minimise l'écart absolu.

Toute valeur entre $x_{(k)}$ et $x_{(k+1)}$ le minimise.

La médiane vaut $m=x_{(k+1)}$.

Par convention, $m=\frac{x_{(k)}+x_{(k+1)}}{2}$.

La moyenne varie davantage avec les valeurs extrêmes.

La médiane est plus robuste aux valeurs extrêmes.

$\operatorname{mad}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-m|=\frac{1}{n}C_1(m)$

$\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}C_2(\bar{x})$

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

L'écart-type est homogène à la variable x.

Parce qu'elle utilise l'écart absolu autour de la médiane et non les carrés autour de la moyenne.

La moyenne vérifie $\bar{y} = a + b \bar{x}$.

La variance vérifie $\operatorname{var}(y) = b^2 \operatorname{var}(x)$.

La variance s’écrit $\operatorname{var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2$.

La variance s’écrit $\operatorname{var}(x) = \frac{1}{n} \lVert x - \bar{x} \mathbf{1} \rVert^2$.

$\delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{k}$.

On choisit $x_{\min} \leq x_{(1)}$ et $x_{\max} \geq x_{(n)}$.

$t_\ell = x_{\min} + \ell \delta$.

$n_\ell = |\{i : x_i \in [t_{\ell-1}; t_\ell[\}|$.

Pour rendre les petites valeurs plus visibles.

On calcule $y_i = \log_{10}(x_i)$.

C'est une valeur q_u vérifiant $\frac{|\{i:x_i\leq q_u\}|}{n}\leq u<\frac{|\{i:x_i\leq q_u\}|+1}{n}$ quand les observations sont distinctes.

Les quartiles sont les quantiles d'ordre 25 %, 50 % et 75 %.

Le quantile d'ordre 50 % est la médiane.

La définition simple n'est pas valable directement.

L'intervalle [x(⌊nu⌋), x(⌈nu⌉)] contient tous ces quantiles.

$q_u=x_{(\lfloor nu\rfloor)}+(nu-\lfloor nu\rfloor)(x_{(\lceil nu\rceil)}-x_{(\lfloor nu\rfloor)})$

Elle visualise les quantiles et la valeur centrale d'une distribution.

En général, $\bar{y} \neq \log_{10}(\bar{x})$.

On a $\operatorname{med}(y) = \log_{10}(\operatorname{med}(x))$.

La moyenne est 1 936,3 habitants.

La médiane est 546 162,5 habitants.

Ils sont 203, 468 et 1 184 pour 25 %, 50 % et 75 %.