Loi binomiale et variables aléatoires : fiche de révision

1Épreuve, schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p). Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves IDENTIQUES et INDÉPENDANTES. La variable X comptant le nombre de succès suit alors la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).

Formule : P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ pour k de 0 à n. Le coefficient C(n, k) compte les chemins de l'arbre réalisant k succès ; pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ est la probabilité de chacun. Espérance : E(X) = np. Variance : V(X) = np(1 − p), écart type σ = √(np(1−p)).

Avant d'utiliser la binomiale, JUSTIFIER les trois points : deux issues, répétition à l'identique, indépendance (tirages avec remise ou assimilés).

2Opérations sur les variables aléatoires

Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = aE(X) + b et, pour TOUTES variables (indépendantes ou non), E(X + Y) = E(X) + E(Y). Pour la variance : V(aX + b) = a²V(X). La constante additive ne change pas la dispersion, le facteur est élevé au carré. Si X et Y sont INDÉPENDANTES : V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Échantillon de taille n : si X₁, …, Xₙ sont indépendantes de même loi que X, leur somme Sₙ vérifie E(Sₙ) = nE(X) et V(Sₙ) = nV(X) ; la moyenne Mₙ = Sₙ/n vérifie E(Mₙ) = E(X) et V(Mₙ) = V(X)/n. La dispersion de la moyenne diminue quand n grandit : c'est la clé de la suite.

3Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout a > 0, P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ V(X)/a². Elle majore la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins a, sans rien connaître de la loi, au prix d'une majoration souvent grossière.

Appliquée à la moyenne Mₙ d'un échantillon : P(|Mₙ − E(X)| ≥ a) ≤ V(X)/(na²), qui tend vers 0 quand n → +∞. C'est la LOI (faible) DES GRANDS NOMBRES : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance. Elle justifie l'estimation d'une probabilité par une fréquence observée et l'interprétation de E(X) comme « valeur moyenne sur le long terme ».

4Exemple corrigé

Un QCM comporte 10 questions à 4 choix ; un élève répond entièrement au hasard. X = nombre de bonnes réponses.

1) Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès p = 1/4), répétée 10 fois de façon identique et indépendante : X ~ B(10 ; 0,25).

2) P(X = 3) = C(10, 3) × 0,25³ × 0,75⁷ ≈ 120 × 0,015625 × 0,1335 ≈ 0,250.

3) E(X) = np = 2,5 : en moyenne 2,5 bonnes réponses. V(X) = np(1−p) = 1,875, σ ≈ 1,37.

4) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,75¹⁰ ≈ 0,944 : le réflexe du complémentaire pour « au moins un ».

Pièges : oublier de justifier le modèle ; confondre P(X ≥ k) et P(X > k) (à la calculatrice, vérifier si la fonction cumule « ≤ » et adapter) ; appliquer V(X + Y) = V(X) + V(Y) sans indépendance.