Fiche de révision : Vecteurs de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Définition et caractéristiques des vecteurs
2. Égalité et translation des vecteurs
3. Somme et relation de Chasles
4. Combinaisons linéaires
5. Multiplication par un réel
6. Propriétés et décomposition vectorielle

📖 1. Définition et caractéristiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : associé au couple de points $(A,B)$, possède la direction de la droite $(AB)$, le sens de A vers B et pour norme la distance AB
• Vecteur nul : Lorsque A et B sont confondus, le vecteur nul $\vec{0}$, de norme nulle, avec toutes les directions et tous les sens

📖 2. Égalité et translation des vecteurs

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Compléments

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux lorsque le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

• Pour tout point E et tout vecteur $\vec v$, il existe un unique point F tel que $\overrightarrow{EF}=\vec v$.

💡 Astuce mémo

Même direction, même sens et même longueur : des représentants différents d’un même vecteur.

📖 3. Somme et relation de Chasles

★ À maîtriser

• La somme de deux vecteurs est construite par la règle du parallélogramme : si $\overrightarrow{AB}=\vec u$ et $\overrightarrow{AC}=\vec v$, alors $\vec u+\vec v=\overrightarrow{AE}$, où ABEC est un parallélogramme.

• Pour tous points A, B et C de l’espace, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

• On a $\vec{0}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ et $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

A vers B, puis B vers C, donne directement A vers C.

📖 4. Combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : un vecteur $\vec t$ des vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ s’il existe des réels x, y et z tels que $\vec t=x\vec u+y\vec v+z\vec w$

📖 5. Multiplication par un réel

📝 Points essentiels

📌 Si k est non nul, le vecteur k$\vec u$ a la même direction que $\vec u$, et son sens est le même si k est positif ou opposé si k est négatif.

• La norme du vecteur k$\vec u$ vérifie $\lVert k\vec u\rVert=|k|\lVert\vec u\rVert$, et si k=0, alors $k\vec u=\vec 0$.

💡 Astuce mémo

Réel positif : même sens ; réel négatif : sens opposé ; réel nul : vecteur nul.

📖 6. Propriétés et décomposition vectorielle

★ À maîtriser

• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, et tous réels $\lambda$ et $\lambda'$, on a $\lambda(\vec u+\vec v)=\lambda\vec u+\lambda\vec v$, $(\lambda+\lambda')\vec u=\lambda\vec u+\lambda'\vec u$ et $(\lambda\lambda')\vec u=\lambda(\lambda'\vec u)$.

Compléments

• Les exercices d’application consistent à: prouver des égalités de vecteurs, déterminer l’image d’un point par une translation, exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs donnés