Fiche de révision : Analyse des hyperboles, asymptotes et fonctions rationnelles

📋 Plan du Cours

1. Hyperbole : détermination de a et b
2. Asymptotes et construction de l’hyperbole
3. Intersection hyperbole et droite y = mx
4. Fonction rationnelle : asymptotes et graphe
5. Fonctions affines : variations et constructions

📖 1. Hyperbole : détermination de a et b

🔑 Notions clés & Définitions

• Hyperbole : Courbe de type $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$, définie pour $x\neq 2$, dont la forme dépend des paramètres $a$ et $b$.
• Paramètres a et b : Réels à déterminer pour que l’hyperbole donnée passe par des points imposés du plan.

📝 Points essentiels

• Pour $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$, imposer $A(1;4)$ donne une équation reliant $a$ et $b$.
• Imposer $B(3;2)$ donne une seconde équation reliant $a$ et $b$.
• Résoudre le système des deux équations fournit les valeurs de $a$ et $b$.

📖 2. Asymptotes et construction de l’hyperbole

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptotes : Droites vers lesquelles la courbe se rapproche quand $x$ tend vers une valeur exclue ou vers $\pm\infty$.
• Construction de l’hyperbole : Tracer la courbe en utilisant ses asymptotes et des points obtenus à partir de l’équation.

📝 Points essentiels

• Pour $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$, l’asymptote verticale est $x=2$.
• L’asymptote horizontale vaut le rapport des coefficients dominants, ici $y=a$.
• Pour construire, placer des points (comme ceux imposés) et utiliser la position par rapport aux asymptotes.

📖 3. Intersection hyperbole et droite y = mx

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Point(s) commun(s) entre l’hyperbole et la droite $y=mx$.
• Paramètre m : Coefficient directeur de la droite $y=mx$ qui conditionne le nombre de solutions.

📝 Points essentiels

• Résoudre $mx=\dfrac{ax+b}{x-2}$ revient à transformer en une équation du type $\text{(expression en }x\text{)}=0$.
• Le nombre d’intersections dépend du discriminant de l’équation obtenue (selon $m$).
• Les solutions $x$ donnent les points d’intersection via $y=mx$.

📖 4. Fonction rationnelle : asymptotes et graphe

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction rationnelle : Fonction de la forme $g(x)=\dfrac{\text{polynôme}}{\text{polynôme}}$, ici avec un dénominateur qui impose un domaine restreint.
• Graphe : Ensemble des points $(x,g(x))$ pour $x$ appartenant au domaine de définition.

📝 Points essentiels

• Pour $g(x)=\dfrac{3+2x}{x-1}$, le domaine exclut $x=1$.
• Le zéro de $g$ se trouve en résolvant $3+2x=0$.
• Les asymptotes s’obtiennent : verticale $x=1$ et horizontale $y=2$ (quotient des termes dominants).

📖 5. Fonctions affines : variations et constructions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x)=ax+b$, dont le graphe est une droite.
• Tableau de variations : Organisation des valeurs de $f(x)$ selon $x$, basée sur le signe de la pente $a$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax+b$, le sens de variation dépend du signe de $a$ : $a>0$ croît, $a<0$ décroît.
• Pour déterminer $a$ et $b$ avec deux points, utiliser la pente a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A puis déduire $b$.
• Les graphes de $g,h,j$ se construisent à partir de celui de $f$ par transformations (symétrie/translation) indiquées par les expressions.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’asymptote verticale (valeur exclue du dénominateur, ici $x=2$ ou $x=1$) avec l’asymptote horizontale.
2. Oublier que l’intersection avec $y=mx$ impose de résoudre une équation après substitution, pas de comparer directement les formes.
3. Se tromper de sens de variation d’une affine en prenant le signe de $a$ à l’envers.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer $a$ et $b$ pour une hyperbole $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$ à partir de deux points.
2. Donner les équations des asymptotes (verticale et horizontale) puis construire la courbe avec des points repères.
3. Résoudre l’intersection de l’hyperbole avec $y=mx$ et conclure selon $m$ (nombre de solutions).
4. Pour $g(x)=\dfrac{3+2x}{x-1}$ : trouver domaine, zéro, asymptotes et savoir tracer le graphe.
5. Pour les fonctions affines : calculer $a,b$ à partir de deux points, dresser le tableau de variations, et construire des graphes transformés sans repartir de zéro.