Fiche de révision : Vecteurs dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des vecteurs
2. Égalité et translation
3. Relations et opérations vectorielles
4. Coordonnées et norme
5. Colinéarité et alignement

📖 1. Définition et représentation des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Représente un déplacement dans le plan et se caractérise par une direction, un sens et une longueur appelée norme.
• Vecteur nul : Le vecteur de longueur 0, noté $\overrightarrow{0}$, qui correspond à un déplacement ne changeant pas la position.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires ; l'opposé de $\overrightarrow{u}$ se note $-\overrightarrow{u}$.

💡 Astuce mémo

Un vecteur est un déplacement, pas un point.

📖 2. Égalité et translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs égaux : S'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, même s'ils ne sont pas placés au même endroit.
• Translation : Un déplacement qui envoie tous les points de la même façon et qui est entièrement déterminé par un vecteur.

📝 Points essentiels

• Si une translation transforme A en B, elle transforme tout point M en un point N tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$.

• Un vecteur est libre, car il peut être déplacé partout dans le plan sans changer.

💡 Astuce mémo

Même direction, même sens, même longueur → même déplacement.

📖 3. Relations et opérations vectorielles

📝 Points essentiels

📐 Formule — La relation de Chasles s'écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ et remplace deux déplacements successifs par un déplacement direct.

• Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements pour composer un déplacement résultant.

📐 Formule — Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé, selon la relation $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.

💡 Astuce mémo

A vers B, puis B vers C → A vers C.

📖 4. Coordonnées et norme

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A a pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et B a pour coordonnées $(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$, alors sa norme vérifie $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Les coordonnées d'un vecteur donnent le déplacement horizontal et le déplacement vertical nécessaires pour aller du point de départ au point d'arrivée.

• Dans un repère orthonormé, la norme d'un vecteur correspond à la distance entre son point de départ et son point d'arrivée.

💡 Astuce mémo

Arrivée − départ, puis distance par Pythagore.

📖 5. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : S'ils ont la même direction, ce qui signifie que l'un est un multiple de l'autre.
• Alignement de trois points : Trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs $\vec{u}=(x;y)$ et $\vec{v}=(x';y')$ sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles.

Compléments

• Les vecteurs $(2;3)$ et $(4;6)$ sont colinéaires car $(4;6)=2(2;3)$.

• Si $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ et $\overrightarrow{AC}=(1;2)$, alors les points A, B et C sont alignés car les coordonnées sont proportionnelles.

💡 Astuce mémo

Coordonnées proportionnelles → vecteurs colinéaires → points alignés.