Primitives et équations différentielles : fiche de révision

1Primitives : définition et calcul

F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F' = f. Toute fonction continue sur I admet des primitives, et deux primitives de f diffèrent d'une constante : l'ensemble des primitives s'écrit F + C. Une condition du type F(x₀) = y₀ fixe la constante et rend la primitive unique.

Primitives usuelles (à une constante près) : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1) ; 1/x → ln x (sur ]0 ; +∞[) ; eˣ → eˣ ; 1/√x → 2√x ; cos x → sin x ; sin x → −cos x.

Formes composées à reconnaître : u'eᵘ → eᵘ ; u'/u → ln u (u > 0) ; u'uⁿ → uⁿ⁺¹/(n+1) ; u'/√u → 2√u ; u'/u² → −1/u. Le réflexe : repérer u, vérifier que u' est en facteur (quitte à ajuster une constante multiplicative).

2L'équation y' = ay

Théorème : les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y' = ay (a réel non nul) sont exactement les fonctions x ↦ C e^(ax), où C est une constante réelle quelconque. La condition initiale y(x₀) = y₀ détermine C de façon unique.

Interprétation : y' = ay modélise les évolutions à taux de variation proportionnel à la valeur — croissance exponentielle (a > 0 : population, intérêts continus) ou décroissance exponentielle (a < 0 : décharge d'un condensateur, décroissance radioactive, refroidissement).

3L'équation y' = ay + b

Théorème : pour a ≠ 0, les solutions de y' = ay + b sont les fonctions x ↦ C e^(ax) − b/a. La constante −b/a est la SOLUTION PARTICULIÈRE CONSTANTE (dite d'équilibre) : elle s'obtient en cherchant y constante, donc y' = 0, donc 0 = ay + b, d'où y = −b/a. La solution générale est la somme « solution générale de l'équation homogène y' = ay » + « solution particulière ».

Exemple corrigé : résoudre y' = 2y − 6 avec y(0) = 5. Solution d'équilibre : y = 3. Solutions générales : y(x) = C e^(2x) + 3. Condition initiale : y(0) = C + 3 = 5, donc C = 2. Conclusion : y(x) = 2e^(2x) + 3.

4Méthode et pièges

Rédaction attendue : identifier a et b, citer le théorème du cours, écrire la solution générale, PUIS utiliser la condition initiale pour déterminer C, et vérifier éventuellement (dériver la solution trouvée et contrôler l'équation).

Pièges : erreur de signe sur −b/a (dans y' = ay + b, la solution d'équilibre est −b/a, pas b/a — pour y' = 2y − 6, b = −6 et −b/a = 3) ; confondre avec la primitive (y' = f(x) se résout par primitivation, y' = ay est une équation différentielle en y) ; oublier la constante C ou la déterminer avant d'avoir écrit la forme générale. Les exercices de bac habillent souvent l'équation (vérifier qu'une fonction donnée est solution, changement de fonction inconnue z = y − ℓ) : suis les étapes de l'énoncé, elles reconstruisent la théorie.