Fiche de révision : Vecteurs et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Origines historiques de l’analyse vectorielle
2. Corps et espaces vectoriels
3. Vecteurs, composantes et norme
4. Opérations et dépendance linéaire
5. Produit scalaire et bases orthonormées
6. Produit vectoriel et produit mixte
7. Applications et applications linéaires
8. Formes linéaires et espace dual

📖 1. Origines historiques de l’analyse vectorielle

★ À maîtriser

• En 1840, Grassmann acheva la rédaction de sa « Theorie der Ebbe und Flut », qui contenait le premier système d’analyse spatiale fondé sur les vecteurs et proche du système moderne.

Compléments

• Selon J. Dieudonné dans « The Tragedy of Grassmann » (1979), l’invention des coordonnées cartésiennes a permis de grands progrès en analyse, en mécanique et en géométrie au XVIIIe siècle, mais a aussi suscité le désir d’une méthode géométrique évitant les calculs coordonnés lourds.

• En 1881, Gibbs imprima la première moitié de ses « Elements of Vector Analysis », qui présentait l’essentiel du système moderne d’analyse vectorielle.

💡 Astuce mémo

Coordonnées → quaternions → vecteurs modernes

📖 2. Corps et espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps : Ensemble muni d’opérations binaires d’addition et de multiplication, ainsi que des opérations inverses de soustraction et de division.
• Espace vectoriel : Ensemble muni d’un corps de scalaires, d’un ensemble de vecteurs, d’une addition commutative et associative, d’un vecteur nul unique, d’un opposé pour chaque vecteur et d’une multiplication par un scalaire.

📖 3. Vecteurs, composantes et norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Défini par deux points A et B de R^n ; le vecteur AB a pour origine A et pour extrémité B.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A=(x_A,y_A) et B=(x_B,y_B), les composantes de AB sont (x_B-x_A,y_B-y_A) et sa norme vérifie $\|AB\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

📐 Formule — Dans l’espace, la norme de AB vérifie $\|AB\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

💡 Astuce mémo

Une flèche relie une origine à une extrémité

📖 4. Opérations et dépendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité entre vecteurs : Deux vecteurs se déduisent l’un de l’autre par translation, ont la même direction et la même magnitude, ou ont les mêmes composantes.
• Indépendance linéaire : Famille de vecteurs pour laquelle la seule combinaison linéaire égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour V_1=(a_1,b_1) et V_2=(a_2,b_2), leur somme est $V_1+V_2=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ et, pour un scalaire λ, $\lambda V_1=(\lambda a_1,\lambda b_1)$.

💡 Astuce mémo

Famille libre : seule la combinaison nulle donne le vecteur nul ; famille liée : une relation non triviale existe

📖 5. Produit scalaire et bases orthonormées

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de V_1=(a_1,b_1) et V_2=(a_2,b_2) dans le plan vaut $V_1\cdot V_2=a_1a_2+b_1b_2$, et dans R^3 il vaut $V_1\cdot V_2=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$.
• Base orthonormée : Base composée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux ; la base cartésienne est (e_x,e_y) dans R^2 et (e_x,e_y,e_z) dans R^3.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux vecteurs non nuls faisant un angle α, le produit scalaire vérifie $V_1\cdot V_2=\|V_1\|\|V_2\|\cos(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → orthogonalité ; produit vectoriel nul → colinéarité

📖 6. Produit vectoriel et produit mixte

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : L’unique vecteur tel que, pour tout V_3, $\det[V_3,V_1,V_2]=V_3\cdot(V_1\wedge V_2)$.
• Produit mixte : Déterminant de trois vecteurs dans une base orthonormale directe et représentation du volume orienté du parallélépipède construit sur ces vecteurs.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme du produit vectoriel est l’aire du parallélogramme construit sur V_1 et V_2 et vérifie $\|V_1\wedge V_2\|=\|V_1\|\|V_2\|\sin(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs → normale au plan et aire du parallélogramme

📖 7. Applications et applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Associe à chaque élément x de E un unique élément y=f(x) de F.
• Application linéaire : Une application f:E→F est linéaire si elle vérifie f(u+v)=f(u)+f(v) et f(λu)=λf(u) pour tous u,v∈E et λ∈R.

★ À maîtriser

📌 Une application est injective si deux images égales impliquent des antécédents égaux, surjective si tout élément de F possède un antécédent, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Compléments

• Toute application linéaire envoie le vecteur nul sur le vecteur nul, car f(0)=0.

💡 Astuce mémo

Injection : unicité des antécédents ; surjection : existence des antécédents

📖 8. Formes linéaires et espace dual

🔑 Notions clés & Définitions

• Noyau : Ensemble des vecteurs x de E tels que f(x)=0.
• Forme linéaire : Application linéaire de E vers R.
• Base duale : La base duale (f_i) de E* est définie par les formes linéaires vérifiant f_i(e_j)=δ_ij, où δ_ij vaut 1 si i=j et 0 sinon.

📝 Points essentiels

• Pour u_1=(1,2) et u_2=(3,1), une base duale est donnée par φ_1=-x+3y et φ_2=x-2y, avec φ_i(u_j)=δ_ij.

💡 Astuce mémo

La base duale lit une à une les composantes d’un vecteur

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications