Fiche de révision : Variables quantitatives réelles

📋 Plan du Cours

1. Données et valeur centrale
2. Moyenne et écart quadratique
3. Médiane et écart absolu
4. Mesures de dispersion
5. Propriétés de la moyenne et variance
6. Construction d’un histogramme
7. Quantiles et quartiles
8. Box-plot et distributions déséquilibrées

📖 1. Données et valeur centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Données quantitatives : Ensemble des observations réelles {xi}1≤i≤n, représentable par le vecteur x = [x1 x2 … xn]⊤.
• Valeur centrale : Valeur qui résume un ensemble d’observations par une valeur typique située au centre des données selon un critère de centralité.
• Minimisation : Une valeur u* minimise une fonction f si, pour tout réel u, $f(u^*) \leq f(u)$.

📖 2. Moyenne et écart quadratique

★ À maîtriser

📐 Formule — L’écart quadratique à la valeur u est $C_2(u)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2$.

📐 Formule — La moyenne $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ est la valeur qui minimise l’écart quadratique C2.

Compléments

📐 Formule — La forme vectorielle de l’écart quadratique est $C_2(u)=\lVert x-u\mathbf{1}\rVert^2$, où 1 est le vecteur de dimension n dont toutes les coordonnées valent 1.

📐 Formule — La formule de Huygens donne, pour tout réel u, $\sum_{i=1}^{n}(x_i-u)^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(u-\bar{x})^2$.

💡 Astuce mémo

Minimiser l’écart quadratique → obtenir la moyenne

📖 3. Médiane et écart absolu

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique d’ordre : i-ème observation après réordonnement croissant, avec $x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq\cdots\leq x_{(n)}$.
• Médiane : La médiane vaut m=x(k+1) si n=2k+1 et, par convention, $m=\frac{x_{(k)}+x_{(k+1)}}{2}$ si n=2k.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’écart absolu à la valeur u est $C_1(u)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-u|$.

📌 Si n=2k+1 est impair, la valeur x(k+1) minimise l’écart absolu C1, tandis que si n=2k est pair, toute valeur comprise entre x(k) et x(k+1) le minimise.

📌 La moyenne varie davantage lorsqu’une valeur extrême est ajoutée ou retirée, tandis que la médiane est plus robuste à ces valeurs extrêmes.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible aux extrêmes, médiane robuste

📖 4. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance, $\sigma_x=\sqrt{\operatorname{var}(x)}$, et il est homogène à la variable x.

★ À maîtriser

📐 Formule — La déviation absolue médiane est $\operatorname{mad}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-m|=\frac{1}{n}C_1(m)$.

📐 Formule — La variance est $\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}C_2(\bar{x})$.

Compléments

📌 La MAD est plus robuste aux valeurs extrêmes que l’écart-type, car elle repose sur l’écart absolu autour de la médiane plutôt que sur les carrés autour de la moyenne.

💡 Astuce mémo

MAD robuste, écart-type sensible

📖 5. Propriétés de la moyenne et variance

★ À maîtriser

📐 Formule — Si yi=a+bxi pour 1≤i≤n, alors la moyenne vérifie $\bar{y}=a+b\bar{x}$.

📐 Formule — Si yi=a+bxi pour 1≤i≤n, alors la variance vérifie $\operatorname{var}(y)=b^2\operatorname{var}(x)$.

Compléments

📐 Formule — La variance peut aussi s’écrire $\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^{\,2}$.

📐 Formule — La forme vectorielle de la variance est $\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\lVert x-\bar{x}\mathbf{1}\rVert^2$.

📖 6. Construction d’un histogramme

★ À maîtriser

• Un histogramme régulier se construit en choisissant k intervalles, des bornes xmin≤x(1) et xmax≥x(n), une largeur $\delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{k}$, les seuils $t_\ell=x_{\min}+\ell\delta$, puis les effectifs des intervalles [tℓ−1;tℓ[.

Compléments

📐 Formule — L’effectif de l’intervalle [tℓ−1;tℓ[ est $n_\ell=|\{i:x_i\in[t_{\ell-1};t_\ell[\}\,|$.

📌 Pour une distribution très déséquilibrée, une échelle logarithmique peut rendre les petites valeurs plus visibles, mais elle transforme les données en yi=log10(xi).

💡 Astuce mémo

k → bornes → largeur → seuils → effectifs

📖 7. Quantiles et quartiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Valeur qu telle que $\frac{|\{i:x_i\leq q_u\}|}{n}\leq u<\frac{|\{i:x_i\leq q_u\}|+1}{n}$ lorsque les observations sont toutes distinctes.

★ À maîtriser

• Les quartiles sont les quantiles d’ordre 25 %, 50 % et 75 %, et le quantile d’ordre 50 % est la médiane.

Compléments

📐 Formule — De nombreux logiciels choisissent un quantile unique par interpolation linéaire : $q_u=x_{(\lfloor nu\rfloor)}+(nu-\lfloor nu\rfloor)(x_{(\lceil nu\rceil)}-x_{(\lfloor nu\rfloor)})$.

📌 En présence d’ex aequo, la définition simple du quantile n’est pas directement valable, et tout nombre de l’intervalle [x(⌊nu⌋),x(⌈nu⌉)] peut être considéré comme un quantile d’ordre u.

📖 8. Box-plot et distributions déséquilibrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Boîte à moustaches : Visualisation de différents indicateurs de la distribution des données, notamment les quantiles et la valeur centrale.

★ À maîtriser

📌 Pour une transformation logarithmique yi=log10(xi), on a en général $\bar{y}\neq\log_{10}(\bar{x})$ et $\operatorname{med}(y)=\log_{10}(\operatorname{med}(x))$.

Compléments

• Pour les populations des communes françaises en 2017, la moyenne est 1 936,3 et la médiane est 468, tandis que pour les départements français la moyenne est 677 610,9 et la médiane est 546 162,5.

• Pour les populations des communes françaises, les quartiles sont 203, 468 et 1 184 pour les ordres 25 %, 50 % et 75 %.

📊 Tableaux de synthèse

Moyenne et médiane

MAD et écart-type