★ À maîtriser
Les trois objectifs de l’économétrie sont d’estimer des relations économiques, de confronter la théorie aux faits et de tester des hypothèses, puis de prévoir le comportement de variables économiques.
Une étude économétrique comporte cinq étapes:
📌 Les séries temporelles suivent un individu sur plusieurs périodes, les données en coupe transversale observent plusieurs individus à un moment donné et les données de panel combinent les deux dimensions.
📌 La fiabilité des conclusions dépend de la qualité des données, de l’adéquation de la méthode d’estimation et de la capacité du modèle à représenter le processus générateur des données.
Compléments
Modèle, données, estimation, tests, interprétation
📐 Formule — Le modèle de régression linéaire simple s’écrit Y_t = α + βX_t + u_t, où Y_t est la variable dépendante, X_t la variable explicative, α et β les coefficients de régression et u_t le terme d’erreur.
📐 Formule — La fonction de régression estimée est Ŷ_t = α̂ + β̂X_t, tandis que le résidu estimé est û_t = Y_t − Ŷ_t = Y_t − α̂ − β̂X_t.
📐 Formule — La méthode des moindres carrés ordinaires choisit α̂ et β̂ afin de minimiser ESS(α̂,β̂) = Σ(Y_t − α̂ − β̂X_t)² = Σû_t².
📐 Formule — Les estimateurs MCO sont β̂ = S_XY/S_XX et α̂ = Ȳ − β̂X̄, avec S_XX = Σ(X_t − X̄)² et S_XY = Σ(X_t − X̄)(Y_t − Ȳ).
📌 L’estimation de β̂ exige que les valeurs observées de X varient, c’est-à-dire que Var(X) soit non nulle et que tous les X_t ne soient pas identiques.
Y = partie déterministe + erreur
📌 Sous les hypothèses 1 à 6, le théorème de Gauss-Markov établit que les estimateurs MCO sont les meilleurs estimateurs linéaires sans biais, ou BLUE.
📐 Formule — La décomposition de la variation totale est TSS = RSS + ESS, où TSS = Σ(Y_t − Ȳ)², RSS = Σ(Ŷ_t − Ȳ)² et ESS = Σû_t².
📐 Formule — Le coefficient de détermination est R² = RSS/TSS = 1 − ESS/TSS, avec 0 ≤ R² ≤ 1, et il mesure la part de la variation de Y expliquée par la régression.
Non biaisé, consistant, BLUE
★ À maîtriser
🔄 Processus — Un test d’hypothèse consiste à formuler H0 et H1, à construire une statistique dont la distribution est connue sous H0, puis à appliquer une règle de décision.
📌 Dans un test unilatéral à droite, H0 est rejetée si t_c > t* ; dans un test unilatéral à gauche, elle est rejetée si t_c < −t* ; dans un test bilatéral, elle est rejetée si |t_c| > t*.
📐 Formule — Un intervalle de confiance à (1 − a) % pour β est β̂ ± t*_{n−2}(a/2)s_β̂, et l’expression est analogue pour α.
Compléments
📐 Formule — Dans une régression simple, le test de Fisher de H0 : ρ_XY = 0 utilise F_c = R²(n − 2)/(1 − R²), qui suit une loi F à 1 et n − 2 degrés de liberté sous H0.
📌 Un changement d’unité de la variable dépendante rééchelonne les coefficients, les résidus et leurs erreurs-types, mais ne modifie pas les statistiques t, F ni R².
Tester avant de conclure
★ À maîtriser
📐 Formule — Pour une valeur X_0, la prévision de Y est Ŷ_0 = α̂ + β̂X_0.
📌 Le prédicteur moyen estime E(Y|X = X_0), tandis que la prévision individuelle vise une valeur particulière de Y correspondant à X_0 et comporte une incertitude plus grande.
📌 Une corrélation élevée entre X et Y ne suffit pas à établir que X cause Y, car une causalité inversée, une détermination simultanée ou une variable tierce peuvent expliquer l’association.
📐 Formule — Dans une régression multiple Y_t = β_1 + β_2X_{t2} + ⋯ + β_kX_{tk} + u_t, chaque coefficient mesure l’effet moyen de sa variable lorsque les autres variables explicatives restent constantes.
Compléments
📌 La fiabilité d’une prévision diminue lorsque X_0 est éloigné de la moyenne observée X̄, car l’erreur-type du prédicteur moyen augmente avec (X_0 − X̄)².
📐 Formule — Pour comparer des modèles de prévision, on peut retenir celui dont l’erreur quadratique moyenne MSE = Σ(Y_t^f − Y_t)²/(n − 2), ou sa racine RMSE, est la plus faible.
🔄 Processus — Les moindres carrés ordinaires en régression multiple estiment les k coefficients en minimisant ESS = Σ(Y_t − β̂_1 − β̂_2X_{t2} − ⋯ − β̂_kX_{tk})² et en annulant les k dérivées partielles correspondantes.
Corrélation ne signifie pas causalité
★ À maîtriser
📐 Formule — Le modèle de régression multiple s’écrit Yt = β1 + β2Xt2 + ⋯ + βkXtk + ut, avec une variable dépendante, k − 1 variables indépendantes et un terme constant.
🔄 Processus — Les estimateurs des moindres carrés ordinaires sont obtenus en minimisant ESS = Σt(Yt − β̂1 − β̂2Xt2 − ⋯ − β̂kXtk)² puis en annulant les k dérivées partielles de ESS, ce qui produit un système de k équations normales à k coefficients inconnus.
📌 La condition d’exogénéité de la régression multiple est E(ut|Xti) = 0, ce qui implique Cov(Xsi,ut) = 0 pour chaque variable indépendante i et chaque observation s,t.
📐 Formule — L’estimateur non biaisé de la variance des erreurs est s² = ESS/(n − k) = Σt ût²/(n − k), et le modèle ne peut être estimé que si n > k.
Compléments
Y expliqué par plusieurs X
★ À maîtriser
📐 Formule — La qualité d’ajustement est mesurée par R² = 1 − ESS/TSS = Σt(Ŷt − Ȳ)²/Σt(Yt − Ȳ)², avec 0 ≤ R² ≤ 1.
📌 L’ajout d’une variable explicative ne peut jamais diminuer le R², car l’ESS minimisée ne peut pas augmenter tandis que TSS reste inchangée.
📐 Formule — Le R² ajusté est R̄² = 1 − [(n − 1)/(n − k)](1 − R²), car il tient compte de la perte de degrés de liberté liée à l’ajout de variables.
📌 Le R² mesure l’ajustement sans pénaliser la complexité, tandis que le R² ajusté arbitre entre l’augmentation du R² et la diminution du nombre de degrés de liberté.
Compléments
📌 Pour comparer des modèles, les critères recommandés comprennent le R² ajusté et l’erreur-type des résidus √[ESS/(n − k)], et le modèle ayant la valeur la plus faible d’un critère pénalisé est préféré.
📌 Les modèles simples sont généralement préférés parce qu’ils réduisent le risque de multicolinéarité, conservent davantage de degrés de liberté et facilitent l’interprétation.
R² ajuste, les critères pénalisent
★ À maîtriser
📌 Les trois types de tests en régression multiple portent sur un coefficient individuel, un ensemble de coefficients considéré conjointement ou une combinaison linéaire de coefficients.
🔄 Processus — Pour tester H0: β = β0 contre une alternative unilatérale ou bilatérale, on calcule tc = (β̂ − β0)/sβ̂, qui suit sous H0 une loi de Student à n − k degrés de liberté, puis on rejette H0 si la statistique dépasse la valeur critique ou si la p-valeur est inférieure au seuil.
📐 Formule — Le test de Wald joint utilise Fc = [(ESSR − ESSU)/(k − m)]/[ESSU/(n − k)], qui suit sous H0 une loi F à k − m et n − k degrés de liberté.
📐 Formule — Le test de significativité globale du modèle teste H0: β2 = ⋯ = βk = 0 et utilise Fc = [R²/(k − 1)]/[(1 − R²)/(n − k)].
Compléments
📌 Dans le test de Wald, on rejette H0 si Fc est supérieure à la valeur critique de Fisher ou si la p-valeur est inférieure au seuil, puis on conserve le modèle non restreint.
t seul, F groupé
★ À maîtriser
📌 Les erreurs de spécification concernent le choix des variables, la forme fonctionnelle ou la structure des termes d’erreur.
📌 L’omission d’une variable importante rend généralement biaisés les coefficients des variables incluses, le terme constant et les prévisions, et peut invalider les tests d’hypothèses.
📌 L’inclusion d’une variable inutile conserve des coefficients inclus non biaisés et consistants, mais augmente leur variance et les rend moins efficients, tandis que les tests restent valides.
📌 En présence de multicolinéarité imparfaite, les estimateurs OLS restent BLUE et les tests restent valides, mais les erreurs-types augmentent, les statistiques t diminuent et l’interprétation des effets individuels devient difficile.
Compléments
📌 La constante doit généralement être conservée, car son omission force la droite de régression à passer par l’origine et peut biaiser la pente ainsi qu’augmenter les erreurs.
Omission biaise, inclusion disperse
★ À maîtriser
📐 Formule — Avec Yt = α + βDt + ut, α mesure la moyenne de Y dans le groupe de contrôle et β mesure l’écart moyen entre le groupe codé 1 et le groupe de contrôle.
📌 Pour une variable qualitative à J catégories avec constante, il faut utiliser J − 1 variables indicatrices, car l’ajout de J indicatrices crée une multicolinéarité exacte avec la constante.
📐 Formule — Dans un modèle avec une indicatrice et une variable quantitative, Yt = α1 + α2Dt + βXt + ut, α2 mesure la différence d’intercept entre les deux groupes lorsque la pente β est commune.
Compléments
📌 L’effet joint de plusieurs catégories peut être testé par un test de Wald en testant simultanément la nullité de leurs coefficients d’indicatrices.
Une catégorie reste de contrôle
★ À maîtriser
🔄 Processus — Pour autoriser des pentes différentes entre deux groupes définis par une variable binaire D_t, on ajoute au modèle le terme d’interaction D_tX_t après avoir créé la variable produit correspondante.
📐 Formule — Dans le modèle Y_t = α + β_1X_t + β_2D_tX_t + u_t, la pente est β_1 pour le groupe de référence et β_1 + β_2 pour le groupe D_t = 1.
📐 Formule — Lorsque l’intercept et la pente peuvent varier selon D_t, le modèle devient Y_t = α_1 + α_2D_t + β_1X_t + β_2D_tX_t + u_t.
📌 L’absence de différence entre les deux relations se teste par H0 : α_2 = β_2 = 0 contre H1 : α_2 et/ou β_2 ≠ 0 au moyen d’un test de Wald.
Compléments
📌 L’absence de différence de pente entre deux groupes se teste par un test en t sur le coefficient d’interaction β_2, avec n − 3 degrés de liberté dans le modèle présenté.
📌 Pour représenter des effets saisonniers différents sur l’intercept et la pente, on utilise trois variables binaires pour l’hiver, le printemps et l’été, l’automne servant de période de contrôle afin d’éviter la multicolinéarité exacte.
Intercept = niveau, interaction = pente
★ À maîtriser
📌 L’homoscédasticité impose Var(u_t|X_t) = σ² pour toutes les observations, tandis que l’hétéroscédasticité autorise une variance σ_t² différente selon t.
📌 En présence d’hétéroscédasticité ignorée, les estimateurs MCO restent non biaisés et consistants, mais ils deviennent inefficients et ne sont plus BLUE.
📌 Sous hétéroscédasticité, les variances et covariances estimées des coefficients sont biaisées et inconsistantes, de sorte que les tests en t et en F ne sont plus valables.
Compléments
📐 Formule — Avec des données agrégées par secteur, la variance de l’erreur moyenne vaut Var(ū_t) = σ²/n_t et varie entre secteurs lorsque leur nombre de firmes n_t diffère.
Même moyenne, variance différente
| Type | Dimension individuelle | Dimension temporelle |
|---|---|---|
| Série temporelle | Un individu | Plusieurs périodes |
| Coupe transversale | Plusieurs individus | Un moment |
| Panel | Plusieurs individus | Plusieurs périodes |
| Question | Test | Statistique |
|---|---|---|
| Un coefficient individuel | Test t | tc = (β̂ − β0)/sβ̂ |
| Plusieurs coefficients conjointement | Test de Wald | Fc = [(ESSR − ESSU)/(k − m)]/[ESSU/(n − k)] |
| Significativité globale | Wald global | Fc = [R²/(k − 1)]/[(1 − R²)/(n − k)] |
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