Produit scalaire dans l'espace et orthogonalité : fiche de révision

1Le produit scalaire dans l'espace

Dans un repère ORTHONORMÉ, pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') : u·v = xx' + yy' + zz'. Autres expressions : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v), et u·v = (1/2)(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²). Norme : ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; distance AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

Propriété centrale : u et v sont ORTHOGONAUX si et seulement si u·v = 0. Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, et les identités remarquables s'appliquent : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖².

2Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur du plan ; il suffit qu'il soit orthogonal à DEUX vecteurs non colinéaires du plan. Théorème : le plan de vecteur normal n(a ; b ; c) a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 ; réciproquement, toute équation de ce type (a, b, c non tous nuls) définit un plan de vecteur normal n(a ; b ; c).

Méthode pour trouver l'équation d'un plan passant par A de normal n : écrire ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) les coordonnées de n, puis déterminer d en reportant les coordonnées de A. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan ; deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs normaux sont orthogonaux.

3Projection orthogonale et distance

Le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point d'intersection de P avec la droite passant par M dirigée par un vecteur normal n : c'est le point du plan LE PLUS PROCHE de M, et la distance de M au plan vaut MH.

Formule de la distance d'un point A(x_A ; y_A ; z_A) au plan ax + by + cz + d = 0 : d(A, P) = |ax_A + by_A + cz_A + d| / √(a² + b² + c²).

Méthode « à la main » (souvent exigée) : paramétrer la droite (M ; n), reporter dans l'équation du plan pour trouver t, en déduire H puis calculer MH. Le projeté orthogonal sur une DROITE se traite de même avec la condition HM·u = 0.

4Exemple corrigé

Soit P : 2x − y + 2z − 3 = 0 et A(1 ; 4 ; 0). Distance de A à P ?

Par la formule : d(A, P) = |2×1 − 4 + 2×0 − 3| / √(2² + (−1)² + 2²) = |−5| / √9 = 5/3.

Retrouvons le projeté H : la droite (A ; n) avec n(2 ; −1 ; 2) s'écrit x = 1 + 2t, y = 4 − t, z = 2t. Report dans P : 2(1 + 2t) − (4 − t) + 2(2t) − 3 = 0, soit 9t − 5 = 0 et t = 5/9. D'où H(19/9 ; 31/9 ; 10/9), et l'on vérifie AH = ‖t·n‖ = (5/9) × 3 = 5/3 : cohérent.

Piège : ne pas oublier la valeur absolue au numérateur, et prendre les coefficients de l'équation SOUS FORME ax + by + cz + d = 0 (tout passer du même côté avant de lire a, b, c, d).