Fiche de révision : Vecteurs et repérage du plan

📋 Plan du Cours

1. Notion et propriétés des vecteurs
2. Somme et différence vectorielles
3. Multiplication par un réel
4. Colinéarité des vecteurs
5. Repères et coordonnées vectorielles
6. Colinéarité et déterminant
7. Milieu et distance dans un repère

📖 1. Notion et propriétés des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : La flèche qui définit une translation et possède une direction, un sens et une longueur.
• Vecteurs égaux : Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• Norme d’un vecteur : Sa longueur et se note, par exemple, $\|\overrightarrow{AB}\|$.
• Vecteur nul : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul lorsque A et B sont confondus ; $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires ; $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

📝 Points essentiels

📌 La direction est définie par une droite, tandis que le sens indique l’orientation, par exemple de A vers B.

• Des vecteurs égaux sont des représentants d’un même vecteur, que l’on peut désigner par une seule lettre, comme $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

📌 B est le milieu de [AC] si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

💡 Astuce mémo

La droite donne la direction ; la flèche de A vers B donne le sens.

📖 2. Somme et différence vectorielles

★ À maîtriser

• L’enchaînement de translations de vecteurs $\vec{u}$ puis $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$.

📌 La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

📐 Formule - La différence de vecteurs se transforme en somme de l’opposé : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.

💡 Astuce mémo

Deux flèches bout à bout forment une flèche résultante.

📖 3. Multiplication par un réel

★ À maîtriser

• Le vecteur $-3\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, un sens contraire et une norme égale à trois fois celle de $\vec{u}$.

Compléments

📐 Formule - Le produit $5\vec{u}$ est la somme de cinq vecteurs $\vec{u}$ : $5\vec{u}=\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}$.

• Pour un coefficient positif comme 5, $5\vec{u}$ a la même direction et le même sens que $\vec{u}$, et sa norme vaut cinq fois celle de $\vec{u}$.

📐 Formule - Le produit $-3\vec{u}$ est la somme de trois vecteurs $-\vec{u}$ : $-3\vec{u}=(-\vec{u})+(-\vec{u})+(-\vec{u})$.

💡 Astuce mémo

Un coefficient positif conserve le sens ; un coefficient négatif l’inverse.

📖 4. Colinéarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

📝 Points essentiels

• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

📖 5. Repères et coordonnées vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est un triplet $(O,\vec{i},\vec{j})$ où O est un point et $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont deux vecteurs non colinéaires.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A a pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et B $(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

Compléments

📌 Un repère est orthogonal si ses vecteurs de base ont des directions perpendiculaires ; il est orthonormé s’il est orthogonal et si ces vecteurs ont une norme égale à 1.

• Dans un repère, les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base ; par exemple, $\overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j}$ a pour coordonnées $(3;2)$.

📐 Formule - Pour $\vec{u}=(x;y)$ et $\vec{v}=(x';y')$, on a $\vec{u}+\vec{v}=(x+x';y+y')$, $k\vec{u}=(kx;ky)$ et $-\vec{u}=(-x;-y)$.

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

📖 6. Colinéarité et déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant : Le déterminant de $\vec{u}=(x;y)$ et $\vec{v}=(x';y')$ est le nombre $\det(\vec{u};\vec{v})=xy'-yx'$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $\vec{u}=(x;y)$ et $\vec{v}=(x';y')$, les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.

Compléments

📌 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

📌 Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📖 7. Milieu et distance dans un repère

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A a pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et B $(x_B;y_B)$, le milieu de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre A et B vaut $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• La formule de distance dans un repère orthonormé découle du théorème de Pythagore.