Fiche de révision : Bases et propriétés des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs
2. Calculs littéraux
3. Propriétés des puissances
4. Calculs avec puissances négatives
5. Définition de la fonction
6. Représentation graphique des fonctions
7. Fonctions linéaires et affines
8. Propriétés des triangles
9. Théorème de Pythagore
10. Théorème de Thalès
11. Symétries et transformations
12. Calculs de longueurs et d’angles

📖 1. Nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Nombre pouvant être positif ou négatif, y compris zéro. Exemple : +5, −3, 0.
  Point essentiel : ils se représentent sur une droite graduée et incluent tous les nombres avec signe.

• Droite graduée : Représentation graphique où chaque point correspond à un nombre relatif, avec origine 0 et unité de longueur.
  Point essentiel : permet de visualiser la position et la distance d’un nombre par rapport à zéro.

• Opposé d’un nombre : Nombre de même module (distance à zéro) mais de signe contraire.
  Point essentiel : l’opposé de +3 est −3, et l’opposé de −5 est +5.

• Comparaison de deux nombres relatifs :

  • Si de même signe, celui avec la plus grande distance à zéro est le plus grand.
  • Si de signes contraires, le nombre négatif est toujours inférieur.
    Point essentiel : la comparaison se fait en regardant la distance à zéro ou le signe.

• Opération d’addition :

  • Même signe : on additionne les modules, conserve le signe.
  • Signes contraires : on soustrait les modules, conserve le signe du nombre avec la plus grande distance.
    Point essentiel : l’addition dépend du signe et de la distance à zéro.

• Multiplication de deux nombres relatifs :

  • Même signe : résultat positif.
  • Signes contraires : résultat négatif.
    Point essentiel : le signe du produit dépend des signes des facteurs.

📝 Point à retenir

Les nombres relatifs se représentent sur une droite graduée, leur comparaison se fait en fonction de leur distance à zéro, et les opérations suivent des règles précises selon le signe et la magnitude.

📖 2. Calculs littéraux

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Expression mathématique utilisant des lettres (variables) pour représenter des nombres inconnus ou variables. Exemple : 3x + 5.

• Simplifier une expression : Réduire une expression littérale en regroupant et en réduisant les termes semblables, en utilisant les propriétés des opérations. Exemple : 2x + 3x = 5x.

• Distributivité : Propriété permettant de multiplier un terme par une somme ou différence, en le distribuant à chaque terme. Formule : a(b + c) = ab + ac.

• Factorisation : Opération consistant à écrire une expression comme un produit de facteurs. Exemple : 6x + 9 = 3(2x + 3).

• Équation : Égalité contenant une ou plusieurs variables. Exemple : 2x + 3 = 7.

• Résoudre une équation : Trouver la ou les valeurs de la variable qui rendent l'égalité vraie. Exemple : pour 2x + 3 = 7, on soustrait 3 puis divise par 2 : x = 2.

📝 Points essentiels

• La simplification d'une expression littérale repose sur la combinaison de termes semblables (mêmes variables et mêmes exposants).

• La distributivité est essentielle pour développer une expression ou la factoriser, facilitant la résolution d'équations.

• La résolution d'une équation consiste à isoler la variable en effectuant des opérations inverses, en respectant l'équilibre de l'égalité.

• La factorisation permet de simplifier l'expression ou de résoudre des équations en mettant en facteur commun.

• Lorsqu'on résout une équation, il faut vérifier la solution dans l'expression initiale pour s'assurer qu'elle est valable.

💡 À retenir

Les calculs littéraux s'appuient sur la simplification, la distributivité et la factorisation pour manipuler et résoudre efficacement des expressions et équations. La maîtrise de ces propriétés facilite la résolution de problèmes algébriques.

📖 3. Propriétés des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

Puissance
Expression de la forme $a^n$, où $a$ est la base et $n$ l'exposant. Elle indique la multiplication répétée de $a$ par lui-même $n$ fois (pour $n$ entier naturel).
Exemple : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

Propriété de la puissance d’un produit
Pour tous $a$ et $b$ réels et tout entier naturel $n$, $(ab)^n = a^n \times b^n$.
Point essentiel : La puissance d’un produit est le produit des puissances.

Propriété de la puissance d’une puissance
Pour tout $a$ réel et tous $m, n$ entiers, $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
Point essentiel : La puissance d’une puissance multiplie les exposants.

Propriété de la puissance d’un quotient
Pour tous $a \neq 0$, $b \neq 0$, et tout entier naturel $n$, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Point essentiel : La puissance d’un quotient est le quotient des puissances.

Puissance de 10
Les puissances de 10 sont utilisées pour écrire des grands ou petits nombres :

• $10^n$ où $n$ est un entier, représente 1 suivi de $n$ zéros (pour $n \geq 0$).
  Exemple : $10^3 = 1000$.
• $10^{-n}$ représente 1 divisé par $10^n$.
  Exemple : $10^{-2} = 0,01$.

Écriture scientifique
Forme d’écriture d’un nombre sous la forme $a \times 10^n$, avec $a$ un nombre décimal compris entre 1 et 10, et $n$ un entier.
Exemple : $3,2 \times 10^4$ pour 32 000.

Point à retenir

Les propriétés des puissances permettent de simplifier et de manipuler efficacement les expressions contenant des puissances, notamment en utilisant la multiplication des exposants ou la décomposition en puissances de 10.

📖 4. Calculs avec puissances négatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance négative : Une puissance dont l'exposant est un nombre négatif, par exemple $a^{-n}$, où $a \neq 0$ et $n > 0$. Elle représente l'inverse de la puissance positive correspondante : $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$.

• Propriété de la puissance négative : Pour tout $a \neq 0$ et tout entier $n > 0$, $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$. Cela permet de transformer une puissance négative en une fraction.

• Puissance d'une puissance : La règle $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$. Elle s'applique aussi lorsque $m$ ou $n$ sont négatifs, en respectant la règle de multiplication des exposants.

• Produit de puissances de même base : La règle $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$. Elle est valable pour tout $a \neq 0$ et tout $m, n$ réels.

• Division de puissances de même base : La règle $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$, pour $a \neq 0$. Elle permet de simplifier des expressions avec puissances.

• Notion à retenir : Les puissances négatives permettent d'exprimer des inverses et facilitent la simplification d'expressions algébriques en utilisant les règles des exposants.

📝 Points essentiels

• La puissance négative d’un nombre $a$ est égale à l’inverse de sa puissance positive : $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$.

• Lorsqu’on manipule des puissances négatives, il est souvent utile de transformer ces puissances en fractions pour simplifier le calcul.

• Les règles de calcul avec puissances (produit, quotient, puissance d’une puissance) s’appliquent aussi aux puissances négatives, en respectant la règle de la multiplication ou de la soustraction des exposants.

• La simplification d’expressions comportant des puissances négatives repose sur la propriété $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$, permettant de réduire l’expression à une forme plus simple.

• La notation scientifique utilise souvent des puissances négatives de 10 pour exprimer des très petites valeurs (ex : $3,2 \times 10^{-5}$).

💡 À retenir

Les puissances négatives permettent d'exprimer l'inverse d'une puissance positive et facilitent la manipulation d'expressions algébriques en utilisant les règles des exposants.

📖 5. Définition de la fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (domaine) un unique élément d’un ensemble d’arrivée (codomaine).
  Exemple : La fonction f(x) = 2x associe à chaque nombre réel x son double.

• Domaine : Ensemble des valeurs possibles pour la variable d’entrée (x) d’une fonction.
  Exemple : Pour f(x) = 1/x, le domaine est tous les réels sauf 0.

• Image : La valeur de la fonction correspondant à un élément du domaine.
  Exemple : Si f(3) = 6, alors 6 est l’image de 3 par la fonction.

• Notion d’unicité : Pour chaque x dans le domaine, il existe une seule image y. La fonction ne peut pas associer plusieurs images à un même x.

• Représentation graphique : Visualisation de la fonction sous forme de courbe dans un plan, où l’axe horizontal représente x (entrée) et l’axe vertical y (image).

• Fonction affine : Fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes. La courbe est une droite.

📝 Points essentiels

• La fonction établit une correspondance univoque entre chaque élément du domaine et un seul élément du codomaine.
• La représentation graphique permet de visualiser la relation et d’étudier ses propriétés (croissance, décroissance, symétrie).
• La définition d’une fonction peut être donnée par une formule, un tableau, une courbe ou une règle verbale.
• La notion de domaine est essentielle : certaines fonctions ne sont pas définies pour tous les réels (ex : racine carrée, 1/x).

💡 À retenir

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur d’un ensemble de départ une seule valeur dans un ensemble d’arrivée, permettant de modéliser et d’étudier des relations entre variables.

📖 6. Représentation graphique des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (ensemble de définition) un unique élément d’un ensemble d’arrivée (ensemble d’image).
  Exemple : $f(x) = 2x + 1$.

• Graphique d’une fonction : Représentation dans un repère cartésien de l’ensemble des points $(x, y)$ tels que $y = f(x)$.
  Exemple : La courbe de $f(x) = x^2$ dans un repère.

• Courbe représentative : La courbe tracée dans le repère qui représente graphiquement la fonction.
  Point essentiel : La courbe est continue si la fonction est continue.

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie.
  Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$.

• Image ou valeur de la fonction : Le point $y$ associé à un $x$ dans le graphique, tel que $y = f(x)$.
  Exemple : Si $f(2) = 5$, le point $(2, 5)$ appartient au graphique.

• Pente d’une droite : Taux de variation ou coefficient directeur, mesurant l’inclinaison de la droite.
  Formule : $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique permet de visualiser le comportement d’une fonction (croissance, décroissance, extrema, asymptotes).
• La courbe peut être continue ou discontinue selon la nature de la fonction.
• La lecture du graphique permet d’obtenir rapidement des valeurs ou de repérer des propriétés (zéros, maximum, minimum).
• La pente d’une droite (fonction affine) indique si la fonction est croissante (pente positive) ou décroissante (pente négative).
• La compréhension du domaine est essentielle pour tracer la courbe et interpréter ses variations.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction offre une visualisation claire de son comportement, facilitant l’analyse de ses variations, ses extrema et ses caractéristiques principales.

📖 7. Fonctions linéaires et affines

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction linéaire
Une fonction $f$ est dite linéaire si elle peut s’écrire sous la forme :
$f(x) = ax$
où $a$ est une constante appelée coefficient directeur.
Point essentiel : La fonction passe par l’origine (0,0) et la représentation graphique est une droite passant par ce point.

Fonction affine
Une fonction $f$ est affine si elle peut s’écrire sous la forme :
$f(x) = ax + b$
où $a$ et $b$ sont des constantes.
Point essentiel : La droite représentative ne passe pas forcément par l’origine, mais par un point (0, $b$).

Coefficient directeur (pente)
Le nombre $a$ dans l’équation $f(x) = ax + b$. Il indique l’inclinaison de la droite :

• $a > 0$ : la droite monte quand on va vers la droite.
• $a < 0$ : la droite descend.
• $a = 0$ : la droite est horizontale.

Ordonnée à l’origine
Le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe $y$), c’est-à-dire la valeur de $f(0)$, égale à $b$ dans $f(x) = ax + b$.

Représentation graphique
Une droite dans le plan cartésien, dont l’équation est soit $f(x) = ax$ (linéaire) soit $f(x) = ax + b$ (affine). La pente $a$ détermine l’angle d’inclinaison.

📝 Points essentiels

• La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine avec $b=0$.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
• La pente $a$ indique la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente de 1.
• La valeur $b$ détermine le point d’intersection avec l’axe $y$.
• La lecture graphique permet de déterminer rapidement la pente et l’ordonnée à l’origine.
• La fonction affine est utile pour modéliser des relations proportionnelles ou avec un décalage constant.

💡 À retenir

Une fonction affine est une droite du plan dont l’équation est $f(x) = ax + b$, où $a$ est la pente et $b$ l’ordonnée à l’origine. La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine avec $b=0$.

📖 8. Propriétés des triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle : Figure géométrique à trois côtés et trois angles. Les côtés se rencontrent en trois points appelés sommets.

• Isocèle : Triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux.

• Équilatéral : Triangle dont les trois côtés sont de même longueur. Les trois angles sont égaux à 60°.

• Rectangle : Triangle ayant un angle droit (90°). Deux côtés adjacents forment un angle droit.

• Triangle rectangle : Triangle avec un angle droit. La longueur du côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

• La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°.

• La propriété des côtés : dans un triangle, le côté opposé à l’angle le plus grand est le plus long ; celui opposé à l’angle le plus petit est le plus court.

• La propriété des angles : dans un triangle, si deux angles sont égaux, alors les côtés opposés sont de même longueur (triangle isocèle).

• La relation entre les côtés et les angles : dans un triangle, un angle plus grand est opposé à un côté plus long.

• La formule du théorème de Pythagore : $c^2 = a^2 + b^2$, où $c$ est l’hypoténuse, et $a$, $b$ sont les autres côtés.

💡 À retenir

Les propriétés fondamentales des triangles permettent de déterminer leurs caractéristiques, de calculer leurs angles ou côtés, et de prouver des relations géométriques essentielles en mathématiques.

📖 9. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle ayant un angle droit (90°). La longueur du côté opposé à cet angle s’appelle l’hypoténuse, les deux autres côtés sont les cathéters.

• Hypoténuse : Le côté le plus long d’un triangle rectangle, situé en face de l’angle droit.

• Cathéters : Les deux côtés formant l’angle droit dans un triangle rectangle.

• Théorème de Pythagore : Énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des cathéters. Formellement :
  $c^2 = a^2 + b^2$ où $c$ est la longueur de l’hypoténuse, et $a$, $b$ celles des cathéters.

• Application : Permet de calculer la longueur d’un côté inconnu dans un triangle rectangle ou de vérifier si un triangle est rectangle.

📝 Points essentiels

• Le théorème s’applique uniquement aux triangles rectangles.
• La relation $c^2 = a^2 + b^2$ est fondamentale pour résoudre des problèmes de géométrie et de trigonométrie.
• La formule peut être utilisée pour déterminer la longueur d’un côté ou pour vérifier si un triangle est rectangle en comparant $c^2$ avec $a^2 + b^2$.
• La racine carrée de $c^2$ donne la longueur de l’hypoténuse, et de même pour les cathéters si leur longueur est inconnue.

💡 À retenir

Le théorème de Pythagore établit une relation essentielle entre les côtés d’un triangle rectangle, permettant de calculer ou de vérifier la nature d’un triangle en utilisant la formule $c^2 = a^2 + b^2$.

📖 10. Théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : Un principe géométrique qui établit une relation de proportionnalité entre des segments tracés dans un même triangle ou dans des figures similaires. Si deux droites sont coupées par deux transversales parallèles, alors les segments qu'elles déterminent sont proportionnels.

• Segments proportionnels : Deux paires de segments dans un même triangle ou dans des figures similaires qui vérifient la relation : $\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$, où les segments sont alignés selon des droites parallèles.

• Droites parallèles : Deux droites qui ne se rencontrent jamais, quel que soit leur prolongement. Leur propriété essentielle dans Thalès est qu'elles créent des segments proportionnels lorsqu'elles sont coupées par des transversales.

• Transversale : Une droite qui coupe deux autres droites, généralement parallèles, créant ainsi plusieurs segments. Dans le contexte de Thalès, elle coupe les droites parallèles pour former des segments proportionnels.

• Proportionnalité : Une relation mathématique indiquant que deux rapports de longueurs sont égaux, par exemple : $\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$. Elle permet de résoudre des problèmes de longueur dans des figures similaires.

• Application du Théorème : Utiliser la relation de proportionnalité pour calculer une longueur inconnue dans une figure géométrique, en connaissant les autres segments et en s'assurant que les droites sont parallèles.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Thalès s'applique lorsque deux droites sont coupées par deux transversales parallèles, créant des segments proportionnels.
• La relation fondamentale est : $\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$, où $AB$ et $DE$ sont des segments situés sur une même transversale, et $AC$ et $DF$ sur une autre.
• La propriété permet de résoudre des problèmes de longueur en utilisant la proportionnalité, notamment dans la résolution de figures similaires.
• La vérification de la parallélisme des droites est essentielle pour appliquer le théorème.
• Le théorème est un outil fondamental pour établir des rapports de longueurs dans des figures géométriques.

💡 À retenir

Le théorème de Thalès établit une relation de proportionnalité entre des segments dans un triangle ou une figure avec des droites parallèles, permettant de calculer des longueurs inconnues ou de vérifier le parallélisme.

📖 11. Symétries et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Transformation géométrique qui consiste à réfléchir une figure par rapport à une droite appelée axe de symétrie. Chaque point et son image sont équidistants de l'axe, et l'axe est invariant.

• Symétrie centrale : Transformation qui consiste à faire tourner une figure autour d’un point appelé centre de symétrie, de façon à ce que chaque point et son image soient alignés avec le centre, à égale distance.

• Transformation isométrique : Transformation qui conserve les distances et les angles. Elle inclut la symétrie, la translation, la rotation, et la réflexion.

• Translation : Déplacement d’une figure selon une direction et une distance données, sans changement de forme ni de taille.

• Rotation : Transformation qui fait tourner une figure autour d’un point fixe (centre de rotation) d’un certain angle.

• Réciproque : La transformation inverse d’une transformation donnée, permettant de revenir à la figure initiale.

📝 Points essentiels

• Les symétries sont des transformations qui préservent la forme et la taille des figures (isométriques).

• La symétrie axiale est caractérisée par un miroir : chaque point est réfléchi par rapport à une droite.

• La symétrie centrale correspond à une inversion par rapport à un point, souvent appelée "miroir" autour d’un centre.

• La translation déplace une figure sans la déformer, en conservant toutes ses propriétés géométriques.

• La rotation tourne la figure autour d’un point fixe, en conservant la taille et la forme.

• Toute transformation géométrique qui conserve distances et angles peut être décomposée en une combinaison de symétries, rotations et translations.

• La composition de deux symétries axiales peut produire une rotation ou une translation, selon leur position.

💡 À retenir

Les symétries et transformations sont des outils fondamentaux en géométrie, permettant d’étudier la conservation des propriétés des figures tout en modifiant leur position ou leur orientation. Toute transformation isométrique conserve la forme et la taille des figures, facilitant leur étude et leur classification.

📖 12. Calculs de longueurs et d’angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’un segment : La distance entre deux points A et B, notée AB, mesurée en unités de longueur (cm, m, etc.). La longueur est toujours positive ou nulle si les points coïncident.

• Angle : La figure formée par deux demi-droites partageant un même sommet. La mesure d’un angle s’exprime en degrés (°). Un angle droit mesure 90°, un angle plat 180°.

• Mesure d’un angle : La quantité d’ouverture entre deux demi-droites, exprimée en degrés. Se mesure à l’aide d’un rapporteur ou par calculs géométriques.

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (c) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (a et b) : c² = a² + b².

• Angles complémentaires et supplémentaires : Deux angles sont complémentaires si leur somme est 90°, supplémentaires si leur somme est 180°.

• Notion de rapporteur : Outil permettant de mesurer ou de tracer des angles en degrés. La graduation va de 0° à 180° ou 360° selon le type d’angle.

📝 Points essentiels

• La longueur d’un segment peut être calculée à partir de coordonnées ou à l’aide de propriétés géométriques (théorème de Pythagore, propriétés des triangles).

• La mesure d’un angle peut être déterminée par rapport à une demi-droite de référence ou à l’aide d’un rapporteur.

• La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°. La somme des angles d’un quadrilatère est 360°.

• Pour calculer la longueur ou la mesure d’un angle, il faut utiliser des formules géométriques ou des outils de mesure précis.

• La différence entre deux angles ou longueurs peut être trouvée par soustraction, en respectant les unités.

💡 À retenir

Les calculs de longueurs et d’angles reposent sur des propriétés fondamentales de la géométrie, comme le théorème de Pythagore et la somme des angles d’un triangle, permettant de résoudre efficacement des problèmes géométriques.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre l’opposé d’un nombre avec sa valeur absolue.
2. Oublier que la multiplication de deux puissances de même base additionne les exposants.
3. Confondre puissance négative et puissance fractionnaire.
4. Utiliser incorrectement la distributivité en développant ou factorisant.
5. Mauvaise interprétation de la comparaison de nombres relatifs (signe ou distance à zéro).
6. Oublier de vérifier la validité d’une solution dans une équation.
7. Confondre la notation scientifique avec une simple écriture numérique.
8. Appliquer une règle de puissance à une expression non conforme (ex : puissance d’un produit mal calculée).
9. Confondre la puissance d’un quotient avec le quotient des puissances.
10. Oublier que la puissance d’un nombre négatif peut être définie uniquement pour des exposants entiers.

✅ Checklist Examen

1. Savoir représenter un nombre relatif sur une droite graduée.
2. Maîtriser la règle d’addition des nombres relatifs selon leur signe.
3. Connaître et appliquer les propriétés des puissances (produit, puissance d’une puissance, quotient).
4. Transformer une puissance négative en fraction.
5. Simplifier une expression littérale en regroupant termes semblables.
6. Développer ou factoriser une expression en utilisant la distributivité.
7. Résoudre une équation simple en isolant la variable.
8. Reconnaître une puissance de 10 et l’utiliser pour écrire un nombre en notation scientifique.
9. Vérifier la cohérence d’une solution dans une équation.
10. Représenter graphiquement une fonction linéaire ou affine.
11. Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
12. Identifier la propriété de symétrie ou de translation dans une transformation.