Calcul intégral : fiche de révision
Intégrale et aire sous la courbe, lien avec les primitives, propriétés, valeur moyenne et intégration par parties : la fiche complète avec exemples corrigés.
1Intégrale et aire
Pour f continue et POSITIVE sur [a ; b], l'intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b, exprimée en unités d'aire (u.a. : l'aire du rectangle unité du repère). Si f est négative, l'intégrale vaut l'OPPOSÉ de l'aire ; pour une fonction de signe variable, on découpe selon le signe.
Théorème fondamental : si f est continue sur [a ; b] et F est une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ₐᵇ. Autre énoncé du cours : la fonction x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est LA primitive de f qui s'annule en a.
Exemple : ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3.
2Propriétés de l'intégrale
Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Relation de Chasles : ∫ₐᵇ + ∫ᵦᶜ = ∫ₐᶜ (avec la convention ∫ᵦₐ = −∫ₐᵇ). Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f ≥ 0. Croissance : si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g — d'où les encadrements d'intégrales à partir d'encadrements de fonctions.
Aire entre deux courbes : si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les courbes vaut ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Valeur moyenne de f sur [a ; b] : μ = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx — c'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] ayant la même aire que le domaine sous la courbe.
3Intégration par parties
Pour u et v dérivables à dérivées continues sur [a ; b] : ∫ₐᵇ u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v'(x) dx. On l'utilise quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie par dérivation (polynôme) et l'autre s'intègre facilement (exponentielle, cosinus, sinus).
Exemple corrigé : I = ∫₀¹ x eˣ dx. On pose v(x) = x (v' = 1) et u'(x) = eˣ (u = eˣ). Alors I = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.
Cas particulier utile : pour ∫ ln x dx, écrire ln x = 1 × ln x et intégrer par parties (u' = 1, v = ln x) donne la primitive x ln x − x.
4Pièges classiques
Ne pas confondre intégrale (un NOMBRE, éventuellement négatif) et aire (toujours positive) : pour une aire avec f négative, intégrer −f ou prendre l'opposé. Vérifier l'ordre des bornes avant d'utiliser la positivité (elle suppose a ≤ b). Dans une intégration par parties, écrire explicitement les choix de u' et v et vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple — sinon, échanger les rôles. Enfin, pour un encadrement d'intégrale, encadrer d'abord la FONCTION sur l'intervalle, puis intégrer les bornes de l'encadrement (croissance de l'intégrale).
Définitions à connaître par cœur
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8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. ∫₀¹ x² dx = …
- A.1/2
- B.1/3
- C.1
- D.2/3
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Réponse : B. 1/3
Primitive x³/3, donc [x³/3]₀¹ = 1/3.
2. Si f est continue et négative sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f est…
- A.l'aire du domaine
- B.l'opposé de l'aire
- C.nulle
- D.toujours positive
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Réponse : B. l'opposé de l'aire
L'intégrale est une aire algébrique : elle compte négativement sous l'axe des abscisses.
3. La fonction x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est…
- A.la dérivée de f
- B.la primitive de f qui s'annule en a
- C.une constante
- D.l'aire totale sous f
Voir la réponse
Réponse : B. la primitive de f qui s'annule en a
C'est le théorème fondamental : sa dérivée est f et elle vaut 0 en a.
4. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est :
- A.∫ₐᵇ f(x) dx
- B.(1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx
- C.(f(a) + f(b))/2
- D.F(b) − F(a)
Voir la réponse
Réponse : B. (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx
On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.
5. La formule d'intégration par parties est :
- A.∫u'v = [uv] + ∫uv'
- B.∫u'v = [uv] − ∫uv'
- C.∫uv = [u'v'] − ∫u'v'
- D.∫u'v' = [uv] − ∫uv
Voir la réponse
Réponse : B. ∫u'v = [uv] − ∫uv'
Elle découle de la dérivée du produit : (uv)' = u'v + uv'.
6. ∫₀¹ x eˣ dx = …
- A.e
- B.e − 1
- C.1
- D.e/2
Voir la réponse
Réponse : C. 1
Par parties : [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1.
7. Si f ≤ g sur [a ; b] (a ≤ b), alors…
- A.∫f ≥ ∫g
- B.∫f ≤ ∫g
- C.∫f = ∫g
- D.on ne peut rien dire
Voir la réponse
Réponse : B. ∫f ≤ ∫g
Croissance de l'intégrale : on intègre l'inégalité en gardant son sens.
8. L'aire entre deux courbes avec f ≥ g sur [a ; b] vaut :
- A.∫ₐᵇ (f + g)
- B.∫ₐᵇ (f − g)
- C.∫ₐᵇ f × ∫ₐᵇ g
- D.|∫ₐᵇ f| − |∫ₐᵇ g|
Voir la réponse
Réponse : B. ∫ₐᵇ (f − g)
On intègre la différence des deux fonctions, positive par hypothèse.
Questions fréquentes
Comment calculer une intégrale au bac ?
Trouve une primitive F de f (formules usuelles ou formes composées), puis applique ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si l'intégrande est un produit type polynôme × exponentielle, pense à l'intégration par parties.
Quelle est la différence entre intégrale et aire ?
L'intégrale est un nombre algébrique : positive quand la courbe est au-dessus de l'axe, négative en dessous. Une aire est toujours positive : pour une portion sous l'axe, l'aire vaut l'opposé de l'intégrale.
Comment choisir u' et v dans une intégration par parties ?
Choisis pour v le facteur qui se SIMPLIFIE en dérivant (typiquement le polynôme) et pour u' le facteur facile à intégrer (eˣ, cos, sin). Vérifie que la nouvelle intégrale ∫uv' est plus simple que l'originale.
Comment encadrer une intégrale sans la calculer ?
Encadre la fonction sur l'intervalle (m ≤ f(x) ≤ M), puis intègre : m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b − a). C'est la croissance de l'intégrale appliquée aux fonctions constantes.