Arithmétique et nombres premiers : fiche de révision
Nombres premiers, décomposition, fractions irréductibles : la fiche brevet sur l'arithmétique, avec les problèmes de partage type examen et un mot sur Scratch.
1Le cours condensé
Un diviseur de N est un entier qui divise N sans reste ; un multiple de N est un produit de N par un entier. Critères de divisibilité à connaître : par 2 (chiffre des unités pair), par 3 (somme des chiffres divisible par 3), par 5 (finit par 0 ou 5), par 9 (somme des chiffres divisible par 9), par 10 (finit par 0).
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Attention : 1 n'est pas premier (un seul diviseur) et 2 est le seul premier pair.
Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. Méthode : diviser successivement par les premiers croissants. Exemple : 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.
Applications : rendre une fraction irréductible en simplifiant par les facteurs communs (84/60 = (2² × 3 × 7)/(2² × 3 × 5) = 7/5), et résoudre les problèmes de partage (« composer des lots identiques avec 84 billes et 60 calots » : le nombre de lots doit diviser 84 et 60).
Côté algorithmique, le brevet comporte presque chaque année un exercice Scratch : savoir lire un script (boucle « répéter », variable, instruction conditionnelle « si… alors ») et prévoir ce qu'il affiche ou dessine.
2Repères à connaître par cœur
Les nombres premiers jusqu'à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10. La méthode de décomposition par divisions successives. Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun facteur premier commun. Dans un problème de partage « avec le plus grand nombre de lots », on cherche le plus grand diviseur commun via les décompositions.
3Ce qui tombe au brevet et les pièges
Exercices types : décomposer un nombre (souvent 3 chiffres), rendre une fraction irréductible en justifiant, problème de lots ou de dallage (« quelle est la plus grande taille de carreaux carrés pour paver une pièce de 84 × 60 ? »), et une question Scratch sur la lecture d'un programme.
Pièges : déclarer 1 premier ; oublier 2 dans une décomposition ; simplifier une fraction sans justifier par la décomposition quand l'énoncé l'exige ; dans les problèmes de lots, confondre « diviseur commun » et « multiple commun » (les rendez-vous périodiques utilisent les multiples).
4Comment s'entraîner
Décompose dix nombres entre 60 et 500, rends cinq fractions irréductibles en montrant la décomposition, puis fais deux problèmes de partage complets d'annales. Pour Scratch, exécute mentalement trois scripts d'annales pas à pas en notant la valeur des variables à chaque tour de boucle — c'est exactement l'exercice du jour J.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur arithmétique et nombres premiers
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. Lequel de ces nombres est premier ?
- A.1
- B.21
- C.27
- D.29
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Réponse : D. 29
29 n'a que deux diviseurs. 21 = 3 × 7, 27 = 3³, et 1 n'est pas premier (un seul diviseur).
2. La décomposition en facteurs premiers de 84 est :
- A.2 × 42
- B.2² × 3 × 7
- C.4 × 21
- D.2 × 3 × 14
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Réponse : B. 2² × 3 × 7
84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7 : tous les facteurs doivent être premiers.
3. Le nombre 435 est divisible par :
- A.2
- B.3 et 5
- C.9
- D.10
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Réponse : B. 3 et 5
Il finit par 5 (divisible par 5) et 4 + 3 + 5 = 12, divisible par 3.
4. La fraction 84/60 rendue irréductible est :
- A.42/30
- B.21/15
- C.7/5
- D.14/10
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Réponse : C. 7/5
84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5 : on simplifie par 2² × 3 = 12, il reste 7/5.
5. Le seul nombre premier pair est :
- A.0
- B.2
- C.4
- D.6
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Réponse : B. 2
Tout autre pair est divisible par 2, donc a au moins trois diviseurs.
6. On veut faire des lots identiques avec 84 billes et 60 calots, sans reste. Le nombre de lots doit être :
- A.un multiple de 84
- B.un diviseur commun de 84 et 60
- C.un multiple commun de 84 et 60
- D.un nombre premier
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Réponse : B. un diviseur commun de 84 et 60
Chaque lot reçoit le même nombre de billes et de calots : le nombre de lots divise 84 et 60. Le maximum est 12.
7. Deux bus partent du même arrêt, l'un toutes les 6 min, l'autre toutes les 8 min. Ils repartent ensemble au bout de :
- A.14 min
- B.24 min
- C.48 min
- D.2 min
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Réponse : B. 24 min
On cherche le plus petit multiple commun de 6 et 8 : 24. Les rendez-vous périodiques utilisent les multiples, pas les diviseurs.
8. Dans un script Scratch, une boucle « répéter 4 fois : avancer de 50, tourner de 90° » dessine :
- A.un triangle
- B.un carré
- C.un cercle
- D.une ligne droite
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Réponse : B. un carré
Quatre côtés de 50 avec des angles de 90° : c'est un carré de côté 50.
Questions fréquentes
Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?
Par définition, un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Or 1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même. L'exclure garantit aussi l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Comment décomposer rapidement un nombre en facteurs premiers ?
Divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis 5, 7, 11… en t'aidant des critères de divisibilité. On s'arrête quand le quotient vaut 1.
Diviseurs communs ou multiples communs : comment choisir dans un problème ?
Si on PARTAGE des quantités en groupes identiques, on cherche un diviseur commun. Si des événements se RÉPÈTENT périodiquement et qu'on attend la coïncidence, on cherche un multiple commun.
Faut-il savoir programmer en Scratch pour le brevet ?
Il faut surtout savoir LIRE un script : suivre une boucle, la valeur d'une variable, une condition, et prévoir le résultat ou compléter une instruction manquante. L'entraînement sur trois ou quatre annales suffit.