Fiche de révision : Insurance Economics: Demand and Pricing

📋 Plan du Cours

1. Risk, Uncertainty and Insurability
2. Origins of Insurance Contracts
3. Information and Market Expansion
4. Diversification and Risk Reduction
5. Lotteries and Expected Utility
6. Risk Attitudes and Certainty Equivalents
7. Insurance Demand and Coverage
8. Pooling and the Law of Large Numbers
9. Premium Construction and Insurability

📅 Repères chronologiques

1. 1347À Gênes, l'une des plus anciennes polices maritimes autonomes encore conservées couvrait le voyage du Santa Clara et séparait la prime du financement du navire et de la cargaison.
2. 1681En France, l'Ordonnance de la Marine codifie les règles du commerce maritime et de l'assurance, réduisant l'ambiguïté contractuelle et facilitant l'exécution des contrats.
3. 1734Lloyd's List commence à fournir des informations systématiques sur la navigation, les routes, la météo et les sinistres, ce qui réduit l'incertitude des souscripteurs.

📖 1. Risk, Uncertainty and Insurability

★ À maîtriser

📌 L'assurance fonctionne lorsqu'une perte est incertaine pour un individu mais suffisamment régulière dans un ensemble d'expositions comparables.

📌 Le risque correspond à des résultats identifiés dont les probabilités peuvent être estimées par les données, les modèles ou l'expertise, tandis que l'incertitude ne permet pas encore de construire un prix actuariel stable.

• La frontière de l'assurabilité progresse grâce à:
  • l'apprentissage et aux données
  • la prévention et au suivi
  • la standardisation
  • la conception contractuelle
  • la réassurance
  • les capacités des marchés de capitaux
  • un soutien public

Compléments

• L'expérience d'Ariane 5 a progressivement rendu son risque de lancement plus évaluable : après l'échec du premier vol en 1996, le troisième vol d'essai a réussi en 1998 et le lanceur a effectué 117 vols avant son retrait en 2023.

💡 Astuce mémo

Knowledge, data and institutions → uncertainty becomes priceable risk

📖 2. Origins of Insurance Contracts

🔑 Notions clés & Définitions

• Assurance autonome : sépare le financement du voyage et le transfert du risque : le marchand finance l'expédition et paie une prime à une autre partie pour couvrir une perte maritime définie

📝 Points essentiels

📌 Les premières communautés et les marchands mutualisaient les ressources pour indemniser les pertes dues au vol, à l'incendie, à la maladie ou au décès, tandis que le prêt à la grosse aventure finançait une expédition maritime avec remboursement conditionnel à l'arrivée du navire.

💡 Astuce mémo

Mutual aid → bottomry loan → autonomous insurance

📖 3. Information and Market Expansion

★ À maîtriser

• L'assurance passe des contrats spécialisés à l'assurance de masse avec le développement des contrats-vie, de l'assurance incendie, de nouvelles expositions industrielles, des tables de mortalité, de la théorie des probabilités et de la régulation publique.

Compléments

• En 1771, les souscripteurs de Lloyd's formalisent le marché de souscription qui deviendra Lloyd's, permettant à plusieurs participants de signer chacun une part d'un même risque.

💡 Astuce mémo

Information → underwriting → mass insurance

📖 4. Diversification and Risk Reduction

★ À maîtriser

• Dans le problème de Sempronius, une cargaison de 8 000 € soumise à une probabilité de naufrage de 10 % peut être placée sur un navire ou répartie à parts égales sur deux navires indépendants. — Bernoulli, 1738

📐 Formule — Pour un seul navire, avec une perte D de 8 000 € et une probabilité p de 10 %, la perte espérée est $E(X_1)=pD=800\,EUR$ et son écart-type est $sd(X_1)=2\,400\,EUR$.

📐 Formule — Avec deux navires indépendants transportant chacun 4 000 €, la perte espérée reste $E(X_2)=800\,EUR$, mais la variance est divisée par deux et l'écart-type devient environ $1\,697\,EUR$.

Compléments

📐 Formule — Si ρ est la corrélation entre les naufrages des deux navires, la variance de la perte diversifiée est $V(X_2)=\frac{D^2}{2}p(1-p)(1+\rho)$.

💡 Astuce mémo

Diversification reorganises exposures; insurance transfers losses

📖 5. Lotteries and Expected Utility

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : associe une conséquence numérique à chaque état possible de la nature

📝 Points essentiels

📐 Formule — L'espérance d'une variable aléatoire est $E(X)=\sum_s p_sx_s$ et représente une moyenne pondérée par les probabilités.

📌 Une loterie est une distribution de probabilités sur des niveaux de richesse finale, et la théorie de l'utilité espérée lui attribue la valeur $V(L)=\sum_s p_su(w_s)=E[u(W)]$.

📐 Formule — Pour une perte D subie avec une probabilité p par un ménage disposant d'une richesse initiale w₀, la richesse espérée est $E(W)=w_0-pD$, alors que l'utilité espérée est $E[u(W)]=pu(w_0-D)+(1-p)u(w_0)$.

📖 6. Risk Attitudes and Certainty Equivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalent certain : est le niveau de richesse reçu avec certitude qui procure la même utilité que la loterie, défini par $u(CE)=E[u(W)]$

📝 Points essentiels

📌 Une fonction d'utilité concave caractérisée par $u''<0$ décrit l'aversion au risque, une fonction linéaire par $u''=0$ la neutralité au risque et une fonction convexe par $u''>0$ l'attrait pour le risque.

📐 Formule — Pour une fonction d'utilité concave, l'inégalité de Jensen donne $E[u(W)]\leq u(E[W])$ : la richesse certaine égale à la moyenne est préférée à la richesse risquée de même moyenne.

📐 Formule — La prime de risque est $\pi=E(W)-CE$ et mesure le montant de richesse espérée que l'individu accepterait de sacrifier pour éliminer le risque.

💡 Astuce mémo

Concave utility prefers certainty; convex utility prefers risk

📖 7. Insurance Demand and Coverage

★ À maîtriser

📌 Pour une indemnité q comprise entre 0 et D, q=0 correspond à l'absence d'assurance, 0<q<D à l'assurance partielle et q=D à l'assurance complète.

📐 Formule — Si α est le prix d'un euro d'indemnité, la prime est $P(q)=\alpha q$, la richesse finale en cas de perte est $w_0-D+q-\alpha q$ et celle sans perte est $w_0-\alpha q$.

📌 Un ménage accepte une assurance complète seulement si la prime demandée vérifie $P\leq P_{max}$, tandis que l'assureur doit couvrir les sinistres attendus et ses coûts de fourniture.

📌 Lorsque le prix est actuariellement juste, c'est-à-dire $\alpha=p$, un ménage averse au risque choisit l'assurance complète $q=D$.

Compléments

📌 Lorsque $\alpha>p$, la couverture est chargée, l'assurance réduit à la fois le risque et la richesse espérée, et un ménage neutre au risque rejette tout contrat chargé positivement.

💡 Astuce mémo

No coverage → partial coverage → full coverage

📖 8. Pooling and the Law of Large Numbers

📝 Points essentiels

📌 Des pertes sont indépendantes lorsque l'occurrence de l'une ne modifie pas la distribution de probabilité de l'autre, tandis qu'une forte exposition commune crée une corrélation qui limite la diversification.

📐 Formule — Pour n risques indépendants et identiques, chacun subissant une perte D avec une probabilité p, les sinistres agrégés vérifient $E(S_n)=npD$ et $V(S_n)=np(1-p)D^2$.

📐 Formule — La variance des sinistres moyens par police est $V\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{p(1-p)D^2}{n}$, et leur écart-type diminue au rythme de $1/\sqrt n$.

• La loi des grands nombres rend la perte moyenne plus prévisible lorsque les pertes sont indépendantes et identiquement distribuées avec une espérance finie.

💡 Astuce mémo

Independent exposures → predictable average claims

📖 9. Premium Construction and Insurability

🔑 Notions clés & Définitions

• Prime pure : le coût moyen des sinistres attendu pour une police sur une période donnée, avant les frais, le capital et les marges

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le modèle fréquence-sévérité, si N est le nombre de sinistres et Yj le coût du sinistre j, la prime pure est $\pi_{pure}=E(S)=E(N)\mu_Y$, soit la fréquence attendue multipliée par la sévérité moyenne attendue.

• La prime commerciale ajoute:
  • les frais d'acquisition et de gestion
  • le chargement de risque
  • le coût du capital
  • les taxes et prélèvements
  • la marge bénéficiaire

📌 L'assurance est plus facilement réalisable lorsque les pertes sont définissables et vérifiables, que leurs probabilités et sévérités sont estimables, qu'elles peuvent être mutualisées, qu'elles sont peu corrélées et que les primes restent abordables.

Compléments

📐 Formule — Avec des caractéristiques observables X et une indépendance conditionnelle entre fréquence et sévérité, la prime pure conditionnelle est $\pi_{pure}(X)=E(N\mid X)E(Y\mid X)$.

💡 Astuce mémo

Pure premium → loadings → commercial premium

📊 Tableaux de synthèse

Éléments de la prime commerciale