QCM : Vecteurs et repérage du plan (11 questions)

Question 1

1. Quelle flèche représente un vecteur associé à une translation ?

Une flèche définie par deux points, sans longueur

Une flèche définie par une direction, un sens et une longueur

Un point défini par une direction et une longueur

Une droite définie par un sens et une longueur

Explication

Un vecteur est la flèche qui définit une translation et possède une direction, un sens et une longueur. Le point d’arrivée seul ne suffit pas, et une droite ou un point ne décrit pas les trois propriétés du vecteur.

Answer

Une flèche définie par une direction, un sens et une longueur

Question 2

2. Deux flèches représentent des vecteurs de même direction et de même longueur, mais leurs pointes indiquent des sens contraires. Quelle conclusion s’impose ?

Ils sont égaux si leurs points de départ coïncident

Ils sont égaux, car direction et longueur coïncident

Ils sont égaux si leurs droites supports se croisent

Ils ne sont pas égaux, car leur sens diffère

Explication

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Des vecteurs de même direction et longueur, mais de sens contraire, sont opposés; un départ commun ou des droites qui se croisent ne rend pas les vecteurs égaux.

Answer

Ils ne sont pas égaux, car leur sens diffère

Question 3

3. Un point subit d’abord une translation de vecteur $\vec{u}$ , puis une translation de vecteur $\vec{v}$ . Quel vecteur décrit la translation résultante ?

-\vec{u}-\vec{v}

\vec{u}+\vec{v}

\vec{u}-\vec{v}

\vec{v}

Explication

L’enchaînement des translations de vecteurs $\vec{u}$ puis $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ . La différence, le second vecteur seul ou le vecteur opposé ne décrivent pas cette composition.

Answer

$$\vec{u}+\vec{v}$$

Question 4

4. Sur un trajet, un déplacement va de A à B, puis un second de B à C. Quel vecteur représente le déplacement total de A à C ?

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{BC}

\overrightarrow{CA}

Explication

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ : les deux déplacements bout à bout équivalent au déplacement direct de A vers C. $\overrightarrow{CA}$ inverse le sens, et les autres choix ne représentent pas le trajet total.

Answer

$$\overrightarrow{AC}$$

Question 5

5. Que représente le produit $5\vec{u}$ en fonction du vecteur $\vec{u}$ ?

La somme de cinq vecteurs égaux à

\vec{u}

Un vecteur de norme égale à cinq fois celle de

\vec{u}

et de sens contraire

Un vecteur de même norme que

\vec{u}

et de sens contraire

La somme de cinq vecteurs égaux à

-\vec{u}

Explication

Le produit $5\vec{u}$ correspond à l’addition de cinq copies de $\vec{u}$ . La somme de cinq vecteurs $-\vec{u}$ représenterait plutôt $-5\vec{u}$ , de sens opposé.

Answer

La somme de cinq vecteurs égaux à $$\vec{u}$$

Question 6

6. Quelle condition caractérise la colinéarité de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Leurs normes sont égales et leurs sens sont contraires.

Leur somme est égale au vecteur nul.

Ils ont des directions perpendiculaires.

Il existe un réel

k

tel que

\vec{u}=k\vec{v}

.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, ce qui revient à ce que l’un soit un multiple réel de l’autre. Des normes égales et des sens contraires caractérisent plutôt des vecteurs opposés, sans décrire toute la colinéarité.

Answer

Il existe un réel $$k$$ tel que $$\vec{u}=k\vec{v}$$.

Question 7

7. Quel est le rôle des deux vecteurs de base dans un repère du plan ?

Ils permettent de décomposer tout vecteur du plan en une combinaison de ces deux vecteurs.

Ils déterminent un point origine et fixent une unité de longueur commune.

Ils servent à mesurer les angles entre les côtés de toute figure du plan.

Ils indiquent les directions des axes, qui doivent être perpendiculaires.

Explication

Les deux vecteurs de base, non colinéaires, permettent d’exprimer les coordonnées de tout vecteur du plan comme coefficients de leur décomposition. La perpendicularité caractérise un repère orthogonal, mais n’est pas requise pour tout repère.

Answer

Ils permettent de décomposer tout vecteur du plan en une combinaison de ces deux vecteurs.

Question 8

8. En quoi le déterminant de deux vecteurs diffère-t-il du critère qui permet de conclure à leur colinéarité ?

Le déterminant est un nombre calculé à partir des coordonnées, tandis que la colinéarité correspond au cas où ce nombre vaut zéro.

Le déterminant indique la longueur des vecteurs, tandis que la colinéarité signifie qu’ils ont la même norme.

Le déterminant vérifie si les vecteurs sont égaux, tandis que la colinéarité signifie qu’ils ont des coordonnées identiques.

Le déterminant mesure l’angle entre les vecteurs, tandis que la colinéarité correspond à un angle droit.

Explication

Le déterminant $xy'-yx'$ est une valeur numérique associée aux deux vecteurs, et ils sont colinéaires exactement lorsque cette valeur est nulle. La colinéarité ne signifie pas que les vecteurs ont la même norme : l’un peut être un multiple de l’autre avec un facteur différent de 1.

Answer

Le déterminant est un nombre calculé à partir des coordonnées, tandis que la colinéarité correspond au cas où ce nombre vaut zéro.

Question 9

9. Dans un repère orthonormé, pourquoi peut-on calculer la distance entre deux points à partir de leurs écarts horizontal et vertical ?

Parce que la distance entre les points est la somme de leurs écarts horizontal et vertical.

Parce que les écarts horizontal et vertical sont toujours égaux dans un repère orthonormé.

Parce que ces écarts sont les côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle, dont la distance est l’hypoténuse.

Parce que la distance entre les points correspond au produit de leurs écarts horizontal et vertical.

Explication

Dans un repère orthonormé, les écarts horizontal et vertical forment les côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle, ce qui permet d’appliquer le théorème de Pythagore. Additionner ces écarts donne une longueur de trajet le long des axes, et non la distance directe entre les points.

Answer

Parce que ces écarts sont les côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle, dont la distance est l’hypoténuse.

Question 10

10. Pour vérifier si B est le milieu du segment [AC] à l’aide de vecteurs, quelle égalité faut-il établir ?

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}

Explication

Lorsque B est le milieu de [AC], les déplacements de A vers B et de B vers C ont la même direction, le même sens et la même longueur. L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ inverse le sens du second déplacement et ne caractérise donc pas le milieu.

Answer

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$$

Question 11

11. Quelle propriété vectorielle permet d’écrire la diagonale d’un parallélogramme à partir de ses deux côtés issus du même sommet ?

La diagonale est le produit des vecteurs représentant ces deux côtés.

La diagonale est égale à chacun des vecteurs représentant ces deux côtés.

La diagonale est la différence des vecteurs représentant ces deux côtés.

La diagonale est la somme des vecteurs représentant ces deux côtés.

Explication

Dans un parallélogramme ABCD, le vecteur diagonal $\overrightarrow{AC}$ s’écrit comme la somme des vecteurs des côtés issus de A, soit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ . La différence correspond à une autre combinaison de déplacements et ne donne pas cette diagonale.

Answer

La diagonale est la somme des vecteurs représentant ces deux côtés.

QCM : Vecteurs et repérage du plan (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle flèche représente un vecteur associé à une translation ?

2. Deux flèches représentent des vecteurs de même direction et de même longueur, mais leurs pointes indiquent des sens contraires. Quelle conclusion s’impose ?

3. Un point subit d’abord une translation de vecteur $\vec{u}$ , puis une translation de vecteur $\vec{v}$ . Quel vecteur décrit la translation résultante ?

4. Sur un trajet, un déplacement va de A à B, puis un second de B à C. Quel vecteur représente le déplacement total de A à C ?

5. Que représente le produit $5\vec{u}$ en fonction du vecteur $\vec{u}$ ?

6. Quelle condition caractérise la colinéarité de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

7. Quel est le rôle des deux vecteurs de base dans un repère du plan ?

8. En quoi le déterminant de deux vecteurs diffère-t-il du critère qui permet de conclure à leur colinéarité ?

9. Dans un repère orthonormé, pourquoi peut-on calculer la distance entre deux points à partir de leurs écarts horizontal et vertical ?

10. Pour vérifier si B est le milieu du segment [AC] à l’aide de vecteurs, quelle égalité faut-il établir ?

11. Quelle propriété vectorielle permet d’écrire la diagonale d’un parallélogramme à partir de ses deux côtés issus du même sommet ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle flèche représente un vecteur associé à une translation ?

2. Deux flèches représentent des vecteurs de même direction et de même longueur, mais leurs pointes indiquent des sens contraires. Quelle conclusion s’impose ?

3. Un point subit d’abord une translation de vecteur u⃗\vec{u}u, puis une translation de vecteur v⃗\vec{v}v. Quel vecteur décrit la translation résultante ?

4. Sur un trajet, un déplacement va de A à B, puis un second de B à C. Quel vecteur représente le déplacement total de A à C ?

5. Que représente le produit 5u⃗5\vec{u}5u en fonction du vecteur u⃗\vec{u}u ?

6. Quelle condition caractérise la colinéarité de deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u}u et v⃗\vec{v}v ?

7. Quel est le rôle des deux vecteurs de base dans un repère du plan ?

8. En quoi le déterminant de deux vecteurs diffère-t-il du critère qui permet de conclure à leur colinéarité ?

9. Dans un repère orthonormé, pourquoi peut-on calculer la distance entre deux points à partir de leurs écarts horizontal et vertical ?

10. Pour vérifier si B est le milieu du segment [AC] à l’aide de vecteurs, quelle égalité faut-il établir ?

11. Quelle propriété vectorielle permet d’écrire la diagonale d’un parallélogramme à partir de ses deux côtés issus du même sommet ?

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3. Un point subit d’abord une translation de vecteur $\vec{u}$ , puis une translation de vecteur $\vec{v}$ . Quel vecteur décrit la translation résultante ?

5. Que représente le produit $5\vec{u}$ en fonction du vecteur $\vec{u}$ ?

6. Quelle condition caractérise la colinéarité de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?