Vecteurs, droites et plans de l'espace : fiche de révision

1Vecteurs de l'espace et colinéarité

Les règles du plan s'étendent à l'espace : relation de Chasles, colinéarité (u et v colinéaires s'il existe k tel que v = ku), coordonnées dans un repère (O ; i, j, k). Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Nouveauté de l'espace : la COPLANARITÉ. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires s'il existe des réels a et b tels que w = au + bv (avec u et v non colinéaires). Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si les vecteurs AB, AC, AD le sont. Une base de l'espace est un triplet de vecteurs NON coplanaires : tout vecteur se décompose alors de façon unique.

2Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par A(x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u(α ; β ; γ) est l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que x = x₀ + tα, y = y₀ + tβ, z = z₀ + tγ, pour t décrivant ℝ. Chaque valeur de t donne un point de la droite ; le vecteur directeur se lit sur les coefficients de t.

Usage : vérifier qu'un point appartient à la droite (chercher un t cohérent sur les TROIS équations), trouver l'intersection de deux droites (égaler les deux systèmes avec des paramètres DIFFÉRENTS t et t'), déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan (reporter les expressions paramétriques dans l'équation du plan).

3Positions relatives

Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires (sécantes ou parallèles) ou NON COPLANAIRES (ni sécantes ni parallèles — situation impossible dans le plan). Méthode : comparer d'abord les vecteurs directeurs (colinéaires ⇒ parallèles) ; sinon, chercher un point commun ; sans point commun, elles sont non coplanaires.

Une droite et un plan sont soit sécants (un point), soit parallèles (la droite est incluse dans le plan ou strictement parallèle). Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une DROITE), soit parallèles. Le théorème « du toit » et les théorèmes d'incidence justifient les constructions de sections planes de solides, exercice classique de l'enseignement de spécialité.

4Exemple corrigé

Les droites d : (x ; y ; z) = (1 + t ; 2t ; 3 − t) et d' : (x ; y ; z) = (2 + s ; 1 + s ; 1) sont-elles sécantes ?

Vecteurs directeurs : u(1 ; 2 ; −1) et v(1 ; 1 ; 0) : non colinéaires (les coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc d et d' ne sont pas parallèles. Cherchons un point commun : 1 + t = 2 + s ; 2t = 1 + s ; 3 − t = 1. La troisième équation donne t = 2 ; la première donne s = 1 ; vérification dans la deuxième : 2t = 4 et 1 + s = 2 — contradiction. Pas de point commun : d et d' sont NON COPLANAIRES.

Piège évité : utiliser deux paramètres distincts t et s. Avec un seul paramètre, on ne cherche pas un point commun mais des points « synchronisés », et on conclut faux.