Fiche de révision : Mathématiques financières et marchés monétaires

📋 Plan du Cours

1. Valeur temporelle de l’argent
2. Calcul des intérêts et taux
3. Annuités et rendement actuariel
4. Marché monétaire et instruments
5. Obligations et cotation
6. Cotation et coupon couru
7. Marchés obligataires souverains et privés
8. Émission sur le marché primaire
9. Négociation sur les marchés secondaires
10. Obligations à caractéristiques particulières
11. Obligations convertibles et échangeables
12. Titrisation et clauses optionnelles
13. Taille des marchés de dettes
14. Évaluation traditionnelle des obligations
15. Rentabilité et rendement obligataires
16. Rendement anticipé et marge actuarielle
17. Taux de rendement effectif
18. Risque de taux d’intérêt

📖 1. Valeur temporelle de l’argent

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’intérêt : Rémunération exigée pour recevoir une somme S à la date t plutôt qu’immédiatement, et toujours exprimée en pourcentage annuel de S sauf précision contraire.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La valeur acquise après un an vérifie $S_1=S_0(1+i)$, où S0 est la somme initiale et i le taux d’intérêt.

📐 Formule — La valeur actuelle d’une somme S1 reçue dans un an vérifie $S_0=\frac{S_1}{1+i}$.

• Le taux d’intérêt rémunère notamment: la préférence pour le présent, le risque de défaut ou de non-paiement, la perte de pouvoir d’achat liée à l’inflation

💡 Astuce mémo

Valeur acquise : demain à partir d’aujourd’hui ; valeur actuelle : aujourd’hui à partir de demain.

📖 2. Calcul des intérêts et taux

★ À maîtriser

📐 Formule — En intérêt simple, la valeur acquise après t années vérifie $S_t=S(1+ti)$.

📐 Formule — En intérêt composé, la valeur acquise après t années vérifie $S_t=S(1+i)^t$.

📐 Formule — Pour un intérêt précompté sur une année, le taux effectif vérifie $i_{eff}=\frac{i}{1-i}$ et il est supérieur au taux d’escompte i.

📐 Formule — Le taux équivalent sur une fraction d’année vérifie $i_k=(1+i)^{1/k}-1$, tandis que le taux proportionnel vérifie $i_k=i/k$.

📐 Formule — Le taux d’intérêt réel vérifie $r=\frac{i-j}{1+j}$, où i est le taux nominal et j le taux d’inflation, et il est généralement approximé par $r\approx i-j$.

• En pratique, on adopte généralement l’intérêt simple à court terme lorsque t est inférieur à un an et l’intérêt composé à long terme lorsque t est supérieur à un an.

• L’intérêt simple est proportionnel à la durée, tandis que l’intérêt composé capitalise les intérêts acquis à chaque période, de sorte que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.

• L’intérêt post-compté est payé en fin de période au taux effectif, tandis que l’intérêt précompté est soustrait du capital dès le début de la période au taux d’escompte.

Compléments

📐 Formule — En temps continu, la valeur acquise à l’échéance T vérifie $S(T)=S\exp(iT)$ et la valeur actuelle vérifie $S_0=S(T)\exp(-iT)$.

💡 Astuce mémo

Capitalisation des intérêts → intérêts composés ; paiement anticipé → taux effectif supérieur au taux d’escompte.

📖 3. Annuités et rendement actuariel

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de rendement actuariel : Taux d’actualisation y qui égalise le prix payé P0 et la valeur actuelle des annuités reçues.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une série de T annuités constantes a versées annuellement, la valeur acquise vérifie $V_T=a\frac{(1+i)^T-1}{i}$.

📐 Formule — Pour une série de T annuités constantes a versées annuellement, la valeur actuelle vérifie $V_0=a\frac{1-(1+i)^{-T}}{i}$.

📐 Formule — Le taux de rendement actuariel y d’une série d’annuités vérifie $P_0=\sum_{t=1}^{T}\frac{a_t}{(1+y)^t}$.

Compléments

• Un placement de 10 000 euros à 5 % double selon $2=1{,}05^n$, soit après environ 14,21 années.

💡 Astuce mémo

Versements → actualisation ou capitalisation → valeur de la série → taux de rendement.

📖 4. Marché monétaire et instruments

🔑 Notions clés & Définitions

• Titre à revenu fixe : Un titre à revenu fixe procure des revenus fixés à l’avance par un taux d’intérêt et ses paiements attendus comprennent généralement les intérêts et le principal.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sur le marché monétaire, le prix coté au taux d’escompte e vérifie $P=P_{rincipal}\left(1-\frac{n}{360}e\right)$, où n est le nombre exact de jours jusqu’à l’échéance.

📐 Formule — Sur le marché monétaire, le prix coté au taux in fine i vérifie $P=\frac{P_{rincipal}}{1+\frac{n}{360}i}$.

📌 Les instruments du marché monétaire ont une maturité inférieure à un an, tandis que les titres à long terme se négocient sur le marché obligataire.

• Les principaux émetteurs sont: les gouvernements avec les bons du Trésor, les banques avec les certificats de dépôt et les acceptations bancaires, les grandes entreprises avec les billets de trésorerie

• La Banque centrale agit à la fois comme banque des banques, en supervisant le système bancaire et en prêtant aux banques, et comme banque du pays ou de la zone monétaire, en conduisant la politique monétaire.

• Les instruments du marché monétaire utilisent généralement l’intérêt simple, le taux proportionnel et la convention Exact/360.

💡 Astuce mémo

Marché primaire : émission ; marché secondaire : négociation, avec des conventions de taux parfois différentes.

📖 5. Obligations et cotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Obligation : Titre de créance négociable représentant un emprunt à long terme, dont les paiements attendus comprennent les intérêts et le remboursement du principal.
• Taux de rendement actuariel : Taux d’actualisation qui égalise la valeur actuelle de tous les paiements du titre et son prix de marché.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coupon annuel d’une obligation vérifie $Coupon=taux\ nominal\times pair$.

📐 Formule — Le prix plein coupon d’une obligation vérifie $Prix\ plein\ coupon=Prix\ au\ pied\ du\ coupon+Coupon\ couru$.

• Le prix d’une obligation est coté en pourcentage du pair : un prix inférieur au pair est une décote et un prix supérieur au pair est une surcote.

• La valeur faciale, ou valeur nominale, est le principal servant au calcul des coupons, tandis que le prix d’émission est le montant payé lors de la première mise en vente et que la valeur de remboursement est le montant payé à l’échéance.

• Le remboursement in fine restitue la totalité du principal à la date de maturité, tandis que l’amortissement du principal le rembourse progressivement pendant la durée de l’emprunt.

💡 Astuce mémo

Prix pied de coupon : hors intérêts courus ; prix plein coupon : intérêts courus inclus.

📖 6. Cotation et coupon couru

🔑 Notions clés & Définitions

• Coupon couru : Montant des intérêts accumulés sur une obligation depuis la dernière date de coupon, exprimé en pourcentage du pair.

★ À maîtriser

📌 Le prix pied de coupon exclut le coupon couru, tandis que le prix plein coupon, effectivement payé lors de la transaction, l’inclut.

Compléments

📐 Formule — La cotation fractionnaire américaine exprime une fraction de 1/32, ainsi 101-08 correspond à $101 + \frac{8}{32}\% = 101{,}25\%$ du pair.

• Les conventions présentées sont Exact/360 avec intérêt simple pour le marché monétaire et Exact/365 avec intérêt composé pour le marché obligataire.

💡 Astuce mémo

Prix pied de coupon ≠ prix plein coupon : le second inclut le coupon couru

📖 7. Marchés obligataires souverains et privés

🔑 Notions clés & Définitions

• Sûreté personnelle : Garantie apportée par un tiers, personne physique ou morale, qui s’engage à payer la dette en cas de défaut du débiteur.
• Sûreté réelle : Garantie constituée par un actif donné en garantie du paiement de la dette en cas de défaut.

📝 Points essentiels

• 🔄 L’ordre de remboursement présenté est:
  1. la dette avec sûreté
  2. la dette sans sûreté
  3. les créanciers chirographaires
  4. la dette subordonnée

📌 Les Treasury notes américaines ont une maturité de 2 à 10 ans, tandis que les Treasury bonds ont une maturité supérieure à 10 ans, pouvant aller jusqu’à 100 ans.

• Les OAT françaises sont des obligations à long terme émises par le Trésor français, avec une maturité de 2 à 50 ans et une valeur nominale de 1 euro par titre.

💡 Astuce mémo

Sûreté réelle → dette senior → dette junior → dette subordonnée

📖 8. Émission sur le marché primaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Book-building : Mécanisme dans lequel l’arrangeur recueille les ordres des investisseurs dans un livre d’ordres, fixe une fourchette de prix puis détermine le prix et l’allocation des titres.
• Garantie de bonne fin : Engagement des banques du syndicat à acheter les obligations non souscrites lors de l’émission, en échange d’une rémunération.

📝 Points essentiels

• Dans une adjudication, l’émetteur annonce les caractéristiques et les soumissionnaires transmettent leurs offres, puis un prix d’équilibre est déterminé pour sélectionner les offres gagnantes.

📌 Le marché primaire correspond à la vente des obligations lors de leur émission, tandis que le marché secondaire correspond à leur négociation après l’émission jusqu’à la maturité.

📌 Dans l’adjudication à la française, tous les soumissionnaires gagnants sont servis au prix d’équilibre, tandis que dans l’adjudication à prix demandé ou à la hollandaise, chaque gagnant est servi au prix qu’il a proposé.

💡 Astuce mémo

Adjudication : règles mécaniques ; book-building : allocation discrétionnaire

📖 9. Négociation sur les marchés secondaires

★ À maîtriser

• La fourchette de marché correspond à $meilleur\ prix\ ask - meilleur\ prix\ bid$ et constitue un coût de transaction implicite.

📌 Sur un marché de contrepartie, les market makers cotent des prix d’achat et de vente et se portent contreparties, tandis que sur un marché d’agence les courtiers transmettent les ordres sans être contreparties.

📌 Un ordre à cours limité fournit de la liquidité lorsqu’il n’est pas exécuté immédiatement, tandis qu’un ordre au marché consomme de la liquidité.

Compléments

📐 Formule — Le prix mid est la moyenne du meilleur prix ask et du meilleur prix bid : $Mid = \frac{best\ ask + best\ bid}{2}$.

• Le marché obligataire secondaire fonctionne principalement de gré à gré sur des marchés de contrepartie, tandis qu’une partie minoritaire des obligations est négociée sur des marchés réglementés.

💡 Astuce mémo

Marché de contrepartie : le market maker négocie ; marché d’agence : le courtier transmet

📖 10. Obligations à caractéristiques particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Obligation indexée : Obligation dont la valeur des coupons dépend d’un indice ou d’un prix de marché, notamment l’inflation, un taux de change ou un indice d’actions.
• MTN : Obligations à moyen terme vendues en petites quantités de façon continue dans le cadre d’un programme d’émissions successives, généralement sur une période pouvant aller jusqu’à deux ans.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une obligation zéro-coupon, la rémunération à la maturité est $Rémunération = Pair - Prix\ de\ l’obligation$.

📐 Formule — Pour une obligation à taux variable, le taux de coupon vérifie $Taux\ de\ coupon = taux\ de\ référence + marge\ nominale$.

📌 Une obligation convertible donne le droit de convertir le titre en actions nouvelles ou existantes de l’émetteur, tandis qu’une obligation échangeable donne le droit de l’échanger contre des actions existantes d’une autre société détenues par l’émetteur.

💡 Astuce mémo

Coupon fixe, variable, différé ou nul : le calendrier de rémunération change

📖 11. Obligations convertibles et échangeables

🔑 Notions clés & Définitions

• OCEANE : Obligation convertible en actions nouvelles ou existantes de l’émetteur, au choix de l’émetteur.
• Obligation échangeable : Droit du créancier d’échanger le titre contre un nombre donné d’actions existantes d’une société différente de l’émetteur.

★ À maîtriser

📌 La conversion devient intéressante lorsque le prix de l’action à l’échéance est supérieur à la valeur nominale à l’échéance divisée par le ratio de conversion.

Compléments

📐 Formule — La prime de conversion est calculée par $\frac{2{,}22-1{,}84}{1{,}84}=20{,}65\%$.

• Dans l’exemple, la conversion devient intéressante lorsque le prix de l’action dépasse $2330/1049{,}55 = 2{,}22$.

💡 Astuce mémo

Convertir en actions de l’émetteur, échanger contre celles d’une autre société

📖 12. Titrisation et clauses optionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Passthrough : Titre qui reverse aux investisseurs les flux reçus sur les actifs sous-jacents.

★ À maîtriser

• La titrisation consiste à créer un fonds commun de titrisation qui achète des créances non négociables à une institution financière contre de la trésorerie, puis finance cet achat en émettant des obligations garanties par ces actifs.

• Les mortgage-backed securities sont adossées à des crédits immobiliers ou hypothécaires, tandis que les asset-backed securities regroupent les autres actifs titrisés.

• Une clause de remboursement anticipé au gré de l’émetteur, appelée call ou callable, permet à l’émetteur de rembourser l’obligation avant sa maturité, tandis qu’une clause au gré du souscripteur, appelée put ou putable, permet au détenteur de demander ce remboursement.

• Sur une obligation à taux variable, le cap impose un taux de coupon maximum favorable à l’émetteur, tandis que le floor impose un taux minimum favorable au créancier.

Compléments

• Le rehaussement de crédit peut consister à:
  • Obtenir la garantie d’une société tierce
  • Rendre certaines obligations prioritaires
  • Sélectionner des crédits présentant une notation donnée

💡 Astuce mémo

Actifs illiquides → FCT → obligations garanties par les actifs

📖 13. Taille des marchés de dettes

🔑 Notions clés & Définitions

• Titres du Trésor américain : Les titres du Trésor américain comprennent les Treasury bills à court terme, les Treasury notes de 1 à 10 ans, les Treasury bonds de plus de 10 ans et les TIPS indexés sur l’inflation.

★ À maîtriser

• Fin 2020, les titres à revenus fixes en circulation dans le monde représentaient 123 469 milliards de dollars, soit environ 146 % du PIB mondial.

• Dans la zone euro, les États représentaient 67 % des émissions de dette, devant le secteur financier et les entreprises.

Compléments

• Dans la zone euro, les titres de dette en circulation représentaient 133 % du PIB, contre une capitalisation boursière d’environ 71 % du PIB.

• Les T-notes représentaient 56 % des titres circulant sur les marchés financiers américains, tandis que les T-bills en représentaient 19 %.

💡 Astuce mémo

Zone euro : États dominants ; États-Unis : Trésor et titrisation très présents

📖 14. Évaluation traditionnelle des obligations

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur actuelle : Somme d’argent à payer aujourd’hui équivalente à un paiement futur, calculée en actualisant ce paiement au taux r.

★ À maîtriser

📐 Formule — La valeur d’une obligation est la somme des valeurs actuelles de ses paiements : $V=\sum_{t=1}^{T}\frac{F_t}{(1+y)^t}$.

📌 À taux d’actualisation constant, la valeur d’une obligation converge vers le pair à mesure que l’échéance approche.

📌 Lorsque le taux facial est supérieur au taux exigé par le marché, l’obligation est en surcote ; lorsqu’il lui est inférieur, elle est en décote ; lorsqu’ils sont égaux, elle est au pair.

Compléments

📌 Le prix plein coupon inclut le coupon couru, tandis que le prix pied de coupon est égal au prix plein coupon diminué du coupon couru.

💡 Astuce mémo

Paiements futurs → actualisation → valeur actuelle

📖 15. Rentabilité et rendement obligataires

🔑 Notions clés & Définitions

• TRA à l’échéance : Taux d’actualisation qui égalise la valeur actuelle des paiements d’une obligation et son prix plein coupon.
• TRA plancher : Plus faible des taux de rendement calculés selon les différentes dates possibles de remboursement.
• Marge actuarielle : Marge moyenne attendue par l’investisseur au-dessus du taux de référence pendant la durée de vie d’une obligation à taux variable.
• Taux de rendement courant : Rapport entre le coupon annuel et le prix d’achat total.

📝 Points essentiels

• Le rendement obligataire provient des coupons, du réinvestissement des coupons intermédiaires et du gain ou de la perte en capital à l’échéance, à la revente ou lors d’un remboursement anticipé.

💡 Astuce mémo

Coupons → réinvestissement → gain ou perte en capital

📖 16. Rendement anticipé et marge actuarielle

🔑 Notions clés & Définitions

• TRA plancher : Le TRA le plus faible parmi tous les TRA possibles, calculés à l’échéance et à chaque date d’exercice d’une clause de remboursement anticipé.
• Marge actuarielle : Le rendement moyen attendu par l’investisseur en excès du taux de référence pendant la durée de vie du titre.

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul repose sur les éléments suivants:

  1. Les coupons reçus jusqu’à la date de remboursement anticipé
  2. La valeur de remboursement prévue par la CRA
  3. Le taux qui égalise la valeur actuelle de ces paiements et le prix plein coupon

• Le calcul de la marge actuarielle consiste à déterminer les paiements avec un taux de référence constant, choisir une marge actuarielle, actualiser les paiements au taux de référence augmenté de cette marge, comparer la valeur actuelle au prix, puis ajuster la marge jusqu’à égalité.

Compléments

• Pour une obligation dont les TRA aux quatre dates de remboursement anticipé sont 6 %, 6,2 %, 5,8 % et 5,7 %, et dont le TRA à l’échéance est 7,5 %, le TRA plancher est de 5,7 %.

💡 Astuce mémo

TRA plancher = rendement minimum ; marge actuarielle = excès au-dessus du taux de référence

📖 17. Taux de rendement effectif

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de rendement effectif : Un taux de rendement qui incorpore explicitement le taux de réinvestissement des paiements futurs.

★ À maîtriser

• Pour calculer le TRE, on calcule d’abord la valeur acquise à l’horizon des paiements réinvestis au taux de réinvestissement, puis on cherche le taux qui transforme le prix initial en cette valeur acquise sur l’horizon d’investissement.

📌 Lorsque le taux de réinvestissement est inférieur au TRA, le TRE est inférieur au TRA, tandis qu’un taux de réinvestissement supérieur au TRA peut conduire à un TRE supérieur au TRA.

• Le poids du réinvestissement dans le revenu total augmente avec la maturité et avec le taux de coupon de l’obligation.

Compléments

• Pour une obligation à coupons semestriels, les taux sont divisés par deux et les maturités sont multipliées par deux lors du calcul, puis le taux semestriel obtenu doit être converti en taux annuel.

💡 Astuce mémo

Taux de réinvestissement différent du TRA → TRE différent du TRA

📖 18. Risque de taux d’intérêt

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque de crédit : Le risque de pertes dues à l’incapacité de l’emprunteur à payer totalement ou partiellement les coupons et le principal en temps voulu.
• Marge de crédit : La part de la prime de risque attribuable au risque de défaut.
• Risque souverain : Le risque supporté par un investisseur qui détient une obligation émise par un gouvernement étranger.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une obligation callable, $P_{callable}=P_{sans\ CRA}-V_{option\ de\ RA}$.

📐 Formule — Pour une obligation putable, $P_{putable}=P_{sans\ CRA}+V_{option\ de\ RA}$.

📌 Le prix d’une obligation baisse lorsque le taux de rendement exigé augmente et augmente lorsque ce taux baisse.

• À caractéristiques comparables, les obligations de maturité plus longue sont plus sensibles aux variations de taux d’intérêt que les obligations de maturité plus courte.

• À maturité comparable, les obligations ayant un taux facial plus faible sont plus sensibles aux variations de taux d’intérêt que celles ayant un taux facial plus élevé.

• Pour une obligation à taux variable, les coupons sont révisés périodiquement, ce qui réduit les pertes en capital dues aux variations de taux tant qu’un éventuel taux plafond n’est pas atteint.

📌 Le risque de crédit commercial concerne le défaut d’un débiteur privé, tandis que le risque de crédit pays résulte d’événements liés au pays de résidence du débiteur.

• Le risque de défaut se mesure notamment par la probabilité de défaut et le taux de recouvrement, qui représente le pourcentage du principal récupéré en cas de défaut.

• Une dégradation de la qualité de signature augmente la marge de crédit et diminue le prix de l’obligation, même si aucun défaut ne s’est encore produit.

• La catégorie d’investissement regroupe les notes AAA à BBB, associées à un risque de défaut très faible et acceptable, tandis que la catégorie spéculative regroupe les notes BB à D, associées à un risque de défaut élevé.

• Les modèles structurels déterminent le défaut à partir de la valeur des actifs de la firme et le modélisent comme une option, tandis que les modèles à forme réduite modélisent directement la probabilité de dégradation de note ou de défaut sans observer l’intérieur de la firme.

• La dette souveraine en devise étrangère est généralement plus difficile à rembourser que la dette en monnaie locale, car l’État doit disposer de la devise étrangère alors qu’il peut lever l’impôt dans sa monnaie locale.

• Le risque souverain peut résulter d’une réticence politique à payer, qui expose l’État à une impossibilité temporaire de réémettre de la dette et à des sanctions commerciales, ou d’une incapacité financière à payer.

💡 Astuce mémo

Taux en hausse → prix en baisse ; taux en baisse → prix en hausse

📊 Tableaux de synthèse

Types de taux et calculs

Principales valeurs d’une obligation