Fiche de révision : Outils mathématiques du modèle IS-LM

📋 Plan du Cours

1. Cadre simplifié du modèle IS-LM
2. Fonction de consommation keynésienne
3. Théories alternatives de la consommation
4. Impôts et investissement
5. Dépenses publiques exogènes
6. Dépenses publiques et équilibre des biens
7. Épargne et investissement à l’équilibre
8. Courbe IS et multiplicateur keynésien
9. Paradoxe de l’épargne
10. Stabilité de l’équilibre macroéconomique
11. Offre, demande et importations
12. Quota et équilibre du marché
13. Critères de Maastricht et croissance
14. Équilibre macroéconomique et relance
15. Choix de production en concurrence
16. Monopole et élasticité de la demande

📖 1. Cadre simplifié du modèle IS-LM

🔑 Notions clés & Définitions

• Revenu disponible : égal au revenu Y diminué des impôts T : $Y_D=Y-T$.

📝 Points essentiels

• Le modèle IS-LM simplifié considère une économie fermée composée des ménages, des entreprises et des administrations publiques.

📌 Dans le modèle, les dépenses publiques G et le niveau général des prix P sont exogènes, tandis que la consommation C et l’investissement I dépendent de variables endogènes.

💡 Astuce mémo

Variables exogènes fixées : P, T et G ; variables endogènes : C et I

📖 2. Fonction de consommation keynésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Propension marginale à consommer : La propension marginale à consommer c₁ mesure l’augmentation de la consommation provoquée par une unité supplémentaire de revenu disponible, avec $0<c_1<1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La consommation agrégée vérifie $C=C_0+c_1Y_D=C_0+c_1(Y-T)$, où C₀ est la consommation autonome et c₁ la propension marginale à consommer.

📌 La propension moyenne à consommer est le rapport $C/Y_D=C_0/Y_D+c_1$, tandis que la propension marginale à consommer est c₁.

📌 Dans l’analyse de Keynes, la fonction de consommation est croissante, mais la propension moyenne à consommer diminue lorsque le revenu disponible augmente. - J. M. Keynes, Théorie générale de l’emploi, de l’intérêt et de la monnaie, 1936

Compléments

📐 Formule - Une hausse d’une unité du revenu disponible entraîne une hausse de la consommation égale à c₁ : $\Delta Y_D=1\Rightarrow\Delta C=c_1$.

📐 Formule - L’épargne des ménages est la partie non consommée du revenu disponible : $S=Y_D-C=Y_D-F(Y_D)$.

💡 Astuce mémo

Revenu disponible → consommation → épargne résiduelle

📖 3. Théories alternatives de la consommation

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet cliquet : Duensenberry, Income, Saving and the theory of Consumer Behaviour, 1949 - désigne l’alternance entre des périodes où la consommation augmente avec le revenu et des périodes de récession où une valeur passée de la consommation peut rester constante pendant plusieurs périodes.

★ À maîtriser

📌 Selon Kuznets, les ménages à revenu faible ou moyen répartissent soigneusement tout revenu supplémentaire entre consommation et épargne, tandis que les ménages aisés épargnent davantage automatiquement. - National income : A summary of findings, 1946

• Si λ désigne la part du revenu disponible détenue par les riches, la propension marginale à consommer de l’ensemble des ménages est $(1-\lambda)c_{1,p}+\lambda c_{1,r}$.

📌 Si l’augmentation du revenu disponible accroît λ, la propension marginale à consommer agrégée diminue car elle se rapproche de celle, plus faible, des ménages riches.

📌 Selon Duesenberry, la consommation dépend du revenu relatif et du milieu social de référence, et un ménage situé sous la moyenne peut réduire son épargne pour maintenir son niveau de vie relatif. - Duensenberry, Income, Saving and the theory of Consumer Behaviour, 1949

• Les inégalités peuvent accroître le crédit par un canal direct de demande et un canal indirect d’offre, ce qui augmente le volume des crédits accordés.

📐 Formule - Dans un modèle à revenus disponibles retardés, la consommation vérifie $C_t=c_0Y_{D,t}+c_1Y_{D,t-1}+\cdots+c_TY_{D,t-T}+b$.

📌 La propension marginale à consommer de courte période est c₀, tandis que celle de longue période est $c=c_0+c_1+\cdots+c_T$ et lui est supérieure.

📌 Selon l’hypothèse du revenu permanent, la consommation dépend du revenu permanent considéré comme normal plutôt que du revenu transitoire observé sur une période. - M. Friedman, A Theory of the Consumption fonction, 1957

Compléments

📐 Formule - Dans le modèle à deux groupes de Kuznets, les consommations sont $C_p=C_{0,p}+c_{1,p}Y_{D,p}$ et $C_r=C_{0,r}+c_{1,r}Y_{D,r}$, avec $0<C_{0,p}<C_{0,r}$ et $0<c_{1,r}<c_{1,p}<1$. - National income : A summary of findings, 1946

• La dette des ménages américains est passée de 48 % à 96 % du PIB entre les années 1980 et 2007, dont 24 points de PIB au cours des sept dernières années.

📐 Formule - Dans le modèle de revenu relatif, la consommation du ménage i vérifie $C_{i,t}=\lambda Y_{m,t}+\mu Y^D_{i,t}$, où Yₘ,t est le revenu moyen de la collectivité.

📐 Formule - La consommation globale résultant du modèle de revenu relatif est $C_t=(\lambda+\mu)Y_{D,t}$.

📐 Formule - Dans le modèle avec consommation passée, $C_t=c_0Y_{D,t}+c_1C_{t-1}+b$ et la propension marginale à consommer de longue période vaut $c_0/(1-c_1)$.

📐 Formule - Dans un modèle à retards échelonnés exponentiels, les coefficients vérifient $c_\tau=c_0c^\tau$ avec $0<c<1$.

📐 Formule - Le revenu disponible observé est la somme du revenu permanent et du revenu transitoire : $Y^D_{i,t}=Y^p_{i,t}+Y^t_i$. - M. Friedman, A Theory of the Consumption fonction, 1957

💡 Astuce mémo

Kuznets : classes ; Duesenberry : groupe ; Friedman : revenu permanent

📖 4. Impôts et investissement

★ À maîtriser

📐 Formule - Les impôts sont supposés proportionnels au revenu : $T=t_yY$, avec $0\leq t_y<1$.

📐 Formule - L’investissement agrégé vérifie $I=A-ai$ avec $a>0$, où A représente la composante indépendante du taux d’intérêt i.

📌 Une hausse du taux d’intérêt entraîne une baisse de l’investissement selon $\Delta I=-a\Delta i$ lorsque A est constant.

Compléments

• Le paramètre A traduit notamment la confiance et les anticipations des ménages et des entreprises concernant la demande, les prix immobiliers et l’emploi.

💡 Astuce mémo

Impôts : proportionnels au revenu ; investissement : décroissant avec le taux d’intérêt

📖 5. Dépenses publiques exogènes

📝 Points essentiels

• L’exogénéité de G permet d’étudier les conséquences économiques d’un niveau de dépenses publiques choisi par le gouvernement.

📖 6. Dépenses publiques et équilibre des biens

🔑 Notions clés & Définitions

• Dépenses publiques exogènes : Supposées exogènes, car elles ne dépendent ni du revenu courant ni du taux d’intérêt en vigueur.
• Équilibre du marché des biens : L’équilibre du marché des biens et services est la situation dans laquelle l’offre agrégée Y est égale à la demande agrégée Z.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La demande agrégée vérifie $Z = C + I + G$, où C est la consommation agrégée, I l’investissement agrégé et G les dépenses publiques.

📐 Formule - La condition d’équilibre du marché des biens et services s’écrit $Y = C + I + G$.

📌 La relation $Y = C + I + G$ est une identité comptable lorsque l’investissement effectif inclut les variations de stocks, mais elle devient une équation d’équilibre lorsque l’investissement effectif est égal à l’investissement désiré.

💡 Astuce mémo

Dépenses exogènes → demande globale → équilibre Y = C + I + G

📖 7. Épargne et investissement à l’équilibre

🔑 Notions clés & Définitions

• Épargne privée : La part du revenu disponible des agents économiques qui n’est pas consommée, soit $S = Y - T - C$.
• Épargne publique : L’épargne publique est égale à la différence entre les recettes fiscales T et les dépenses publiques G, soit $T - G$.

★ À maîtriser

📐 Formule - À l’équilibre du marché des biens et services, l’épargne privée finance l’investissement désiré et le déficit public : $S = I + (G - T)$.

📐 Formule - À l’équilibre, l’épargne globale, composée de l’épargne privée et de l’épargne publique, est égale à l’investissement désiré : $S + (T - G) = I$.

Compléments

📐 Formule - Le déficit public D correspond à une épargne publique négative et vérifie $D = G - T$.

💡 Astuce mémo

Identité comptable toujours vraie ≠ équilibre économique stable

📖 8. Courbe IS et multiplicateur keynésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplicateur keynésien : Lorsque le taux d’intérêt est nul, le multiplicateur keynésien est $\frac{1}{1-c_1(1-t_y)}$ et il est nécessairement supérieur à 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous les hypothèses du modèle, la courbe IS peut s’écrire $Y = \frac{C_0 + A + G}{1 - c_1(1-t_y)} - \frac{a}{1-c_1(1-t_y)}i$.

📐 Formule - La pente de la demande agrégée par rapport au revenu est $c_1(1-t_y)$, et les hypothèses du modèle imposent $0 < c_1(1-t_y) < 1$.

• Une hausse d’une unité des dépenses publiques déclenche une hausse initiale de la production d’une unité, puis des hausses successives de consommation égales à c1, c1² et ainsi de suite.

📌 L’effet d’éviction apparaît lorsque la hausse des dépenses publiques augmente le taux d’intérêt et réduit l’investissement privé, ce qui diminue le multiplicateur des dépenses publiques.

Compléments

📐 Formule - Après n vagues successives, l’effet cumulé d’une hausse unitaire des dépenses publiques est $1+c_1+c_1^2+\cdots+c_1^{n-1}=\frac{1-c_1^n}{1-c_1}$.

💡 Astuce mémo

Dépense autonome → revenu → consommation → nouveau revenu

📖 9. Paradoxe de l’épargne

🔑 Notions clés & Définitions

• Paradoxe de l’épargne : Le paradoxe de l’épargne désigne le fait qu’une volonté généralisée d’épargner davantage peut réduire le revenu et finalement empêcher l’augmentation de l’épargne globale.

★ À maîtriser

• Lorsque les ménages réduisent leur consommation autonome ou leur propension à consommer, la demande et le revenu diminuent, ce qui réduit l’épargne privée malgré l’effort initial d’épargne.

Compléments

• Selon l’analyse citée de la Banque de France, une hausse du chômage de deux points aurait maintenu la propension des ménages à épargner à un niveau élevé, avec une hausse de 0,2 point de pourcentage du taux d’épargne, soit trois milliards d’euros d’épargne supplémentaire par an.

💡 Astuce mémo

Épargne désirée ↑ → consommation ↓ → revenu ↓ → épargne globale fragilisée

📖 10. Stabilité de l’équilibre macroéconomique

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi psychologique de Keynes : Théorie Générale, 1936 - La loi psychologique de Keynes affirme que la consommation augmente avec le revenu, mais moins que proportionnellement, de sorte que $0 < f' < 1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans le modèle de stabilité, l’évolution de la production vérifie $P Q_{t+1}=P f\left(\frac{Q_t-T}{P}\right)+I+G$.

📐 Formule - En posant $\lambda=f'\left(\frac{Q^\ast-T}{P}\right)$, l’écart à l’équilibre vérifie approximativement $Q_{t+1}-Q^\ast=\lambda(Q_t-Q^\ast)$.

📐 Formule - Comme $0<\lambda<1$, on a $Q_{t+1}-Q^\ast=\lambda^{t+1}(Q_0-Q^\ast)$ et la suite de production converge vers Q* lorsque t tend vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Production → revenu → consommation → demande → production

📖 11. Offre, demande et importations

★ À maîtriser

📐 Formule - La demande nationale est $D(p)=a-bp$ avec a>0 et b>0, tandis que l’offre nationale est $S_n(p)=-c+dp$ avec c>0 et d>0.

📐 Formule - L’équilibre entre demande et offre nationales a pour coordonnées $p_E=\frac{a+c}{b+d}$ et $q_E=\frac{ad-bc}{b+d}$.

📌 La quantité échangée à l’équilibre national est positive si et seulement si $\frac{c}{d}<\frac{a}{b}$.

📐 Formule - Lorsque les importations sont possibles, l’offre totale est la somme de l’offre nationale et de l’offre étrangère : $S(p)=-(c+e)+(d+f)p$.

Compléments

📐 Formule - L’offre étrangère est $S_e(p)=-e+fp$ avec e>0 et f>0, et les producteurs étrangers offrent une quantité positive seulement lorsque $p>\frac{e}{f}$.

📐 Formule - Avec un quota d’importation M toujours atteint, le prix d’équilibre vérifie $p=\frac{a+c}{b+d}-\frac{M}{b+d}$ et l’offre nationale vaut $S_n=\frac{ad-bc}{b+d}-\frac{d}{b+d}M$.

💡 Astuce mémo

Offre nationale seule ≠ offre nationale augmentée par les importations

📖 12. Quota et équilibre du marché

★ À maîtriser

📌 À l’équilibre sous quota d’importation, la quantité demandée D est satisfaite par la production nationale Sn et les importations M, selon la relation $D = Sn + M$.

📐 Formule - Avec un quota d’importation M, le prix d’équilibre du marché est $p = \frac{a+c}{b+d} + \frac{M}{b+d}$.

📐 Formule - La quantité offerte par les producteurs nationaux à l’équilibre est $Sn = \frac{ad-bc}{b+d} + \frac{d}{b+d}M$.

Compléments

📐 Formule - Une variation du quota d’importation entraîne une variation du prix d’équilibre vérifiant $\Delta p = \frac{1}{b+d}\Delta M$.

📐 Formule - La variation de la quantité nationale offerte consécutive à une variation du quota vérifie $\Delta Sn = \frac{d}{b+d}\Delta M$.

💡 Astuce mémo

Quota importé ↓ → prix intérieur ↑ → offre nationale ↑

📖 13. Critères de Maastricht et croissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Critères de Maastricht : Critères économiques établis lors du traité de Maastricht que les pays candidats à l’entrée dans la zone euro doivent respecter et que les pays membres doivent continuer à respecter sous peine d’avertissement puis de sanctions.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le PIB nominal vérifie $Y(t)=P(t)Q(t)$, où Y(t) est le PIB nominal, Q(t) le PIB réel et P(t) le niveau général des prix.

• Les hypothèses de l’exercice sont que le taux de croissance réel n’excède pas 3 % par période et que le taux d’inflation n’excède pas 2 % par période.

📌 Le ratio de dette publique sur le PIB de l’année précédente ne doit pas dépasser 0,6, soit 60 %, selon les critères présentés dans l’exercice.

Compléments

📐 Formule - Lorsque le ratio dette publique sur PIB est déjà égal à 60 %, le respect du traité impose que la variation de ce ratio soit non positive, soit $\Delta\left(\frac{D}{Y}\right)\leq 0$.

💡 Astuce mémo

PIB nominal → PIB réel et prix → dette et déficit

📖 14. Équilibre macroéconomique et relance

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans l’économie fermée étudiée, la demande de biens et services est $Z=C+I+G$, avec $C=c_0+c_1(Y-T)$, $T=t_Y Y$, et I et G constants.

📐 Formule - À l’équilibre du marché des biens, défini par $Y=Z$, le produit d’équilibre est $Y=\frac{c_0+I+G}{1-c_1(1-t_Y)}$.

• Lorsque l’investissement public augmente de $\Delta G$, le produit augmente d’un montant supérieur à la variation initiale selon le mécanisme du multiplicateur, tandis que la consommation et les impôts augmentent également.

📐 Formule - Avec un investissement privé dépendant du produit et du taux d’intérêt, $I=I_0+b_1Y-b_2i$, le revenu d’équilibre est $Y=\frac{c_0+I_0-b_2i+G}{1-[c_1(1-t_Y)+b_1]}$.

Compléments

📐 Formule - La fonction de consommation vérifie $C=c_0+c_1(Y-T)$ avec $c_0\geq 0$ et $0<c_1<1$, tandis que les impôts vérifient $T=t_Y Y$ avec $0<t_Y<1$.

📌 La condition retenue pour l’équilibre avec investissement endogène est $c_1(1-t_Y)+b_1<1$.

💡 Astuce mémo

Dépenses publiques ↑ → revenu ↑ → impôts ↑ → déficit partiellement compensé

📖 15. Choix de production en concurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de coût : Coût total que l’entreprise doit supporter pour fabriquer Q unités de biens.
• Coût marginal : Le coût marginal est approximé par la différence $C(Q+1)-C(Q)$, qui représente le coût économique de produire une unité supplémentaire.

★ À maîtriser

📌 Dans le modèle présenté, la fonction de coût est positive, croissante et sa pente augmente avec Q, ce qui signifie que $C(Q)>0$, $C'(Q)\geq 0$ et $C''(Q)\geq 0$.

📌 En concurrence parfaite, l’entreprise choisit la quantité Q telle que $C'(Q)=P$, car elle augmente sa production lorsque $P>C'(Q)$ et la réduit lorsque $P<C'(Q)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une variation unitaire suffisamment petite, le coût marginal vérifie approximativement $C(Q+1)-C(Q)\simeq C'(Q)$.

💡 Astuce mémo

Prix supérieur au coût marginal : produire davantage ; prix inférieur : réduire la production

📖 16. Monopole et élasticité de la demande

🔑 Notions clés & Définitions

• Concurrence monopolistique : En concurrence monopolistique, l’entreprise peut fixer le prix P et vend exactement la quantité $D(P)$ correspondant à ce prix.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le profit de l’entreprise en concurrence monopolistique est $\Pi(P)=P D(P)-C(D(P))$.

📐 Formule - L’élasticité-prix de la demande est $\varepsilon=-\frac{D'(P)P}{D(P)}$ ; elle est positive lorsque la demande est décroissante, et vaut $\varepsilon=\varrho$ lorsque $D(P)=kP^{-\varrho}$ avec k et ϱ positifs.

📐 Formule - La condition de maximisation du profit conduit à la règle $\frac{P-C'(D(P))}{P}=\frac{1}{\varepsilon}$.

Compléments

📌 Si $P_1<P_2$, la demande décroissante implique $D(P_1)\geq D(P_2)$ et donc $D'(P)\leq 0$.

📌 Lorsque l’élasticité ε est faible, l’entreprise peut pratiquer une marge relative élevée ; lorsque ε devient très grande, cette marge relative devient faible et le prix se rapproche du coût marginal.

💡 Astuce mémo

Concurrence parfaite : prix = coût marginal ; monopole : marge liée à l’élasticité

📊 Tableaux de synthèse

Variables du modèle simplifié

Équilibre du marché des biens