Qu'est-ce que la méthode de substitution en optimisation sous contrainte d'égalité ?
Elle transforme un problème sous contrainte en un problème sans contrainte en exprimant y = h(x) et maximisant φ(x) = f(x,h(x)).
Quelle fonction obtient-on en substituant dans U(x,y)=xy avec 2x+y=4 ?
On obtient f(x) = x(4−2x).
Pour quelles valeurs de x* et y* le maximum de f(x)=x(4−2x) est-il atteint ?
Le maximum est atteint pour x* = 1 et y* = 2.
Qu'est-ce que la méthode de Lagrange transforme en recherche d'un point stationnaire ?
L'optimisation de f sous la contrainte g=0.
Quelle relation exprime la colinéarité des gradients au point optimal sous contrainte ?
∇f + λ∇g = 0.
Quelles sont les conditions du premier ordre pour g(x,y)=0 en méthode de Lagrange ?
Les équations et .
Qu'est-ce que le multiplicateur de Lagrange λ représente en optimisation?
Le bénéfice marginal d’un relâchement de la contrainte.
Comment appelle-t-on aussi le multiplicateur de Lagrange λ?
Le prix fictif ou shadow price.
Quelle est la relation entre V'(m) et λ si V(m) est la valeur maximale sous contrainte budgétaire m?
.
Quelle condition garantit que les points stationnaires du lagrangien sont solutions du problème contraint?
Si f est concave et les contraintes gi sont linéaires.
Quelles sont les conditions KKT pour maximiser f avec g(x)≥0 ?
∇f+λ∇g=0, g(x)≥0, λ≥0 et λg(x)=0.
Que signifie la complémentarité dans les contraintes KKT ?
Pour chaque contrainte, λg(x)=0, soit g(x)=0 soit λ=0.
Quand les conditions KKT sont-elles nécessaires et suffisantes ?
Quand f est concave et les fonctions gi sont linéaires.
Quelle est la différence entre problème primal et problème dual en économie?
Le primal maximise l'utilité sous contrainte budgétaire, le dual minimise la dépense pour une utilité donnée.
Qu'est-ce que la demande marshallienne xi*(p1,…,pn,M)?
La solution du problème primal de maximisation de l'utilité avec prix et revenu M.
Qu'est-ce que la demande hicksienne hi*(p1,…,pn,u)?
La solution du problème dual de minimisation de la dépense pour atteindre l'utilité u.
Que dit le lemme de Shephard sur la demande hicksienne?
Elle vérifie
Quelle condition caractérise un bien inférieur selon la demande ?
La dérivée partielle de la demande par rapport au revenu est négative.
Quelle condition caractérise un bien normal selon la demande ?
La dérivée partielle de la demande par rapport au revenu est positive.
Qu'impose la substituabilité entre deux biens sur leurs demandes croisées ?
Leur demande croisée par rapport au prix de l'autre bien est positive.
Qu'impose la complémentarité entre deux biens sur leurs demandes croisées ?
Leur demande croisée par rapport au prix de l'autre bien est négative.
Quelle relation exprime l'identité de Roy entre demande et fonction de valeur ?
La demande marshallienne est égale au rapport des dérivées partielles négatives de la fonction de valeur.
Comment l'équation de Slutsky décompose-t-elle l'effet d'un prix sur la demande ?
Elle sépare l'effet en effet de substitution et effet de revenu.
Que mesure l'effet de substitution après un changement de prix ?
La variation de consommation avec revenu compensé pour maintenir l'utilité.
Quand l'hypothèse de dépense totale du budget est-elle naturelle ?
Elle est naturelle lorsque l'utilité est strictement croissante dans les deux biens.
Quelle est la forme du lagrangien avec n variables et m contraintes d'égalité ?
Quelle condition sur la matrice hessienne H=((r,s),(s,t)) assure la convexité d'une fonction de deux variables?
et .
Quelle est la solution de maximiser 1−x² sous x≤c si c≥0 ?
La solution est x*=0.
Quelle est la solution de maximiser 1−x² sous x≤c si c≤0 ?
La solution est x*=c.
Comment s'exprime la fonction de dépense e(p,u)?
Que représente la fonction de dépense e(p,u)?
La dépense minimale nécessaire pour atteindre l'utilité u.
Quelle condition caractérise un bien de Giffen selon la demande ?
La dérivée partielle de la demande par rapport à son prix est positive.
Qu'est-ce que l'effet de revenu provoqué par une hausse de prix ?
La variation de consommation due à la perte de pouvoir d'achat.
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1. Quelle transformation caractérise la méthode de substitution pour une optimisation sous contrainte d’égalité ?
2. Pour maximiser sous la contrainte budgétaire , quelle combinaison constitue le maximum obtenu par substitution ?
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