QCM : Variables quantitatives réelles — 19 questions

Question 1

1. Quelle représentation décrit un ensemble de données quantitatives composé de $n$ observations réelles ?

Un nombre unique résumant la position centrale des observations

Une fonction

f

associant une fréquence à chaque valeur observée

Un vecteur

x=[x_1\ x_2\ \ldots\ x_n]^\top

regroupant les observations

Une suite de rangs classant les observations par ordre décroissant

Explication

Les données quantitatives sont l’ensemble des observations réelles $\{x_i\}_{1\leq i\leq n}$ , représentable par le vecteur indiqué. Une valeur centrale, en revanche, constitue un résumé numérique et non la représentation de toutes les observations.

Answer

Un vecteur $$x=[x_1\ x_2\ \ldots\ x_n]^\top$$ regroupant les observations

Question 2

2. Quel est le rôle d’une valeur centrale dans un ensemble d’observations ?

Résumer les données par une valeur typique située vers leur centre

Mesurer la dispersion des observations autour de leur centre

Réordonner les observations selon des valeurs croissantes

Remplacer chaque observation par son écart à la moyenne

Explication

Une valeur centrale résume un ensemble d’observations par une valeur typique située au centre selon un critère de centralité. La dispersion et le réordonnement correspondent à d’autres opérations statistiques.

Answer

Résumer les données par une valeur typique située vers leur centre

Question 3

3. Pour un ensemble d’observations $x_1,\ldots,x_n$ , quelle expression définit l’écart quadratique à une valeur $u$ ?

C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2

C_2(u)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2

C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i+u)^2

C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|

Explication

L’écart quadratique additionne les carrés des écarts entre chaque observation et $u$ . La somme des valeurs absolues définit l’écart absolu, tandis que la division par $n$ n’appartient pas à cette définition.

Answer

$$C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$$

Question 4

4. Quelle valeur minimise l’écart quadratique $C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$ ?

La médiane des observations réordonnées

Le milieu entre les deux observations centrales

La plus petite observation de l’ensemble

La moyenne

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

Explication

La moyenne est la valeur qui minimise la somme des écarts quadratiques. La médiane minimise plutôt l’écart absolu, et les autres valeurs proposées ne possèdent pas cette propriété générale.

Answer

La moyenne $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

Question 5

5. Que désigne la statistique d’ordre $x_{(i)}$ ?

La

i

-ème observation après classement croissant des données

La moyenne des

i

premières observations classées

La

i

-ème observation dans l’ordre initial de collecte

L’écart entre la

i

-ème et la dernière observation

Explication

La statistique d’ordre $x_{(i)}$ est l’observation située au rang $i$ après réordonnement croissant. La notation $x_i$ désigne plutôt l’observation dans l’ordre initial, sans classement préalable.

Answer

La $$i$$-ème observation après classement croissant des données

Question 6

6. Quelle expression définit l’écart absolu d’un ensemble d’observations par rapport à une valeur $u$ ?

C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i+u|

C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|

C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2

C_1(u)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|

Explication

L’écart absolu est la somme des distances absolues entre les observations et $u$ . La somme des carrés correspond à l’écart quadratique, tandis que la moyenne des distances serait une version normalisée différente.

Answer

$$C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|$$

Question 7

7. Pour $n=2k+1$ observations classées par ordre croissant, quelle valeur minimise l’écart absolu ?

Toute valeur située entre

x_{(k)}

et

x_{(k+1)}

La moyenne arithmétique des

2k+1

observations

La statistique d’ordre

x_{(k+1)}

La statistique d’ordre

x_{(k)}

Explication

Lorsque le nombre d’observations est impair, la statistique d’ordre centrale $x_{(k+1)}$ minimise l’écart absolu. L’intervalle de minimisation concerne le cas pair, et la moyenne est liée à l’écart quadratique.

Answer

La statistique d’ordre $$x_{(k+1)}$$

Question 8

8. Quelle distinction décrit correctement la sensibilité de la moyenne et de la médiane aux valeurs extrêmes ?

La moyenne est davantage modifiée, tandis que la médiane leur résiste davantage

La moyenne et la médiane ignorent les valeurs extrêmes dans leur calcul

Les deux statistiques réagissent de manière identique aux valeurs extrêmes

La médiane est davantage modifiée, tandis que la moyenne leur résiste davantage

Explication

Une valeur extrême influence davantage la moyenne que la médiane, ce qui rend cette dernière plus robuste dans ce contexte. La médiane n’ignore toutefois pas les données : elle dépend de leur position dans l’ordre croissant.

Answer

La moyenne est davantage modifiée, tandis que la médiane leur résiste davantage

Question 9

9. Quelle expression définit la déviation absolue médiane pour une série de valeurs $x_i$ , de médiane $m$ et d’effectif $n$ ?

\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-m|

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|

Explication

La déviation absolue médiane calcule les écarts absolus des observations par rapport à la médiane, puis en prend la moyenne. La variance utilise au contraire les carrés des écarts autour de la moyenne.

Answer

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-m|$$

Question 10

10. Une variance est égale à $25\ \text{unités}^2$ . Quelle est la valeur de l’écart-type dans l’unité initiale de la variable ?

25\ \text{unités}

12{,}5\ \text{unités}

625\ \text{unités}

5\ \text{unités}

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance, donc $\sqrt{25}=5$ dans l’unité initiale. La valeur $25$ reste exprimée en unités carrées lorsqu’elle désigne la variance.

Answer

$$5\ \text{unités}$$

Question 11

11. Pourquoi la MAD est-elle généralement plus robuste que l’écart-type en présence d’une valeur extrême ?

Elle utilise des carrés autour de la médiane, ce qui amplifie moins les grandes distances.

Elle utilise des écarts absolus autour de la médiane, moins sensibles aux valeurs extrêmes.

Elle ignore les observations éloignées afin de préserver la dispersion du groupe principal.

Elle utilise des écarts absolus autour de la moyenne, qui reste stable face aux valeurs extrêmes.

Explication

La MAD s’appuie sur les écarts absolus autour de la médiane, ce qui limite l’influence d’une observation très éloignée. L’écart-type repose sur des carrés autour de la moyenne, lesquels amplifient les grandes distances.

Answer

Elle utilise des écarts absolus autour de la médiane, moins sensibles aux valeurs extrêmes.

Question 12

12. Des données sont transformées selon $y_i=3+2x_i$ . Comment la moyenne se transforme-t-elle ?

\bar{y}=2+3\bar{x}

\bar{y}=\bar{x}+3+2

\bar{y}=3+2\bar{x}

\bar{y}=3\bar{x}+2^2

Explication

Une transformation affine $y_i=a+bx_i$ donne $\bar{y}=a+b\bar{x}$ ; ici, cela conduit à $3+2\bar{x}$ . Le coefficient multiplicatif conserve donc sa place devant la moyenne et le terme constant s’y ajoute.

Answer

$$\bar{y}=3+2\bar{x}$$

Question 13

13. Des données vérifient $y_i=4-3x_i$ et ont une variance $\operatorname{var}(x)=2$ . Quelle est la variance de $y$ ?

6

8

18

-6

Explication

Pour une transformation affine, la variance est multipliée par le carré du coefficient de transformation : $\operatorname{var}(y)=(-3)^2\times2=18$ . Le terme constant $4$ ne modifie pas la variance, contrairement au facteur d’échelle.

Answer

$$\delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{k}$$

Answer

On compte les valeurs $$x_i$$ qui vérifient $$t_{\ell-1}\le x_i<t_\ell$$.

Answer

Une valeur laissant environ 10 % des données à sa gauche

Answer

25 %, 50 % et 75 %

Answer

Des indicateurs résumés de la distribution, notamment les quantiles et la valeur centrale

Answer

La médiane vérifie $$\operatorname{med}(y)=\log_{10}(\operatorname{med}(x))$$, mais la moyenne n’obéit pas en général à cette égalité

Question 14

14. Pour construire un histogramme régulier avec $k$ intervalles entre $x_{\min}$ et $x_{\max}$ , quelle largeur d’intervalle faut-il choisir ?

\delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{k}

\delta=k(x_{\max}-x_{\min})

\delta=\frac{k}{x_{\max}-x_{\min}}

\delta=\frac{x_{\max}+x_{\min}}{k}

Explication

La largeur régulière répartit l’étendue $x_{\max}-x_{\min}$ en $k$ intervalles égaux, d’où $\delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{k}$ . Additionner les bornes ou multiplier par $k$ ne mesure pas cette répartition.

Question 15

15. Dans un histogramme, comment détermine-t-on l’effectif de l’intervalle $[t_{\ell-1};t_\ell[$ ?

On compte les valeurs

x_i

qui vérifient

t_{\ell-1}\le x_i<t_\ell

.

On compte les valeurs

x_i

qui vérifient

t_{\ell-1}<x_i\le t_\ell

.

On additionne les valeurs

x_i

situées entre les deux seuils.

On divise l’effectif total par la largeur

t_\ell-t_{\ell-1}

.

Explication

L’effectif est le cardinal de l’ensemble des observations appartenant à l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite. La borne $t_\ell$ n’est donc pas incluse, et un effectif ne se calcule pas en additionnant les valeurs elles-mêmes.

Question 16

16. Que représente le quantile d’ordre 0,1 dans une série d’observations toutes distinctes ?

Une valeur laissant environ 25 % des données à sa gauche

Une valeur laissant environ 75 % des données à sa gauche

Une valeur laissant environ 50 % des données à sa gauche

Une valeur laissant environ 10 % des données à sa gauche

Explication

Le quantile d’ordre 0,1 correspond au seuil associé à 10 % des observations situées à sa gauche. Le quantile d’ordre 0,5, lui, correspond à la médiane et non au quantile demandé ici.

Question 17

17. Quels ordres de quantiles correspondent aux trois quartiles usuels ?

20 %, 40 % et 60 %

10 %, 50 % et 90 %

25 %, 50 % et 75 %

30 %, 50 % et 70 %

Explication

Les quartiles usuels sont les quantiles d’ordres 25 %, 50 % et 75 %, le deuxième étant la médiane. Les ordres 10 %, 50 % et 90 % correspondent plutôt à des quantiles déciles ou extrêmes, pas aux trois quartiles.

Question 18

18. Quel type d’information une boîte à moustaches permet-il principalement de visualiser ?

L’évolution temporelle d’une série à partir de mesures successives

La relation entre deux variables mesurées sur les mêmes individus

La répartition détaillée des observations dans des intervalles de même largeur

Des indicateurs résumés de la distribution, notamment les quantiles et la valeur centrale

Explication

La boîte à moustaches synthétise la distribution grâce à des indicateurs comme les quantiles et la valeur centrale. La répartition des observations par intervalles relève plutôt de l’histogramme.

Question 19

19. Pour une transformation logarithmique $y_i=\log_{10}(x_i)$ , quelle relation est généralement correcte ?

La médiane vérifie

\operatorname{med}(y)=\log_{10}(\operatorname{med}(x))

, mais la moyenne n’obéit pas en général à cette égalité

La moyenne et la médiane vérifient toutes deux la même relation logarithmique avec leurs valeurs originales

La moyenne vérifie

\bar y=\log_{10}(\bar x)

, tandis que la médiane n’est pas liée aux valeurs originales

La médiane devient égale à la moyenne après transformation logarithmique des observations

Explication

Le logarithme conserve la relation entre médiane et transformation, tandis que la moyenne ne se transforme généralement pas par simple application du logarithme. La transformation logarithmique ne rend pas pour autant la moyenne et la médiane égales.

QCM : Variables quantitatives réelles — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle représentation décrit un ensemble de données quantitatives composé de $n$ observations réelles ?

2. Quel est le rôle d’une valeur centrale dans un ensemble d’observations ?

3. Pour un ensemble d’observations $x_1,\ldots,x_n$ , quelle expression définit l’écart quadratique à une valeur $u$ ?

4. Quelle valeur minimise l’écart quadratique $C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$ ?

5. Que désigne la statistique d’ordre $x_{(i)}$ ?

6. Quelle expression définit l’écart absolu d’un ensemble d’observations par rapport à une valeur $u$ ?

7. Pour $n=2k+1$ observations classées par ordre croissant, quelle valeur minimise l’écart absolu ?

8. Quelle distinction décrit correctement la sensibilité de la moyenne et de la médiane aux valeurs extrêmes ?

9. Quelle expression définit la déviation absolue médiane pour une série de valeurs $x_i$ , de médiane $m$ et d’effectif $n$ ?

10. Une variance est égale à $25\ \text{unités}^2$ . Quelle est la valeur de l’écart-type dans l’unité initiale de la variable ?

11. Pourquoi la MAD est-elle généralement plus robuste que l’écart-type en présence d’une valeur extrême ?

12. Des données sont transformées selon $y_i=3+2x_i$ . Comment la moyenne se transforme-t-elle ?

13. Des données vérifient $y_i=4-3x_i$ et ont une variance $\operatorname{var}(x)=2$ . Quelle est la variance de $y$ ?

14. Pour construire un histogramme régulier avec $k$ intervalles entre $x_{\min}$ et $x_{\max}$ , quelle largeur d’intervalle faut-il choisir ?

15. Dans un histogramme, comment détermine-t-on l’effectif de l’intervalle $[t_{\ell-1};t_\ell[$ ?

16. Que représente le quantile d’ordre 0,1 dans une série d’observations toutes distinctes ?

17. Quels ordres de quantiles correspondent aux trois quartiles usuels ?

18. Quel type d’information une boîte à moustaches permet-il principalement de visualiser ?

19. Pour une transformation logarithmique $y_i=\log_{10}(x_i)$ , quelle relation est généralement correcte ?

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QCM : Variables quantitatives réelles — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle représentation décrit un ensemble de données quantitatives composé de nnn observations réelles ?

2. Quel est le rôle d’une valeur centrale dans un ensemble d’observations ?

3. Pour un ensemble d’observations x1,…,xnx_1,\ldots,x_nx1​,…,xn​, quelle expression définit l’écart quadratique à une valeur uuu ?

4. Quelle valeur minimise l’écart quadratique C2(u)=∑i=1n(xi−u)2C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2C2​(u)=∑i=1n​(xi​−u)2 ?

5. Que désigne la statistique d’ordre x(i)x_{(i)}x(i)​ ?

6. Quelle expression définit l’écart absolu d’un ensemble d’observations par rapport à une valeur uuu ?

7. Pour n=2k+1n=2k+1n=2k+1 observations classées par ordre croissant, quelle valeur minimise l’écart absolu ?

8. Quelle distinction décrit correctement la sensibilité de la moyenne et de la médiane aux valeurs extrêmes ?

9. Quelle expression définit la déviation absolue médiane pour une série de valeurs xix_ixi​, de médiane mmm et d’effectif nnn ?

10. Une variance est égale à 25 uniteˊs225\ \text{unités}^225 uniteˊs2. Quelle est la valeur de l’écart-type dans l’unité initiale de la variable ?

11. Pourquoi la MAD est-elle généralement plus robuste que l’écart-type en présence d’une valeur extrême ?

12. Des données sont transformées selon yi=3+2xiy_i=3+2x_iyi​=3+2xi​. Comment la moyenne se transforme-t-elle ?

13. Des données vérifient yi=4−3xiy_i=4-3x_iyi​=4−3xi​ et ont une variance var⁡(x)=2\operatorname{var}(x)=2var(x)=2. Quelle est la variance de yyy ?

14. Pour construire un histogramme régulier avec kkk intervalles entre xmin⁡x_{\min}xmin​ et xmax⁡x_{\max}xmax​, quelle largeur d’intervalle faut-il choisir ?

15. Dans un histogramme, comment détermine-t-on l’effectif de l’intervalle [tℓ−1;tℓ[[t_{\ell-1};t_\ell[[tℓ−1​;tℓ​[ ?

16. Que représente le quantile d’ordre 0,1 dans une série d’observations toutes distinctes ?

17. Quels ordres de quantiles correspondent aux trois quartiles usuels ?

18. Quel type d’information une boîte à moustaches permet-il principalement de visualiser ?

19. Pour une transformation logarithmique yi=log⁡10(xi)y_i=\log_{10}(x_i)yi​=log10​(xi​), quelle relation est généralement correcte ?

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1. Quelle représentation décrit un ensemble de données quantitatives composé de $n$ observations réelles ?

3. Pour un ensemble d’observations $x_1,\ldots,x_n$ , quelle expression définit l’écart quadratique à une valeur $u$ ?

4. Quelle valeur minimise l’écart quadratique $C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$ ?

5. Que désigne la statistique d’ordre $x_{(i)}$ ?

6. Quelle expression définit l’écart absolu d’un ensemble d’observations par rapport à une valeur $u$ ?

7. Pour $n=2k+1$ observations classées par ordre croissant, quelle valeur minimise l’écart absolu ?

9. Quelle expression définit la déviation absolue médiane pour une série de valeurs $x_i$ , de médiane $m$ et d’effectif $n$ ?

10. Une variance est égale à $25\ \text{unités}^2$ . Quelle est la valeur de l’écart-type dans l’unité initiale de la variable ?

12. Des données sont transformées selon $y_i=3+2x_i$ . Comment la moyenne se transforme-t-elle ?

13. Des données vérifient $y_i=4-3x_i$ et ont une variance $\operatorname{var}(x)=2$ . Quelle est la variance de $y$ ?

14. Pour construire un histogramme régulier avec $k$ intervalles entre $x_{\min}$ et $x_{\max}$ , quelle largeur d’intervalle faut-il choisir ?

15. Dans un histogramme, comment détermine-t-on l’effectif de l’intervalle $[t_{\ell-1};t_\ell[$ ?

19. Pour une transformation logarithmique $y_i=\log_{10}(x_i)$ , quelle relation est généralement correcte ?