Fiche de révision : Introduction à l'Économie Micro et Macro

📋 Plan du Cours

1. Étude d’une fonction
2. Maximisation sous contrainte
3. Équation du second degré
4. Calcul d’intégrales
5. Demandes du consommateur
6. Effet prix et décomposition
7. Surplus et variation de prix
8. Utilité sociale et redistribution
9. Équilibre général et bien-être
10. Biens publics et fédéralisme

📖 1. Étude d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée première : La dérivée première mesure la variation instantanée de la fonction et permet de déterminer le sens de variation sur un intervalle.
• Dérivée seconde : La dérivée seconde renseigne sur la courbure de la fonction et permet d’identifier des zones convexes ou concaves.
• Extremum : Un extremum est un point critique où la fonction atteint un maximum ou un minimum selon le signe de la dérivée et de la dérivée seconde.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)\ge 0$ alors la fonction est croissante, et si $f'(x)\le 0$ alors elle est décroissante sur le domaine considéré.
• Si $f''(x)\ge 0$ alors la fonction est convexe, et si $f''(x)\le 0$ alors elle est concave.
• Pour trouver les extremums, on cherche d’abord les points où la dérivée s’annule, puis on classe l’extremum avec $f''(x)$.
• Un maximum correspond à un point critique vérifiant $f''(x)<0$, tandis qu’un minimum correspond à un point critique vérifiant $f''(x)>0$.
• Dans une étude complète, la recherche des extremums combine l’annulation de $f'(x)$ et le test de courbure via $f''(x)$.

💡 Astuce mémo

1ère dérivée = sens (croissant/décroissant) ; 2e dérivée = courbure (convexe/concave) ; $f''$ décide max/min.

📖 2. Maximisation sous contrainte

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux marginal de substitution : Le taux marginal de substitution de 2 à 1 mesure de combien le consommateur compense une perte d’une unité de bien 1 par un surplus de bien 2 pour garder la même utilité.
• Lagrangien : Le lagrangien combine l’objectif à maximiser et la contrainte, ce qui permet d’exprimer les conditions d’optimalité avec une inconnue supplémentaire.
• Multiplicateur de Lagrange : Le multiplicateur de Lagrange, noté $\lambda$, pondère la contrainte dans le lagrangien et apparaît dans les conditions du premier ordre.

📝 Points essentiels

• Au maximum sous contrainte, la tangence entre courbe d’indifférence et droite de budget impose l’égalité entre TMS et le rapport des prix.
• Graphiquement, l’optimum correspond au point où la courbe d’indifférence et la droite budgétaire ont la même pente en valeur absolue.
• En maximisation analytique à deux biens, on utilise la contrainte pour exprimer un bien en fonction de l’autre puis on annule la dérivée de l’utilité par rapport au bien restant.
• Pour $\max f(x_1,\dots,x_n)$ sous $g(x_1,\dots,x_n)=0$, on pose $L=f+\lambda g$ puis on résout $\partial L/\partial x_i=0$ pour tout $i$ et $\partial L/\partial\lambda=0$.
• Avec deux biens et deux conditions du premier ordre, on obtient $\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}=\frac{p_1}{p_2}$, ce qui reformule l’égalité TMS = rapport des prix.

💡 Astuce mémo

Tangence = égalité : TMS = $p_1/p_2$.

📖 3. Équation du second degré

📖 4. Calcul d’intégrales

📖 5. Demandes du consommateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe de demande : Une courbe de demande décrit la quantité demandée quand le prix varie, en supposant les autres déterminants constants.
• Taux marginal de substitution (TMS) : Le taux marginal de substitution est le nombre de biens que le consommateur est prêt à échanger, à utilité constante, entre deux biens.
• Effet substitution : L’effet substitution mesure la variation de la demande due au changement des prix relatifs quand le pouvoir d’achat est tenu constant.
• Effet revenu : L’effet revenu mesure la variation de la demande due à la variation du pouvoir d’achat provoquée par un changement de prix.

📝 Points essentiels

• Dans le problème U(T,M)=T^{1/3}M^{2/3}, la condition d’optimalité donne TMS_{TM}=\frac{MU_T}{MU_M}=\frac{p_T}{p_M}, ce qui mène à M=2T lorsque p_T=40 et p_M=20.
• Avec R=2000, p_T=40 et p_M=20, la contrainte 40T+20M=2000 donne T=50/3≈16,7 et M=400/3≈133,3.
• Quand p_T passe de 40 à 80 (p_M=20) pour la même utilité, on obtient M=8T et, avec 80T+20M=2000, T=50/6≈8,33 et M=400/6≈66,7.
• Une hausse du prix d’un bien induit à la fois un effet substitution (relatifs) et un effet revenu (pouvoir d’achat), et la variation totale peut faire baisser ou augmenter la demande selon les forces relatives.
• Slutsky : l’effet substitution se construit à utilité constante en gardant le pouvoir d’achat constant via une droite budgétaire fictive à la nouvelle pente passant par l’ancien choix accessible mais plus optimal.
• Différence courbe de demande vs déplacement : une variation du prix provoque un mouvement le long de la courbe, tandis qu’un changement d’un autre déterminant (revenu, goûts, prix des biens comparables) déplace la courbe.

💡 Astuce mémo

TMS = prix relatifs : quand pT/pM monte, le bien T devient “plus cher” donc T baisse (dans l’exemple, M suit via M=2T puis M=8T).

📖 6. Effet prix et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Préférences convexes : Les préférences convexes traduisent que l’individu préfère des paniers mélangés plutôt que des paniers “extrêmes”.
• Taux marginal de substitution TMS : Le TMS mesure combien d’unités d’un bien on accepte d’échanger contre une unité supplémentaire de l’autre sur une même courbe d’indifférence.
• Fonction de bien-être social : La fonction de bien-être social agrège les utilités individuelles pour produire un indicateur unique de “bien-être collectif” à optimiser en justice sociale.

📝 Points essentiels

• La convexité d’une fonction différentiable $f$ sur $I$ équivaut à $f''>0$ sur $I$, ce qui rend la pente de la tangente croissante sur $I$.
• Une fonction convexe admet un seul minimum, qui est le minimum global (et une fonction concave admet un seul maximum, minimum à l’opposé).
• En microéconomie, la convexité des préférences rend la condition du 1er ordre suffisante pour résoudre les programmes de maximisation côté consommateur et producteur.
• L’hypothèse de convexité implique que le TMS du bien 2 pour le bien 1 diminue quand on augmente le bien 1 et on réduit le bien 2 le long d’une même indifférence.
• Contre-exemple : pour la consommation de drogue, des préférences peuvent être modélisées comme concaves car le consommateur préférerait les paniers extrêmes (aucune drogue ou uniquement de la drogue).
• La convexité des préférences implique un “goût pour la diversité” : les paniers intermédiaires sont préférés aux extrêmes.

💡 Astuce mémo

Convexe = diversité : le TMS baisse quand vous “gagnez” le bien 1 et perdez le bien 2 (on paie de moins en moins cher l’ajout du bien déjà consommé).

📖 7. Surplus et variation de prix

🔑 Notions clés & Définitions

• Surplus du consommateur : Le surplus du consommateur est l’écart entre ce qu’il est prêt à payer et ce qu’il paie réellement, pour une quantité donnée.
• Variation de prix : La variation de prix correspond au passage d’un prix initial à un prix final, ce qui modifie la demande et donc le surplus du consommateur.
• Indemnisation par variation de surplus : L’indemnisation par variation de surplus consiste à compenser le consommateur exactement du montant correspondant à la baisse de son surplus.

📝 Points essentiels

• Quand le prix passe de $p=1$ à $p=3/2$, la consommation passe de $x=1/2$ à $x=1/6$, ce qui implique une baisse du surplus du consommateur.
• Si les préférences du consommateur sont connues via son utilité, la compensation gouvernementale doit être égale à la réduction de son surplus du consommateur pour rendre l’impact nul du point de vue du bien-être.
• Si le gouvernement continue d’utiliser la variation de surplus comme critère d’indemnisation malgré un changement de structure des préférences, il commet une erreur d’indemnisation.

💡 Astuce mémo

Surplus = prêt à payer − payé : si le prix augmente, l’indemnisation correcte égalise la perte de surplus.

📖 8. Utilité sociale et redistribution

📖 9. Équilibre général et bien-être

🔑 Notions clés & Définitions

• Bien-être social : Le bien-être social est l’agrégat des satisfactions des agents, évalué pour juger une allocation d’un point de vue collectif.
• Optimum social : L’optimum social est l’allocation qui maximise le bien-être total, en tenant compte à la fois des bénéfices et des coûts.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du chikungunya, le traitement coûte 100 euros par unité de décontamination.
• Dans l’exemple du chikungunya, la disposition à payer des deux habitants est de 80 euros par unité de décontamination.
• Dans l’exemple du chikungunya, le bien-être des habitants est supposé nul en l’absence de traitement.

📖 10. Biens publics et fédéralisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Bien collectif : Bien dont la consommation par chaque individu dépend de la production totale, ce qui rend la contribution et l’allocation collectives décisives.
• Ensemble des optima de Pareto : Ensemble des allocations telles qu’on ne peut pas améliorer quelqu’un sans dégrader au moins un autre individu.
• Équilibre de Lindahl : Équilibre où chaque individu fait face à un prix personnalisé du bien collectif, tout en rendant la production et les contributions compatibles avec le choix collectif.
• Souscription : Mécanisme de contributions volontaires où chaque individu choisit un montant ti et où la quantité de bien collectif produite dépend de t1+t2.

📝 Points essentiels

• Une solution est dite réalisable si elle est compatible avec le financement de la production de bien collectif et si elle vérifie les conditions de signe x>0, M1>0, M2>0.
• L’optimum de Pareto associé à des prélèvements identiques vérifie t1=t2.
• L’équilibre de Lindahl, avec prix personnalisés, est un optimum de Pareto.
• Avec une souscription, la quantité de bien collectif est t1+t2 et l’allocation résultante provient des choix individuels des contributions ti.
• Le principe du fédéralisme fiscal évoque qu’une entité de rang supérieur ne doit pas s’immiscer dans la vie interne d’une entité inférieure, mais la soutenir et coordonner son activité dans l’esprit du bien public.

💡 Astuce mémo

Lindahl : chacun paie un prix qui lui correspond, et l’issue est Pareto-optimale.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Slutsky vs Hicks (décomposition de l’effet prix)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition de croissance/décroissance avec la convexité : f'(x) fixe le sens, f''(x) fixe la forme (convexe/concave).
2. Inverser la règle max/min : un maximum correspond à f''(x)<0 (et minimum à f''(x)>0) au point critique issu de f'(x)=0.
3. Sur un optimum avec contrainte, croire qu’on peut ignorer la contrainte : en Lagrange il faut aussi imposer ∂L/∂λ=0.
4. Se tromper entre mouvement sur la courbe de demande et déplacement : un changement de prix = mouvement, un autre déterminant (revenu/goûts/prix comparables) = déplacement.
5. Mélanger TMS et pente sans valeur absolue : le TMS correspond à la pente de l’indifférence en valeur absolue, et s’égalise au rapport des prix en tangence.
6. Confondre effet substitution et effet revenu : l’effet substitution s’obtient à pouvoir d’achat tenu constant via la construction de budget fictive, l’effet revenu correspond au déplacement parallèle.
7. Se tromper d’indemnisation en surplus : la compensation correcte doit égaler la réduction de surplus, sinon le critère de bien-être n’est pas respecté.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer l’étude de fonction : utiliser f'(x) pour croître/décroître, f''(x) pour convexe/concave, puis classer extremums via f'' au point où f'=0.
2. Être capable de résoudre une maximisation avec contrainte : poser L=f+λg et écrire les conditions du premier ordre ∂L/∂x_i=0 et ∂L/∂λ=0.
3. Savoir interpréter l’optimum : tangence courbe d’indifférence–droite de budget, donc égalité entre TMS et rapport des prix (en valeur absolue).
4. Savoir résoudre analytiquement à deux biens par substitution (exprimer un bien via la contrainte puis annuler la dérivée de l’utilité).
5. Calculer la convexité d’une fonction : f convexe sur I ⇔ f''(x)>0 (et concave via le signe opposé) et relier cela au “un seul minimum global / un seul maximum”.
6. À partir d’une fonction d’utilité du cours, construire les demandes : utiliser TMS=MU/MU et la contrainte budgétaire, ou utiliser le lagrangien en gardant la condition d’optimalité.
7. Décrire la décomposition effet prix : distinguer effet substitution et effet revenu (Slutsky par budget fictif passant par l’ancien choix ; Hicks par budget fictif tangente à l’ancienne indifférence), et savoir interpréter leurs effets sur les demandes.
8. Mobiliser le surplus : relier surplus à “prêt à payer − payé”, calculer la perte de surplus quand le prix passe de p=1 à p=3/2 avec les consommations données, et exprimer la compensation gouvernementale égale à cette perte.
9. Sur la redistribution : maîtriser le résultat “meilleure répartition atteignable sans coût” (égalité des revenus) et l’impact d’un coût (règles selon k et la position de Y1/Y2).
10. Sur les biens publics : énoncer les notions d’optimum de Pareto et d’équilibre de Lindahl, caractériser la faisabilité (signes) et rappeler que l’optimum de Pareto associé à prélèvements identiques vérifie t1=t2.
11. Sur la fiscalité fédérale : commenter l’idée d’une entité de rang supérieur qui ne s’immisce pas dans la vie interne mais coordonne/soutient dans la vision du bien public.