Théorème de Thalès et agrandissements : fiche de révision
Configurations, réciproque, agrandissements-réductions : la fiche brevet sur Thalès, avec la rédaction type attendue le jour de l'épreuve.
1Le cours condensé
Théorème de Thalès : soient deux droites (AM) et (AN) sécantes en A, avec B sur (AM) et C sur (AN). Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AB/AM = AC/AN = BC/MN. Il s'applique dans deux configurations : le « triangle » (B entre A et M) et le « papillon » (A entre B et M, croisement en A).
Il sert à calculer une longueur manquante : on écrit les rapports égaux, puis on utilise le produit en croix.
Réciproque de Thalès : si les points A, B, M d'une part et A, C, N d'autre part sont alignés DANS LE MÊME ORDRE, et si AB/AM = AC/AN, alors (BC) et (MN) sont parallèles. Elle sert à démontrer un parallélisme.
Agrandissement-réduction : multiplier toutes les longueurs d'une figure par k. Les angles sont conservés ; les aires sont multipliées par k², les volumes par k³. Exemple : si on double les longueurs (k = 2), l'aire est multipliée par 4 et le volume par 8.
2La rédaction attendue au brevet
Pour appliquer Thalès, la rédaction type comporte quatre temps : 1) citer les hypothèses (« les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (BC) // (MN) ») ; 2) annoncer « d'après le théorème de Thalès » ; 3) écrire l'égalité des trois rapports ; 4) isoler la longueur cherchée par produit en croix, calculer et conclure avec l'unité.
Pour la réciproque : calculer séparément les deux rapports, constater leur égalité, vérifier l'alignement dans le même ordre, puis conclure « d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles ». Si les rapports ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles (contraposée).
3Ce qui tombe au brevet et les pièges
Thalès tombe très régulièrement, souvent dans un problème concret (ombre d'un bâtiment, pente, plan) et parfois combiné avec Pythagore dans le même exercice. Les questions d'aires et volumes après agrandissement (« le volume est-il doublé ? ») sont un piège récurrent.
Pièges : mélanger l'ordre des sommets dans les rapports (toujours partir du point d'intersection A) ; utiliser Thalès sans avoir vérifié ou cité le parallélisme ; appliquer k au lieu de k² pour une aire ; oublier la contraposée quand les rapports sont différents.
4Comment s'entraîner
Refais cinq applications directes (une par configuration, dont une « papillon »), deux démonstrations de parallélisme par la réciproque, et un exercice d'aires/volumes avec coefficient k. Recopie une fois la rédaction type en entier : au brevet, les points de rédaction valent autant que le calcul.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur théorème de thalès et agrandissements
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. Le théorème de Thalès permet de :
- A.démontrer qu'un triangle est rectangle
- B.calculer une longueur quand deux droites sont parallèles
- C.calculer un angle
- D.démontrer qu'un point est un milieu uniquement
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Réponse : B. calculer une longueur quand deux droites sont parallèles
Thalès donne l'égalité de rapports de longueurs dans une configuration avec parallèles — il sert à calculer une longueur manquante.
2. La réciproque du théorème de Thalès sert à :
- A.calculer une longueur
- B.démontrer que deux droites sont parallèles
- C.calculer une aire
- D.vérifier un angle droit
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Réponse : B. démontrer que deux droites sont parallèles
Si les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, les droites sont parallèles.
3. Dans une configuration de Thalès, AB = 3, AM = 9 et AC = 4. Alors AN vaut :
- A.12
- B.6
- C.36
- D.7
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Réponse : A. 12
AB/AM = AC/AN donne 3/9 = 4/AN, donc AN = (9 × 4)/3 = 12.
4. Si on triple toutes les longueurs d'une figure, son aire est multipliée par :
- A.3
- B.6
- C.9
- D.27
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Réponse : C. 9
Les aires sont multipliées par k² = 3² = 9.
5. Si on double toutes les longueurs d'un solide, son volume est multiplié par :
- A.2
- B.4
- C.8
- D.6
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Réponse : C. 8
Les volumes sont multipliés par k³ = 2³ = 8.
6. Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut impérativement que :
- A.le triangle soit rectangle
- B.deux droites soient parallèles
- C.les longueurs soient entières
- D.la figure soit à l'échelle
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Réponse : B. deux droites soient parallèles
Le parallélisme est l'hypothèse centrale du théorème — il doit être cité dans la rédaction.
7. On calcule AB/AM = 0,4 et AC/AN = 0,5. Que conclure ?
- A.Les droites sont parallèles
- B.Les droites ne sont pas parallèles
- C.On ne peut rien dire
- D.Le triangle est isocèle
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Réponse : B. Les droites ne sont pas parallèles
Les rapports sont différents : d'après la contraposée de la réciproque, les droites ne sont pas parallèles.
8. Un agrandissement conserve :
- A.les longueurs
- B.les aires
- C.les angles
- D.les volumes
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Réponse : C. les angles
Les angles (et donc la forme) sont conservés ; longueurs, aires et volumes sont modifiés.
Questions fréquentes
Comment rédiger un exercice avec Thalès au brevet ?
En quatre temps : hypothèses (sécantes + parallèles), citation du théorème, égalité des trois rapports, produit en croix et conclusion avec unité. Les correcteurs attribuent des points à chaque étape.
Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?
Le théorème part du parallélisme pour calculer des longueurs ; la réciproque part de l'égalité des rapports pour démontrer le parallélisme. Le sens de ce que l'on sait et de ce que l'on cherche est inversé.
Pourquoi les aires sont-elles multipliées par k² ?
Une aire est un produit de deux longueurs : si chacune est multipliée par k, le produit l'est par k × k = k². De même, un volume (trois longueurs) est multiplié par k³.
Thalès et Pythagore peuvent-ils tomber ensemble ?
Oui, c'est un grand classique du brevet : Pythagore pour calculer une première longueur dans un triangle rectangle, puis Thalès pour en déduire une autre.